初二奥数题及答案

1、初二数学奥数1、如图，梯形 abcd 中，adbc, de=ec, efab 交 bc 于点 f, ef=ec,连结 df。(1)试说明梯形abcd是等腰梯形：若ad=1, bc=3, dc=ji,试判断4dcf的形状：(3)在条件(2)下，射线bc上是否存在一点p,使4pcd是等腰三角形，若存在，清直接写出 pb的长；若不存在，请说明理由。bf c12、在边长为6的菱形a8cd中，动点m从点a出发，沿a-b-c向终点。运动，连接 dm交ac于点n.(1)如图25-1,当点时在ab边上时，连接8n.求证：aabnaadn；若nabc = 60。，am = 4,求点m到a。的距离：(2)如图25

2、-2,若na3c = 9(t,记点m运动所经过的路程为x (64w12)试问：x为 何值时，aon为等腰三角形.图 25-173、对于点0、m点”沿w的方向运动到。左转弯继续运动到a；使且。1_q； 这一过程称为m点关于。点完成一次“左转弯运动”.正方形4完9和点k产点关于月左转弯运动到e关于8左转弯运动到,只关于。左转 弯运动到r, a关于。左转弯运动到月，k关于片左转弯运动到.（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点h的位置；（2）连接p：a、rb,判断abp,与adp之间有怎样的关系？并说明理由，以。为原点、直线助为y轴建立直角坐标系，并且已知点6在第二象限，4尸两点的 坐标为（0, 4

3、）、（1, 1）,请你推断：巴、2侬、2加三点的坐标.11a.。夕吐f * 6 oiq ”，coo00噂0 / 八 八 a 1i 1*! ! 1|le f与，己；44、如图1和2,在20x20的等距网 格(每格的宽和高均是1个单位长) 中，rt脚从点月与点”重合的位 置开始，以每秒1个单位长的速度先 向下平移，当为边与网的底部重合 时，继续同样的速度向右平移，当 点。与点尸重合时，rt月6。停止 移动.设运动时间为x秒，的 而积为y.(1)如图1,当rta46c向下平移到rt4区g的位置时，请你在网格中画出关 于直线qv成轴对称的图形；(2)如图2,在rt上向下平移的过程中，请你求出y与x的函

4、数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？(3)在rt月反向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最 大值和最值分别是多少？为什么？5、如图， abc中，ab=ac, zb. nc的平分线交于0点，过o点作efbc交ab、 acte. f.(1)图中有几个等腰三角形?猜想：ef与be、cf之间有怎样的关系，并说明理由.(2)如图，若abaac,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中ef与be、cf间的关系还存在吗？(3)如图，若aabc中nb的平分线bo与三角形外角平分线co交于o,过o点作 oe

5、bc交ab于e,交ac于f.这时图中还有等腰三角形吗?ef与be、cf关系又如何?6、已知，如图，zxabc 中，zbac=90 , ab=ac,d 为 ac 上一点， 且nbdc=124 ,延长ba到点e,使ae=ad,bd的延长线交ce 于点f,求ne的度数。7、如图，正方形abcd的对角线ac,bd交于点0,将一三角尺的直角顶点放在点。处，让其绕点0旋转,三角尺的直角边与正方形abcd的两边交于点e和f。通过观察或测量0e, 0f的长度，你发现了什么？试说明理由。1、解：(1)证明：；ef=ec, azefc=zecf, vefab, azb=zefc,，nb=necf,，梯形abcd是

6、等腰梯形；(2) dcf是等腰直角三角形，证明：vde=ec ef=ec,，ef= -cd.2.cdf是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角 形是直角三角形)，,梯形abcd是等腰梯形，acf= - (bc-ad) =l vdc=、历，,由勾股定理得: 2df=1,.dcf是等腰直角三角形；(3)共四种情况：pb=l pb=2, pb=3-、q, pb=3+vi2、证明：(1);四边形abcd是菱形， aab=ad, z1=z2. 又；an=an, aaabnaadn.解：作mh_lda交da的延长线于点h. 由adbc,得nmah=nabc=6(t.在 rta

