允公数理化二次函数综合压轴题题型归纳

1、允公数理化中考二次函数解答题题型归纳例:关于面积最值1.如图，在平面直角坐标系中，点a c的坐标分别为（-1 , 0）、（0,-。），点b在x轴上.已知某二次函数的图象经过a、b、c三点，且它的对称轴为直线x=1 ,点p为直线bc下方的二次函数图象上的一个动点（点p与b、c不重合），过点p作y轴的平行线交bc于点f.（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点p的横坐标为m用含m的代数式表示线段 pf的长；求 pbc面积的最大值，并求此时点p的坐标.分析：此题文字比较多，而且图象也比较复杂，所以解题时需要理解题意.（1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点 a （-1, 0）、c （0,十

2、 坐标为（3, 0）,列方程组即可求得解析式；）在函数图象上，对称轴为 x=1 ,也可求得a的对称点b的（2）先求得直线bc的解析式为,则可求得点f的坐标为,再求得点p的纵坐标为,可得5线段pf的长;即可求得.s=s, -sj/.k (3)利用面积和， pbc的面积 dcff abff解答：解：（1）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c （aw0, a、b、c为常数）， 由抛物线的对称性知 b点坐标为（3, 0）,，（2 分）（2）p点的横坐标为m晨分）设直线bc的解析式为y=kx+b （k，0, k、b是常数），故直线bc的解析式为(3) .pbc 的面积,（5分）：点f的坐标为pf-

3、沛一。3.2印；（6 分）9j3时， pbc的最大面积为 ，（8 分）5 y一代入，:点p的坐标为. (10 分)点评：此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图.注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求 法，注意三角形面积的求法.例讨论等腰2.如图，已知抛物线y=2 +bx+c与y轴相交于c,与x轴相交于a、b,点a的坐标为(2, 0),点c的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式；(2)点e是线段ac上一动点，过点e作d已x轴于点d,连接dq当 dce的面积最大时，求点 d的坐标；(3)在直线bc上是否存在一点p,使 acp为等腰三角形？若存在，求点 p

4、的坐标；若不存在，说明理由.分析：(1)由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将a、c两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.(2)根据a、c的坐标，易求得直线ac的解析式，可设d点的横坐标，根据直线 ac的解析式可表示出e点的纵坐标，即可得到de的长, 以de为底，d点横坐标为高即可得到 cde的面积，从而得到关于 cde的面积与d点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求 出 cde的面积最大值及对应的 d点坐标.(3)根据抛物线的解析式，可求出 b点的坐标，进而能得到直线 bc的解析式，设出点p的横坐标，根据直线 bc的解析式表示出p点的纵 坐标，然后利用坐标系两点间

5、的距离公式分别表示出acp三边的长，从而根据： ap=cp、ac=ap、cp=ac,三种不同等量关系求出符合条件的p点坐标.解答:解：(1)由于抛物线经过 a (2, 0)c (0,-1),(2)则有:,解得- a (2, 0), c (0,-1),;直线:抛物线的解析式为:ac : y=- x-1;y=1(x, 0),则 e (x, -x-1),故 de=0-1x-1) =1 x；1.dce的面积：s二dex |xd|= x (1 x) =x2+x=-1(x-1) 2+因此当x=1 ,即d (1, 0)时， (3)由(1)的抛物线解析式易知:dce可求得直线bc的解析式为：y=-x-1 ;的

6、面积最大，且最大值为(-1,。)，设 p (x, -x-1),因为a (2, 0), c (0,-1),则有:ap2= (x-2) 2+ (-x-1) 2=2x2-2x+5, ac2=5, cp2=x2+ (-x-1+1 ) 2=2x2；当 ap=cp 时，ap2=cp2,有： 2x2-2x+5=2x2,解得 x=2.5,. p1 (2.5, -3.5);当 ap=ac 时，ap2=ac2,有：2x2-2x+5=5 ,解得 x=0 (舍去)，x=1 ,： p2 (1, -2);j10 理理 理叵当 cp=ac 时，cp2=ac 2,有：2x2=5,解得 x= + - ,： p3 ( j ，-

