初二数学--勾股定理讲义(经典)(二)

1、第一章勾股定理【知识点归纳】1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理 勾股定理的逆定理 2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题 1、面积问题2、求长度问题勾股定理的应用&最短距离问题4、航海问题5、网格问题6、图形问题考点一：勾股定理(1)对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b,斜边为c,那么一定有a2 b2 c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论：有一个角是30的直角三角形，300角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形

2、斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证ba例题：例1:已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边(1)在 rtzxabc中，/ c=90若 a=5, b=12,贝u c=;若 a=15, c=25,b=;若 c=61, b=60,a=;若 a ： b=3 ： 4, c=10 贝u rtzxabc的面积是=(2)如果直角三角形的两直角边长分别为n2 1, 2n (n1),那么它的斜边长是(a 、2nb n+1g n21(3)在rtzxabc中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是()222222a. a b c b. a c bc. c2 b2 a2 d.以上都有可能(4)已知一个直

3、角三角形的两边长分别为 3和4,则第三边长的平方是()a 25b 14g 7d 7 或 25例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为 5和12,则它斜边上的高为 。(2)已知 rtzxabc中，/ c=90 ,若 a+b=14cm c=10cm)则 rtzxabc勺面积是()2222a 、24cmb、36 cm g 48cm d 60cm(3)已知x、y为正数，且i x2-4 | + (y2-3) 2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形, 那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()a 5r 25c 7d 1

4、5例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证 明勾股定理。考点二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形。(2)常见的勾股数：(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n) , (8n,15n,17n) , (7n,24n,25n) , (9n,40n,41n).(n为正整数)(3)直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三

5、角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用(1)下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是()a. 4 , 5, 6 b. 2, 3, 4 c. 11, 12, 13 d. 8, 15, 17(2)若线段a, b, c组成直角三角形，则它们的比为()a、2：3：4 b、3：4：6 c、5： 12： 13 d 、4：6：7例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1)下面的三角形中：abc, / c=/ a /b;abc, / a: /b: /c=1: 2: 3;abc, a： b: c=3: 4: 5;abc,三边长分别为

6、8, 15, 17.其中是直角三角形的个数有().a. 1个 b .2个 c .3个 d .4个(2)若三角形的三边之比为 叵二:1 ,则这个三角形一定是()22a.等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d. 不等边三角形(3)已知a, b, c为aabce边，且满足(a2 bj(a 2+b2 c2)=0,则它的形状为()a.直角三角形b.等腰三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()a 钝角三角形 b. 锐角三角形 c.直角三角形 d.等腰三角形(5)若 abc勺三边长a,b,c满足a2 b2 c2 200 12a

7、16b 20c,试判断 abc的形状(6) aabc的两边分别为5,12,另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为三角形为例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25 ,则这个三角形的最大内角是度。(2)已知三角形三边的比为1： 5.2,则其最小角为考点三：勾股定理的应用例题:例1:面积问题(1)下图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若正方形ab g d的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形e的面积是(a. 13b. 26c. 47 d. 94(图1)(图2)(图3)(3)如图，abe直角三角形,分别以ab, bg ac

8、为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得()a. si+ s2 s3b. s 1+ s2= s3c. s2+s sid.以上都不是(2)如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是si、&、则它们之间的关系是()a. si- s 2= s3b. si+ s2= s3c. s2+sv sid. s2- s 3=s例2:求长度问题(i)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。(2)在一棵树10m高的b处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m处的池塘a处；？另外一只爬到树顶d处

9、后直接跃到a外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 试问这棵树有多 高？例3:最短路程问题(1)如图1,已知圆柱体底面圆的半径为高为2, ab, cd分别是两底面的直径，ar bc是母线，若一只小虫从 a点出发，从侧面爬行到 c点，则小虫爬行的最短路线的长度是 (结果保留根式)（图1）(2)如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点 a要爬到顶点b,那么这只昆虫爬行的最短距离为（图2）例4:航海问题(1) 一轮船以16海里/时的速度从a港向东北方向航行，另一艘船同时以 12海里/时的速度从a港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里.(2)如图1,某货

10、船以24海里/时的速度将一批重要物资从 a处运往正东方向的m处，在点a处 测得某岛c在北偏东60。的方向上。该货船航行30分钟到达b处，此时又测得该岛在北偏东300 的方向上，已知在c岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？ 试说明理由。（图1）(3)如图2,某沿海开放城市a接到台风警报,bc方向以15km/h的速度向d移动，已知城市a到bc的距离ad=100km那么台风中心经过多长时间从b点移到d点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 d 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例5:网格问题(1)如图，正方形网

11、格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形 abc中，边长为无理数的边数是()a. 0 b . 1 c . 2 d . 3(2)如图，正方形网格中的 abc若小方格边长为1,则 abc是()a.直角三角形b.锐角三角形c.钝角三角形d.以上答案都不对(3)如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形abcd勺面积是()a. 25 b. 12.5c. 9d. 8.5（图1）ca（图3）（图2）例6:图形问题(1)如图1,求该四边形的面积(2) (2010四川宜宾)如图2,已知,在 abc中，/ a= 45,ac ；2ab=43+1,则边bc的长为*（图1）(3)某公司的大门如图所示，其中四边形

12、a bcd是长方形，上部是以ad为直径的半圆，其中ab =2.3 m , bc =2m ,现有一辆装满货物的卡车， 高为2.5 m,宽为1.6 m,问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由(4)将一根长24 cm的筷子置于地面直径为5 cm,图为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围。 【培优提高】1 .如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 ao6 cm、bo8 cm, 现将aab时叠，使点b与点a重合，折痕为d则be的长为 (a) 4 cm(b) 5 cm(c) 6 cm (d) 10 cmc2 .如图所示，在 rtaabc, / c= 90 , /

13、a= 30 , bd 是/abc 的平分线，c* 5 cm,求 ab 的 长.3 .3 .如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、枇、亚(在图甲中画一个即可)；使三角形为钝角三角形且面积为4 .下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()a.1 , 2, 3b.2, 3, 4c.3, 4, 5d.4, 5, 65 .在abc, ab=6 ac=8 bc=10 则该三角形为()a锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形.等腰直角三角形6 .已知 abc是边长为1的等腰直角三角形，以rtzxabc的斜边ac为直角边，画第二个等腰 rta acd再以rtzxacd勺斜边ad为直角边，画第三个等腰 rtaadie,依此类推，第n个等腰 直角三角形的斜边长是.7 .如图，每个小正方形的边长为1, abc的三边a,b,c的大小关系式:（a） acb（b） abc（c） cab（d） c b a8 .（本题满分10分）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球,