7、amh 中，mh=am*sin60 =4xsin60 =2 ，点 m 到 ad 的距离为 2 右.aah=2. adh=6+2=8.(2)解：vzabc=90 , ，菱形 abcd 是正方形.azcad=45 .下面分三种情形：(i )若nd=na,则nadn=nnad=45.此时，点m恰好与点b重合，得x=6：(ii )若dn=da,则ndna=ndan=45. 此时，点m恰好与点c重合，得x=12；(iii)若 an=ad=6,则n1=n2. vad/7bc, az1=z4,又n2=n3,:.z3=z4. acm=cn. aac=6 2./.cm=cn=ac-an=6 2-6.故 x=12

8、-cm=12- (6 2-6) =18-6 2.综上所述：当x=6或12或18-6 2时，zkadn是等腰三角形。3、解：用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰;(2) aabplaadp,且aabp1可看成是由4adp绕点a顺时针旋转90而得.理由如下：在4abp1和4adp中，由题意：ab=ad, ap=ap, npad=npiab,abpldadp,又abpi和aadp有公共顶点a,且npap=90 ,.,.abpi可看成是由4adp绕点a顺时针旋转90而得：(3)点p (1, 1)关于点a (0, 4)左转弯运动到pi (-3, 3),点pi (-3, 3)关于点b (-4, 4)左转弯运动到

9、点p2(-5, 3),点p2(-5, 3)关于点c (-4, 0)左转弯运动到点p3 (-1, 1),点p3 (-1, 1)关于点d (0, 0)左转弯运动到点p, (1, 1),点p、(1, 1)关于点a (0, 4)左转弯运动到点巴(-3, 3), 点ps与点pi重合，点p6与点p2重合，点p2009的坐标为(-3, 3) 点p20w的坐标为(-5, 3).4、解：(1)如图1, za2b2c2是aibic关于直线qn成轴对称的图形;(2)当aabc以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时(如图2),则有：ma=x, mb=x+4, mq=20,y=s 梯形 qmbc-sz.amq-s.abc

10、1 11= -4+20) (x+4)- x20x-x4x42 22=2x+40 (0wxw16).由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值,且y最小=40,当x=16时，y取得最大值，且y最大=2xi6+40=72：(3)解法一：当4abc继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时 16wxw32, pb=20- (x-16) =36-x, pc=pb-4=32-x,，=s 梯形 baqp-smpqssbc= -(4+20) (36-x) x20x (32-x) - -x4x4 222=-2x+104 (16wxw32).由一次函数的性质可知：当x=32时，y取得最小值,且y最小=-2x

11、32+104=40：当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2x16+104=72.解法二：taabc自左向右平移的过程中，qac在每一时刻的位置都对应着(2)中aqac某一时刻的位置, 使得这样的两个三角形关于直线qn成轴对称.因此，根据轴对称的性质，只需考查aabc在自上至下平移过程中4qac面积的变化情况， 便可以知道aabc在自左向右平移过程中aqac面积的变化情况. 当x=16时，y取得最大值，且y最大=72,当x=32时，y取得最小值，且y最小=40.5、解：(1)图中有5个等腰三角形，ef=be+cf, vabeoacfo,且这两个三角形均为等腰三角形,可得 ef=eo+fo=b

12、e+cf：(2)还有两个等腰三角形，为beo、acfo.如下图所示：vef/7bc, .z2=z3,又.,n1=n2, .*.z1=z3,.beo为等腰三角形，在cfo中，同理可证.ef=be+cf 存在.a szc (3)有等腰三角形：beo、cfo,此时ef=be-cf,;如下图所示：oebc,，n5=n6,又n4=n5, a z4=z6,，beo是等腰三角形，tacfo中，同理可证cfo是等腰三角形，此时 ef=be-cf,e/f1/k2c6、解：在4abd和aace中,vab=ac zdab=zcae=90 ad=ae,aaabdaace (sas),aze=zadb.vzadb=1800 -zbdc=l