7、j -1), p4 (- j , 2 -1)；叵叵 晒晒综上所述，存在符合条件的p点，且p点坐标为：p1 (2.5, -3.5)、p2 (1,-2)、p3 ( 2 ，-2 -1)、p4 (- 2 , 2 -1).点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了 分类讨论、数形结合的数学思想，难度较大.例:讨论四边形3.已知：如图所示，关于 x的抛物线y=ax2+x+c(a，0)与*轴交于点a(-2 , 0)、点b(6, 0),与y轴交于点c.(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点 d,使四边形

8、abd泌等腰梯形，写出点 d的坐标，并求出直线 ad的解析式；(3)在(2)中的直线ad交抛物线的对称轴于点ml,抛物线上有一动点p,x轴上有一动点q.是否存在以a、mkp、q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 q的坐标；如果不存在，请说明理由.分析：(1)可将a, b两点的坐标代入函数的解析式中，可求出抛物线的解析式.进而求出对称轴的解析式和定点的坐标；(2)由于二次函数和等腰梯形都是轴对称图形，可根据抛物线的对称轴和c点的坐标求出d的坐标.然后用待定系数法求出 a, d所在直线的解析式.(3)分五种情况进行讨论：如图1, p与m的纵坐标相等，可将 m的纵坐标代入抛物线中求出 p的坐

9、标，然后可根据 m, p的横坐标求出mp的长，即aq的长，然后根据a的坐标即可求出q的坐标.如图2,方法同.如图3,根据平行四边形的对称性，那么 m, p的纵坐标互为相反数，因此可求出 p的坐标，可先在三角形 aom中求出ao的长，然后a到抛物线对称轴的长+p的横坐标=q的横坐标，据此可求出 q点的坐标.如图4,可参照的方法求出 p的坐标，然后求出pa的长，即mq的长，然后可过d作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出 oq的长.进而得出q的坐标.根据题意画出图形，即可求出答案.解答:解:(1)根据题意，得:抛物线的解析式为顶点坐标是(2, 4);(2) d (4, 3),设直线ad的解析式为y=

10、kx+b ( k，0),4-;直线经过点 a (-2, 0)、点d (4, 3),如图2,方法同，q2 (-2-2, 0);如图3,根据平行四边形的对称性，那么 m, p的纵坐标互为相反数，因此可求出p的坐标，可先在三角形 aom中求出ao的长，然后a到抛物线对称轴的长+p的横坐标=q的横坐标，据此可求出 q点的坐标：q3(6-2|d,0);如图4,可参照的方法求出 p的坐标，然后求出pa的长，即mq的长，然后可过d作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出 oq的长.进 而得出q的坐标：q4 (6+216, 0).ill以am为对角线时，把x=2代入y=2x+1得y=2, 即m的坐标是(2, 2)

11、,过m作x轴的平行线交抛物线与 p5、,111i 一则这两点的纵坐标是2, 把y=2代入y=-4x2+x+3得：y=7x2+x+3=2, 解得：x=2 2r ,即 p5 (2-2p, 2), p6 (2+22),：q5的坐标是(帮-2, 0), q6 的坐标是(-2-2，0).综上所述：qi(2联2,0),q2(-2-2,0),q3 (6-2旧，0),q4(6+2, 0).点评：本题主要考查了二次函数的相关知识，(1) (2)比较简单，要注意的是(3)中要把所有的情况都考虑到不要漏解.4如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a 0）与x轴的一个交点为b（-1 , 0）,与y轴的负半轴交于点

12、c,顶点为d.（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点 a的坐标；（2）以ad为直径的圆经过点 c.求抛物线的解析式；点e在抛物线的对称轴上，点f在抛物线上，且以 b, a, f, e四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 f的坐标.分析：（1）已知抛物线解析式和点 b的坐标求出a值，利用对称轴x=2口求出对称轴以及点 a的坐标.（2）本题要靠辅助线的帮助.连接 ac, ad,过dm，y轴于点m .证明 aocacmd后可推出a, b的值.证明四边形bafe为平行四边形，求出 ba, ef得出点f的坐标.解答：解：（1）对称轴是直线：x=1, 点a的坐标是（3, 0）;（2）如图

