函数单调性的判断或证明方法

1、精品文档函数单调性的判断或证明方法（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是 取值，设 且可之；作差， 求/（%）-/8） ;变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；定号，判断了（氏）-/（4）的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论;下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数网=ax工+ 1在（1, +00）上的单调性，并证明.7欢迎下载解：设1x1x2,则 f(x 1) f(x 2)=再 + 1 -芍 +1就5 +1) - ax2 (xl 4-1)鼻（演-.1 1x1x2,1. x1 x20, x2+10.当 a0 时，f(x 1) f(x

2、2)0 ,即 f(x 1)f(x 2),，函数y = f（x）在（一1, 十）上单调递增.当 a0 , 即 f(x 1)f(x 2),，函数y = f（x）在（一1, 十 ）上单调递减./(i) = z+-(a 0)例2.证明函数x在区间（-电一加和（收网上是增函数；在一石,0犷口（0,而上为减函数。（增两端，减中间）证明：设 弓而，则/（再）一 /（石）=可十巴一巴二a - 3（1一2）因为画石 所以工1f 0,0。丙a ,所历一二0所以所以，:所以. 一.，/ jti/伪）一八）二%+士一一士二。3。一旦）则网 勺工用,因为可一才20印白，二1,所以1-20所以工再即占 ,所以._卜1：所

3、以1|居二:同理，可得.-| .一,一_/: 丁不（2）运算性质法.在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数.（增+增=增; 减+减二减;增-减二增，减-增二减）若/“，则/与血具有相同的单谢性/恒为正（或恒为负）时，/与，有相反的单调性当函数.函数/与硝7）,当。时，二者有相同的单询性，当以。时，二者有相反的单调性。运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。q2例3,求函数了=一1+ixi的单调区间。解：在同一坐标系下作出函数的图像

4、得所以函数的单调增区间为减区间为(4)复合函数法.(步骤：求函数的定义域；分解复合函数；判断内、外层函数的单调性；根据复合函数的单调性确定函数的单调性.若集合m是内层函数的一个单调区间，则m便是原复合函数了二/但(1)的一个单调区间，如例4;苴财不是 内层函数”一妙)的一个单调区间，则需把 m划分成内层函数二 g 的若干个单调子 区间，这些单调子区间便分别是原复合函数0二/初刈 的单调区间， 如例5.)设股/仅)，=即切，女网m都是单调函数，则冲胞(切在/加 上也是单调函数，其单调性由 “同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数 为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数

5、。如下表：=虱力y=fmj=/tew)增增增增减减减增减减减增例4.求函数y二后二的单调区间解 原函数是由外层函数j = 0和内层函数w复合而成的;易知0，+是外层函数出的单调增区间;u = （）-20/ m 11令 2,解得x的取值范围为（-电t；由于 （-电-1 是内层函数-2的一个单调减区间，于（-电-1便是原函数的一个单调区间;根据复合函数“同增异减”的复合原则知,（-电-1是原函数的单调减区间。4y -例5求函数 工，-2的单调区间.4y = 解 原函数是由外层函数笈和内层函数以二1一工一 2复合而成的;4易知 （电。）和都是外层函数h的单调减区间;-x-2 0,可求得（一电7）是原

6、函数的单调增区间，q叫是原函数的单调减区间。综上可知，原函数的单调增区间是（一00，-1）和名单调减区间是白）和（2网.（5）含参数函数的单调性问题.aqrb。已知函期二江当时，讨论函数/单调性电例.设工+ 1（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论 .）解：由题意得原函数的定义域为（一且了二ax+b ax+a+b-a b-a 工+i +i-dt+7+7口 8时，即3-&。时,/m0,试判断的单调性，并说明理由.解析:设孙与c r且x 0.他）网）=小二小x加1）/）他）.故了在（3 , +笛）上为增函数.例2.设f（x）定义于实数集上，当 x:口时，/炽）1,且对于任意实数x、v,有小+#/力，求证：/在吐为增函数。证明：在/5中取=y = ,得/=（。）若八0） = 0,令k0,尸=0 ,则八工）=0 ,与/:1矛盾所以/10-0,即有八）=1当工。时，八力10 .而二所以当犬口时，-k0,当 x = u 时，/囚）=1。所以对任意工尺，恒有,