二次函数应用题的训练

1、二次函数应用题【知识点】函数简单应用题：主要涉及到一次函数，反比例函数，二次函数1 .注意写清每一个变量（用 x合理表示）2 .一步步来，按题目要求来列式，注意单位换算3 .比较2种函数所得的方案（一般会涉及到求最值问题），在某个区间内合理选择方案【基本思想】一、转化思想实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。二、建模思想从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模

2、型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函 数解决问题。3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。三、运动思想图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。四、分类讨论的思想二次函数与其他知识的综合题时经常用到。【最值的确定方法】1 .二次函数在没有范围条件下的最值：二次函数的一般式 y ax2 bx c（ a 0）化成顶点式y a（x b-f 4ac b ,如果自变量 2a 4a的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）.2 .二次函数在有范围条件下的最值：如果自变量的取值范围是 x1

3、 x x2,如果顶点在自变量的取值范围 x1 x x2内，则当y最值 把上，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增 4a减性 一、分段函数型1 .某商品的进价为每件 40元，如果售价为每件 50元，每个月可卖出 210件；如果售价超 过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖1件；如果售价超过 80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为 x元，每个月的销售量 为y件.(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；(2)设每月的销售利润为 w请直接写出与的函数关系式；(3)每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月

4、利润是多少元？(1)当5。在80时,y=210- (x-50) r ay=260-x rs80x 140 时(y=210- (80-50 )-3 (x-8o) , dy=420-3x .则/ y=260-x (50x80)y=420-3x(8qx140)(2)由利润二f售价-成本)y销售量可以列出函数关系式w=-x2+300x-10400 ( 50x80 )w=，x2+540x-1680口( 80 v ” 140)(3)当50wx80时 p w=-x2+300x-lmo0 f当首最大值，最大值为7200 r=80 x a+12250,1当叫时即售价为前元时，可循最大利闰12匹口元，1.口叩q元

5、不是最大利河?(3)当尸钟m时p tq工-痴)41225口=6000解得(xi=0 * 12=50工函教尸-1。(j-2s)理的的图象开口向下，对林油为直线4居，与直线广2州的交点为m 6000)和旧，000)，由圄象可抑，和*50时，y6000即当售价在不小于心元且不大于心元时，月利刊不低于6网。元,三、前期投入，亏损、盈利型3 .杰瑞公司成立之初投资 1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100元/件且不彳#超过180元/件，该产品销售 量y (万件)与产品售价 x (元)之间的函数关系如图所示。(1)求y与x之间的函数关系式，

6、并写出 x的取值范围；解：(1)设产k3b，则由圉象知解得k二-白，b二30，3-z c 10 d =cx c is 0 j10ylo0k+b=2ols0k+b=12(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价;c2)设公司第一年恭利邛万元，1 1o j则代 仃-印)k1列0=一元;t43h7乳q二-布(ziso)，第一年公司亏陨7,当产品喜价定为1加元.件时，亏战最小*最小亏损为80公元t(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价,6能否使两年共盈利达 1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。(3)若两年

7、共盈利1。万元，因为第一年亏摸5。万元，第二年盈利的为c-60 ) 7=*!1 u,1 ,m-i2-3fli-lboo-ao=1340jkflxi =200 r 心=160，v 10006l1工s=-2(c 2+u2, 5*由 f 1，知，64v15t二.当k二，6时，5量大值=112. 5,即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为：.5米时，这个苗国园的面粗最大，这个最大值为112.5.(3)当这个苗圃园的面积不小于 88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。川)t这个苗圃园的面积不小于平方米，w-2 c?：-7, 5) 2+112. 53居，由(1)可知64其父15，二五的取值范困为五

8、、二次函数与建模(2012高频型)5.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根 水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 (1)建立适当的平面直角坐标系.，使水管顶端的坐标为 为(1,3),求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式2.25m的水管，在水管的顶端安1m处达到最高，高度为个喷3ml(0, 2.25),水柱的最高点的坐标(不要求写取值范围)薜答：醇:(1 )如图依题意建立平南直角坐标系r i (h分1点(1,3)为抛物形水柱的顶点.r，设抛物线解析式为六日(+1 )七f特点(0. 225 )代入,得 225=3 (0-1 )解得a = -j t囚此，抛物形水柱对应的函数关系

9、式为：= cx-1(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m ,最内轨道的半径为 rm,其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为 多少时池中安装的地漏的个数最多?(2 )当尸0时，彳(x-1 ) 2+”0 ,解得.x2=3 t根据实际，x-1舍去.所以,x=3 ,即水柱落地点离池中心3m , 设池中安装地漏m个，依题意得2nr 3一r口口、 2n z 3 . ,0 3，03 f 即m=3) =_g q2(工)2+50te t所以:当；=l5时.池中安装的

