微分方程(习题及解答)

1、精品资料第十二章微分方程12.1微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1.下列所给方程中，不是微分方程的是() (a)xy2y ；(b)x2y2c2；(c) yy 0；(d)(7 x6y)d x( xy)d y0 答 (b) .2.微分方程 5 y4 yxy2 y(3)0 的阶数是 ()(a)1；(b)2；(c)3；(d)4 ；答 (c) .3.下列所给的函数，是微分方程yy0 的通解的是 ()(a)yc1 cosx ；(b)yc2 sin x ；(c) ycosxc sin x ；(d)yc1 cosxc2 sin x答 (d) .4. 下列微分方程中，可分离变量

2、的方程是()(a)yex y ；(b)xyyx ；(c)yxy10 ；(d)( xy)d x( xy)d y 0 答 (a) .5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是()(a)yexy ；(b)xyyx2；(c)yxyx0 ；(d)( xy)d x( x y)d y0 答 (d) .二、填空题1函数 y5x2是否是微分方程 xy2 y 的解 ?答：是 .2微分方程 d xd y0, y x 3 4 的解是答： x2y225 yx3微分方程 3x25x5 y0 的通解是答： yx3x25c 24微分方程 xyy ln y0 的通解是答： y ecx .5微分方程1x2 y1y 2 的通解

3、是答： arcsin yarcsin x c 6微分方程xyyy(ln yln x) 的通解是答： yecx x三、解答题1 求下列微分方程的通解(1)sec2 xtan y dxsec2 y tan xd y0 ；(2)yxya( y2y ) ；解：解：可修改精品资料(3)d y10x y ；(4) ( y2 1) dyx30.d xdx解：解：2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) y e2 x y , y x 0 0 ；(2) y sin x y ln y, y xe；2解：解：(3) xdy 2ydx 0, y1；(4)d y 10x y x 2dx解：解：3* 设连续函数

4、f (x)2 xt dt ln 2 ，求 f ( x) 的非积分表达式答： f ( x) ex ln 2 f02可修改精品资料12.2一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是().dyydy2 y5(a)3(ln x) y2 ；(b)( x1)2dxx 1dxx(c)dy( xy)2 ；(d)( xy)dx( xy)dy 0 答 (b) .dx2. 微分方程 ( x y 2 )d x2xydy0 的方程类型是 ()(a)齐次微分方程；(b) 一阶线性微分方程；(c)可分离变量的微分方程；(d) 全微分方程答 (d) .3. 方程 xyx2y 2y 是

5、()(a) 齐次方程；(b) 一阶线性方程；(c) 伯努利方程；(d) 可分离变量方程 . 答 (a) .二、填空题1微分方程 dyy e x 的通解为答： yce xxe x dx 答： x32微分方程 ( x2y)dxxdy0 的通解为xyc 33方程 ( x y)(dxdy)dxdy 的通解为答： xy ln( x y) c 三、简答题1 求下列微分方程的通解：(1)yy cosxe sin x ；(2)x d yy ln y ；d xx解：解：(3) xy y x23x 2 ；(4) y y tan x sin 2x ；解：解：(5) ( y26x) d y2 y 0 ；(6) ey(

6、 xey2 y)dy 0 ；d x解：解：可修改精品资料(7)(a22xyy2 )d x( xy) 2 d y0 解：2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解dy2 ；dyysin x(1)3y 8, y x 0(2)x, y x1dxdxx解：解：3* 求伯努利方程dy3xy xy2 的通解dx解：可修改精品资料12.3可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1.方程 ysin x 的通解是 ().(a) ycos x1c1x2c2 xc3 ；(b)ycosxc1 ；2(c) ysin x1 c1 x2c2 xc3 ； (d)y2sin 2x .答 (a)22.微分方程 yyxy

7、 满足条件 y x 21 ， y x 21 的解是 ().(a)y( x2；(b)yx12211)2；411125(c) y( x 1)2；(d)yx答 (c) .22243.对方程 yyy 2 ，以下做法正确的是()(a)令 yp( x) ， yp 代入求解；(b) 令 yp( y) ， yp p 代入求解；(c) 按可分离变量的方程求解；(d) 按伯努利方程求解答 (b) .4. 下列函数组线性相关的 是 ().(a)e2 x ,3e2 x ;(b)e2x ,e3x ；(c)sin x ,cosx ;(d)e2 x ,xe2 x 答 (a) .5. 下列方程中，二阶线性微分方程是()(a)