13、，连接 ac、ad,过d作dm，y轴于点m,解法一：利用 aocacmd ,在 y=ax2-2ax-b (a0)中，当 x=1 时，y=-a-b,则 d 的坐标是(1, -a-b)./a、d、c 的坐标分别是 a (3, 0), d (1, -a-b)、c (0, -b),ao oc 3_b：ao=3, md=1 .由 cnf ，得口 1 ,-3-ab=0. (3分)又,: 0=a? (-1) 2-2a? (-1) -b, (4 分)j 3一占= 0f a 1:由l3orb=0,得（5分）.函数解析式为：y=x2-2x-3. （6分）解法二：利用以ad为直径的圆经过点 c,.ra、d 的坐标分

14、别是 a （3, 0）、d （1, -a-b）、c （0, -b）, ： ac=jcd= 1 一, ad= 4汗-0-8广. ac2+cd2=ad2：3-ab=0（3 分）又,0=a? （-1） 2-2a? （-1） -b（4 分）由、得a=1 , b=3 （5分）：函数解析式为：y=x2-2x-3 . （6分）f点存在.如图所示，当四边形bafe为平行四边形时贝uba/ef,并且ba=ef . 丁 ba=4 , ： ef=4由于对称轴为x=1 ,二点f的横坐标为5. （7分）将 x=5 代入 y=x2-2x-3 得 y=12, ： f （5, 12）. （8 分）根据抛物线的对称性可知，在对

15、称轴的左侧抛物线上也存在点f,使得四边形baef是平行四边形，此时点 f坐标为（-3, 12）. （9分）当四边形beaf是平行四边形时，点 f即为点d, 此时点f的坐标为（1, -4）. （10分）综上所述，点f的坐标为（5, 12）, （-3, 12）或（1, -4）.点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及平行四边形的判定定理，难度中上.例讨论直角三角形i1_1i4.如图，一次函数的图象与 x轴交于点a,与y轴交于点b;二次函数y二x2+bx+c的图象与一次函数y= x+1的图象交于b, c两点，与x轴 交于d, e两点，且d点坐标为（1,0）.（1）求二次函数的解析式；求线段bc的长及

16、四边形bdec勺面积s;（3）在坐标轴上是否存在点 p,使得 pbc是以p为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点p;若不存在，请说明理由.分析：（1）求出b的坐标，把b、d的坐标代入二次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可;在y轴上时，设p点的坐标是（0, y）,根据pc2+pb2=bc2,得出方程（1-y） 2+42+ （3-y） 2=20,求出y即可.1解答：解：（1） :把x=0代入y=px+1得：y=1 ,b (0, 1),把b、d的坐标代入二次函数的解析式得:解得：b=c=1，:二次函数的解析式是（2）解方程组1 2把 y=0 代入 y=-x2-2x+1 得:由勾股定理得

17、:(0,1),得：3_x2/x+1=0,解得：x1=1 , x2=2 ,c (4, 3),(1, 0), e (2, 0),过c作cnx轴于n,贝u cn=3 , ne=4-2=2 , od=ob=1 ,:四边形 bdec 的面积是 s=s 梯 bonc-sabod-sacne=- x (1+3) x 4-二 x1x1-x 2 x 3=4-答：线段bc的长是2罔,四边形bdec的面积s是4.（3）存在p点，理由是：p在x轴上时，设p的坐标是（x, 0）, - b (0, 1), c (4, 3), .由勾股定理得:pb2=x2+12, pc2=32+ (4-x) 2, bc2=42+ (3-1

18、) 2=20,二p 为直角顶点，：pc2+pb2=bc2,x2+12+32+(4-x)2=20,解得：x1=1,x2=3, ：p (1,0)或(3, 0);p在y轴上时，设p的坐标是(0, y), b (0, 1), c (4, 3),;由勾股定理得：pb2= (1-y) 2, pc2=42+ (3-y) 2, bc2=42+ (3-1) 2=20,二p 为直角顶点，：pc2+pb2=bc2,(1-y) 2+42+ (3-y) 2=20,解得：yi=1 , y2=3, - b (0, 1)1 (舍去)，：p (0, 3),即存在p点，使得 pbc是以p为直角顶点的直角三角形， p的坐标是（1,