10、地漏的个数最蠢.六、细节变化、陷阱题6.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本(含运输费)是每千克3元，根据10元，一天内没有销售超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过 完的水产品只能按 2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位：千克，y0)与每千克的销售价 x(元)之间的函数关系如下图所示：(1)求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；y= - 10x+300 0 x 30(2)根据题中的分析：每天销售利润w最多是多少元？两部分收入正常的销售量为y其浦售收入为科处理给食品深加工公司的

11、数量为300-30少(遴中水产品每天的损掂率是10苏，300*10%=30) =270- 卢270(-10x+300) =270+10k-300 处理的收入为(270+1 ok-300) *2成林)300*3所以如答案所示利涧屿守-30胪3+(270+1 dx-300) *2但是其实是可以缝螭化血避麻多卿月了？相信你可以处理了(3)请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元？练习1.九五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺30间，据预测，当每间的年租金为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用1

12、万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。(1)当租金为13万元时，能租出多少间商铺？岸笨：解：(1 );()亍5000=6 .;能租出？0-6=24间.(2)若公司要求年收益不低于 275万元，则年租金定在什么范围？(2 )设每间育铺的年租金增加x万元(则每回的祖金是(10+x )万元，5q0q元=。5万元，有卷间商铺没有出租,出租的商铺有(即高)间,出租的商情需要交(30高”1万 v, 3s3u. j元费凡没有出租的需要交费35万元的费用，则(30 亲)x (10+x)-(30-p 卜喻 32752x-11x+5=o解得：中=0.565+10=15万元;0.

13、5+15=105万元每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元*y (件)与销售单价 x2.一种进价为每件 20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量(元)之间的关系：y 10x 500 .设经销商每月获得利润为 w (元)(1),当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元?(1 )由遢意,得：w =附-20)y奉口 - 20mt01-欧)-10.:-7001-10000 ,即w = -10r* 700x -10000 ( 20x32 )(2 )对于函数同=-1此-oox-10000的图像的对称轴是直线工=二.x- a=-io0 ,抛物线开口向下;当2044谢，w随着冲9增

14、大而增大f.，当x=32时,w-2160答：当精售单价定为m元时.每月可获得最大而j润,最大利润是2160元.(2)如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？(3 )取w:2000得 f -10r;-700x-10000- 2000解这个方程得：%=30 f=4口.，七=-102000 .(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于 2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？*/202000 .设每月的成本为p (元),由题意，得：p-20(-101-500)-200x-10000vjt=-200 =。时j = l（

15、2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取4v3 7）*三0, （乂-6/斗4 0.（公分）令 12- 5）2 = 48.勺=4出+ 6 = 13,勺二一4近十6 c 0（舍去,.足球第一次落地距守门员约1咪.（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取2而 5）（5） （4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为cd根据题意：8 = f （即相当于将抛物线向下平移了 2个单位）2 = 0。0 +4解得演= 6 2代，巧= 6+2而cd=公一引=4加=1。.月0 = 13 6+10 = 17 （米）.(x - 6r +4 = 0.解法二：令12、解得 = 6-4有(舍)，西二6+4

16、/013.点c坐标为(13, 0).y-(工 t) + 2.没抛物姓e孙为12将。点坐标代入得:_1（1?_ + 2= 0.12解得：月=13-2& 13 (舍去)，= 6+475 + 26+7 + 5 = 18.y=,413尸=q,。=（外18）* 十2.令12- 18 26舍去向=12+2# 七 231:.即=216= 17（米）.解法三：由解法二知, = 13* 所以力=2(18-13) = 10, 所以 bd = (11 6)+10 = 17, 答：他应再向前跑17米.4.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存 活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.

17、假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有 一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克 30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.11(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;分析.本题为市场营精河品，基本等星关系是：营绡富=营销是k单价.利润=营销额一收购 价-各种费用，最大利润要根据的数类别和自变量取值范围确定.解等.解：(1 )由题意知：p-30+x ；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记 10

18、00 kg蟹的销售总额为 q元，写出q关于x 的函数关系式.(2 :田知,活簧的销售额为(1000-wx ) ( 30m )元,mxi死蟹的销售额为200玩, ；.q二(1000-10x ) ( 30+x ) +200x=-wx90cx+3i(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=q-收购总额)?(3 )设总利润为昌q-30000-400xa10/+500x , =-10 (工50乂) =-10( f50x+252.25? ) =-10 ( x-25 ).当h25时，总和闰最大最大润为625瓦.5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与 投 资 量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的 利 润与 投 资 量成二次函数关系，如图12-所示(注：利润与投资量的单位：万元)(1 ) 分别求出利润与关 于 投 资