8、y2 y( y )30；(b)y2 yyxyex ；(c) yx2 yy 23x2 ；(d)y2xyx2 y2ex 答 (d) .6.y1 , y2 是 ypyqy 0 的两个解，则其通解是 ()(a)yc1 y1y2 ；(b)yc1 y1c2 y2 ；(c) yc1 y1c2 y2，其中 y1 与 y2线性相关；(d) yc1 y1c2 y2，其中 y1 与 y2线性无关答 (d) .7. 下列函数组线性相关的 是 ().(a)e2 x ,3e2 x ；(b)e2 x,e3 x ；(c)sin x ,cosx ；(d)e2 x,xe2 x 答 (a) .二、填空题1 微分方程 yxsin x

9、 的通解为答： yx3c1 x c2 .sin x62 微分方程 yyx 的通解为答： yc1exx2x c2 .2可修改精品资料三、简答题1 求下列微分方程的通解(1) y 1 ( y )2 ；(2) y1( y )2 2解：解：2 求方程 y x( y ) 20 满足条件 y x 12 ， y x 11的特解解：12.4二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1.下列函数中，不是微分方程yy0 的解的是 ()(a)ysin x ；(b)ycos x ；(c)yex ；(d)ysin xcos x 答 (c) .2.下列微分方程中，通解是yc1e xc2 e3 x 的方程是 ()(a)y2y

10、3y0 ；(b)y2 y5 y0 ；(c)yy2y0 ；(d)y2yy0答 (a) .3.下列微分方程中，通解是yc excxex 的方程是 ()12(a)y2yy0 ；(b)y2 yy0；(c)y2yy0 ；(d)y2y4 y0 答 (b) .4.下列微分方程中，通解是yex (c1 cos2xc2 sin 2x)的方程是 ()(a)y2y4 y0 ；(b)y2 y4 y0(c)y2y5 y0 ；(d)y2y5 y0答 (d) .5.若方程 ypyqy0 的系数满足 1pq 0，则方程的一个解是()(a)x ；(b)ex ；(c)e x ；(d)sin x 答 (b) .6*.设 yf (

11、x) 是方程 y2 y2 y0 的一个解，若f( x0 )0, f ( x0 ) 0，则 f ( x) 在 x x0处 ()(a)x0 的某邻域内单调减少；(b) x0 的某邻域内单调增加；(c)取极大值；(d)取极小值答 (c) .二、填空题1微分方程的通解为y4 y 0 的通解为 答： yc1 c2 e4 x 2微分方程 yy2 y0 的通解为答： yc1exc2 e 2 x 3微分方程 y4 y4 y0 的通解为答： yc1e2 xc2 xe2 x 4微分方程 y4y0 的通解为答： yc1 cos2xc2 sin 2x 5方程 y 6 y13y0 的通解为答： y e 3 x (c1

12、cos2xc2 sin 2 x) 三、简答题可修改精品资料1 求下列微分方程的通解：(1) y y 2y 0 ；(2) 4 d 2 x20 dx25x 0 dt2dt解：解：2 求下列方程满足初始条件的特解(1) y 4 y 3y 0 , y x 0 10, y x 0 6 ；(2) y 25y 0 , y x 0 5, y x 0 2 解：解：12.5二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1.微分方程 yyx2 的一个特解应具有形式 ()(a)ax2 ；(b)ax2bx ；(c)ax2bxc ；(d)x( ax2bxc) 答 (c) .2.微分方程 yyx2 的一个特解应具有形式 ()(

13、a)ax2 ；(b)ax2bx ；(c)ax2bxc ；(d)x( ax2bxc) 答 (c) .3.微分方程 y5 y6 yxe 2 x 的一个特解应具有形式()(a)axe 2 x ；(b)( axb)e 2 x ；(c)( ax2bxc)e 2 x ；(d)x( axb)e 2 x 答 (b) .4.微分方程 yy2 y x2 ex 的一个特解应具有形式()(a)ax2ex ；(b)( ax2bx)ex ；(c)x( ax2bx c)ex ；(d)( ax2bxc)ex 答 (c) .5.微分方程 y2 y3yex sin x 的一个特解应具有形式()(a)ex ( acos xbsin x) ；(b)aex sin x ；(c)xex ( asin xbcosx) ；(d)axex sin x答 (a) .二、填空题1 微分方程 y4yx3x 的一个特解形式为答： y*x3x 482 微分方程 y2 yx 的一个特解形式为.答： y*x( axb) 3 微分方程 y5y6 y xex 的一个特解形式为.答： y*( axb