19、 0）或（3, 0）或（0, 3）.|点评：本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面积，主要考查学生综合运用这些 性质进行计算和推理的能力，综合性比较强，有一定的难度.允公数理化中考二次函数解答题题型归纳二次函数中的平行四边形问题类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）1.108湖北十堰】 已知抛物线y ax2 2ax b与x轴的一个交点为 a（-1,0）,与y轴的正半轴交于点 c.直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点b的坐标；当点c在以ab为直径的op上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点 m，

20、使得以点m和中抛物线上的三点 a、b、c为顶点的四边形是平行四边形？若存在 ，请求出点 m的坐标；若 不存在，请说明理由.解：对称轴是直线：x 1,点b的坐标是（3,0）.2分如图，连接 pc 丁点a、b的坐标分别是 a（-1,。）、b （3,0）,. .11ab= 4-pc 1 ab 14 2.22在 rtapoc, o3= pa- oa= 21 = 1,b=1,0时,0,存在.,33x3b5分理由：如图，连接ag bc设点m的坐标为m（x,y） .当以ac或bc为对角线时，点m在x轴上方，此时 cmt ab且cm= aboc pc2 po222 12 _3.由知，ab- 4, | x| =

21、4, y oc 33 .x=4.;点m的坐标为m（4,百）或（4,j3）. -七分说明：少求一个点的坐标扣 1分.当以ab为对角线时，点 m在x轴下方.过 m作 mnlab于 n,则/ mnb=/aoc= 90 .,四边形ambc是平行四边形，：ac= mb且ac/ mb/ ca / mbn aaoc abnim bn= a0= 1, mn= co= 33 .obf3,0n= 3-1 = 2.:点m的坐标为m （2, 近）.12分说明：求点m的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点m的坐标的方法均可，请参照给分.综上所述，坐标平面内存在点m ,使得以点a、b、c、m为顶点的

22、四边形是平行四边形.其坐标为 mi（4，,m2（ 4,6m3q,圾.说明：综上所述不写不扣分；如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。21.练习.【09浙江湖州】已知抛物线y x 2x a （a 0）与y轴相交于点a,顶点为m .直线y x a分别与x轴，y轴相交27允公数理化中考二次函数解答题题型归纳9于b, c两点，并且与直线 am相交于点 n .填空：t用含a的代数式分别表示点 m与n的坐标，则 m ,如图，将 anac沿y轴翻折，若点 n的对应点n 恰好落在抛物线上,an 与x轴交于点d ,连结cd ,求a的值和四边形adcn的面积;2(3)在抛物线y x 2x a (

23、a 0)上是否存在一点 p ,使得以p, ac, n为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 p点的坐标；若不存在，试说明理由,、4(1) m 1, a 1 , n a,3直线amy= -x+a与直线y解方程组的得n坐标(2)由题意得点n与点关于y轴对称,4 a,3的坐标代入y2-x 2x a8-a 316一 a9ai(不合题意，舍去)a2点n至|j y轴的距离为3.直线an的解析式为它与x轴的交点为点d到y轴的距离为sra边形adcn1sa acnsa acd一18916(3)当点p在y轴的左侧时，若acpn是平行四边形，则pn平行且等于ac ,n向上平移 2a个单位得到4 a,3,代入抛物

24、线的解析式,得:16 2-a9ai0 (不舍题意,舍去)，a21 728当点p在y轴的右侧时，若apcn是平行四边形，则ac与pn互相平分,oa oc, op on .允公数理化中考二次函数解答题题型归纳4 1p与n关于原点对称，p a, a ,3 3 116 c 8将p点坐标代入抛物线解析式得：la a2 -a a ,393一 .1555a10 （不合题意，舍去），a2， p -8281 7 .55存在这样的点p1，7或p2 5, 5 ，能使得以p, a c, n为顶点的四边形是平行四边形.2 828类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应

