典型信号的傅里叶级数

1、 3.3 3.3 典型信号的傅里叶级数典型信号的傅里叶级数 主要内容 重点 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 难点 信周期矩形信号频谱与脉宽、周期的信周期矩形信号频谱与脉宽、周期的 化规律化规律 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号周期半波余弦信号 周期全波余弦信号周期全波余弦信号 (1)(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解 周期矩形脉冲：脉宽为周期矩形脉冲：脉宽为 ，脉冲幅度为，脉冲幅度为e e，周期为，周期为t t1 1。 02/ 2/ e 2/ 1 t 2/ 1 t 1 t

2、 t )(tf 22 , 22 )( 11 t t t tutuetf 0 1 11 0 2 , n n ab t a n e s e a 偶函数 解：解： 一、周期矩形脉冲信号一、周期矩形脉冲信号 1 1 1 1 0 1 2 2 , 0,0 ,0 1 2 nn n n n nnn n sa s cac c c ff e t e t a e a n 1 1 1 1 1 1 1 1 cos() 2 ( ) 2 jtn n n ee f t t n sat s n a t n e e 三角 指数 1 , 2 0 , 21 f bbb n 周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为 主要能量集中在第一个

3、零点以内，即 称为其频带宽度 （2 2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱 1 w 1 t e n c 1 nw w0 1 2w 2 4 幅度谱幅度谱 0 n w 1 nw 相位谱相位谱 2 4 复数频谱：复数频谱： 1 w 1 t e n f w0 2 1 2w 2 4 实数频谱：实数频谱： 幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并 1 w 0 c n c w0 1 2w 2 4 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况， 对称方波信号有两个特点：对称方波信号有两个特点： a.a.是正负交替的信号，其直流分量是正负交替

4、的信号，其直流分量a a0 0等于零。等于零。 b.b.它的脉宽恰等于周期的一半，即它的脉宽恰等于周期的一半，即t =tt =t1 1/2/2 （3 3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数 0 2 e 4/ 1 t4/ 1 t 1 t t )(tf 2 e 1 t 解：解： 0 00 2 ,1,3,5. 2 . n n n sa n e en ab a 偶函数且， 奇谐函数 0 0,1,3,5. 0,0 ,0 1 22 2 2 nn n n n nnn cca c c ff sa sa e n c n e n ， 1 1 1 21 ( ) 1 ,1,3. s

5、incos() 2 sin 2 n j n nt e f t e n n n n n n t e 三角 指数 1 n 周期对称方波信号的幅度频谱中 收敛规律 n a 1 ww0 1 2w 1 3w 1 4w 1 5w 1 w n a 1 5w w0 1 2w 幅度谱幅度谱 1 3w 1 4w 0 n w 1 w 相位相位 谱谱 1 3w 1 5w 1 7w 二、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解二、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解 周期锯齿脉冲信号，是奇函数。周期锯齿脉冲信号，是奇函数。 t )(tf 2 e 0 2 1 t 2 1 t 2 e 解：解：它是奇函数它是奇函数 0 n a 可求出傅

6、里叶级数的系数可求出傅里叶级数的系数b bn n, , 留给同学们做。留给同学们做。 1 1 1 111 )sin( 1 ) 1( )3sin( 3 1 )2sin( 2 1 )sin()( n n tnw n e twtwtw e tf 其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为： 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n1/n的规律收敛。的规律收敛。 三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解 周期三角脉冲信号，是偶函数。周期三角脉冲信号，是偶函数。 解：解：它是偶函数它是偶函数 0 n b 可求出傅里叶级数的系数可求

7、出傅里叶级数的系数a a0 0,a,an n, , 留给同学们做。留给同学们做。 此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度 以以1/n1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。 t )(tf e 0 2 1 t 2 1 t 1 1 2 22 111 2 )cos() 2 (sin 14 2 )5cos( 25 1 )3cos( 9 1 )cos( 4 2 )( n tnw n n ee twtwtw ee tf 其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为： 四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解 周

8、期半波余弦信号，是偶函数。周期半波余弦信号，是偶函数。 解：解：它是偶函数它是偶函数 0 n b 可求出傅里叶级数的系数可求出傅里叶级数的系数a a0 0,a,an n, , 留给同学们做。留给同学们做。 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 以以1/n1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。 1 1 1 1 2 111 2 )cos() 2 cos( ) 1( 12 )4cos( 15 4 )2cos( 3 4 )cos( 2 )( t wtnw n n ee twtwtw ee tf n 其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数

9、表达式为： t )(tf e 0 2 1 t 2 1 t 1 t 1 t 五五、周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号的傅里叶级数求解 周期全波余弦信号，是偶函数。周期全波余弦信号，是偶函数。 解：令余弦信号为解：令余弦信号为 0 001 2 )cos()( t wtwetf 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 以以1/n1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。 1 0 2 1 111 )2cos( 14 1 ) 1( 42 )6cos( 35 1 )4cos( 15 1 )2cos( 3 142 )( n n tnw n ee twtwtw ee tf 其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为： t )(tf e 0 2