25、和已知边平行且相等1.109福建莆田】已知，如图抛物线 y2ax 3ax c(a0）与y轴交于c点，与x轴交于a、b两点，a点在b点左侧。点b的坐标为6分11(1 , 0),oc=30b.（1）求抛物线的解析式;若点d是线段ac下方抛物线上的动点，求四边形abc：积的最大值:若点e在x轴上,点p在抛物线上。是否存在以a、c e、p为顶点且以ac为一边的平行四边形？若存在，求点p的坐标；若不存在,请说明理由.解：（1） .对称轴x3a方法一:方法二:可令y2a又 ; oc=3ob=3 a .c (0, - 3)把 b(1,0)、c(0 b (1a(x3a -4y 二(x43a3 :x40),4)

26、(x4)(x20,2分3）代入解得:09x 34- a(-4 , 0)2ax343axc得:1) 把c(0, -3)代入得:1)（2）方法一：过点 d作dmf y轴分别交线段ac和x轴于点m no, s四边形 abcd = svabcsvacd15 12 2- a(-4 , 0), c(0, -3)dm(an on)15 2dm2设直线ac的解析式为ykx bq一 3代入求得：y -x 34允公数理化中考二次函数解答题题型归纳人 3 2 93令 d(x, xx 3), m(x, x 3)44433 2 932dm -x 3 ( x -x 3)(x 2)34444当x 2时，dm有最大值3此时四

27、边形abcd面积有最大值27。 8分2abcdt方法二：过点d作dqly轴于q过点c作cc1 /x轴交抛物线于c1 ,从图象中可判断当 d在cc1下方的抛物线上运动时，四边形有最大值。贝” s四边形 abcd = svobcs梯形 aoqd sv dqc =233=-2oq -dq 5分22人3 29令 d(x,x-x3)4433 2 9 八、3人s四边形abcd =2(7x -x 3) tx244227当x 2时，四边形abcd面积有最大值。21 八 1- -(4 dq) oq dq (oq 3)223(x 2)2 巴7 分228分(3)如图所示，讨论：过点c作crx轴交抛物线于点pi ,过

28、点r作p|e1 / ac交x轴于点e1,此时四边形acre 1为平行四边13形，9分. c(0, -3).3 29一 一飞x x 33 彳可：x1。，x2344：cr3。： r( 3, 3) 14分练习如图，抛物线:与x轴交于a、b (a在b左侧)，顶点为c (1,2)(1)求此抛物线的关系式；并直接写出点a、b的坐标；(2)求过a、b、c三点的圆的半径；(3)在抛物线上找点 p,在y轴上找点e,使以a、b、p、e为顶点的四边形是平行四边形，求点p、e的坐标国解：(1) 抛物线y= 42+bx+c 的顶点为c (1, - 2),;抛物线解析式为y=x解彳t x1=1 , x2=3 ,-2,解彳

29、导c= ,解彳导b=1 ,o = 3百:点a、b 的坐标为：a (- 1, 0)、b (3, 0);(2) -.a (1, 0)、b (3, 0)、c (1,2),ab=3 ( 1) =4 , ac= j( - 1 一 d ?+-幻 1 2=2 破,bc=h3-d组=m)=2衣,. ab2=16 , ac2+bc2=8+8=16,：ab2=ac2+bc2 ,.abc是直角三角形，ab是直径，故半径为 2;(3)当ab是平行四边形的边时，pe=ab=4 ,且点p、e的纵坐标相等,金至 15 21:点 p 的横坐标为 4 或4,. y= 2x42 4 2= 2, 或 y= - x42+4 2=2,552121;点 p、e 的坐标为 p1 (4, 2)、e1 (0, 2)或 p2 ( 4, 2 )、e2 (0, 2 ),如图，当ab是平行四边形的对角线时，pe平分ab, ：pe与x轴的交点坐标 d （1, 0）,过点p作pfxab,则od=df=1 ,:点f的坐标为（2, 0）,：点p的横坐标为2, y