新课标八年级数学竞赛培训第31讲：完全平方数和完全平方式

1、第31讲：完全平方数和完全平方式一、选择题（共 4小题，每小题3分，满分12分）1. （3 分）若 x 是自然数，设 y=x4+2x三、解答题（共12小题，满分84分）13. （6分）n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和.14. （6分）一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上 168,则是另一个平方数，求这个正整数.15. （8分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为智慧数”，比如16=52- 32, 16就是个 智慧数在正整数中从1开始数起，试问第1998个 智慧数”是哪个数？并请你说明理由.16. （9分）已知：五位数eibcde

2、满足下列条件:（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完全平方数；+2x2+2x+1，则（）a. y 一定是完全平方数b.存在有限个，使y是完全平方数c. y 一定不是完全平方数d.存在无限多个，使y是完全平方数?2010-2014 菁优网2. （3分）已知a和b是两个完全平方数，a的个位数字为a. x, y都是奇数b. x, y都是偶数l,十位数字为x； b的个位数为6,十位数字为y,则（c. x是奇数，y是偶数 d . x为偶数，y为奇数3. （3分）如果厂是整数，那么a满足（）b . a 0,且-a是完全平方数d . a0且a是完全平方数c. a用且a是完全平方数4. （3分）设n是自

3、然数，如果n2的十位数字是7,那么n2的末位数字是（）a. 1b. 4c. 5d. 6二、填空题（共 8小题，每小题3分，满分24分）5. （3分）若四位数km%是一个完全平方数，则这个四位数是 .6. （3分）设m是一个完全平方数，则比 m大的最小完全平方数是 .7. （ 3分）设平方数y2是11个相继整数的平方和，则 y的最小值是 .8. （3分）p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则 p的最大值为 .9. （3分）设自然数 n是完全平方数，n至少是3位数，它的末2位数字不是00,且去掉此2位数字后，剩下的数 还是完全平方数，则 n的最大值是.10. （3分）使得n2-19n+95

4、为完全平方数的自然数 n的值是11. （3分）自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则 n=12. （3分）两个两位数，它们的差是 56,它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是（3）它的万位上的数字 a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数嬴以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数不也都是完全平方数.试求出满足上述条件的所有五位数.17. （8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由.18. （6分）使得（n2-19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少?19. （8分

5、）已知ai, a2,，a2002的值都是1或-1,设m是这2002个数的两两乘积之和.（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件.20. （8分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方）， 证明：（1） 2a, 2b, c都是整数；（2） a, b, c都是整数，并且 c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切 x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？21. （7分）是否存在一个三位数 abq （a, b, c取从1到9的自然数），使得巴be十bca十cab为

6、完全平方数？22. （6分）求证：四个连续自然数的积加1,其和必为完全平方数.23. （6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列.若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列.问原长方形队列共有多少名战士？24. （6分）证明：399一多就。1是一个完全平方数.新课标八年级数学竞赛培训第 31讲：完全平方数和完全平方式参考答案与试题解析一、选择题（共 4小题，每小题3分，满分12分）1. （3 分）若 x 是自然数，设 y=x （3分）设n是自然数，如果n2的十位数字是7,那么n2的末位数字是（）+2x3+2x2+2x+1，则（）a. y 一定是完全平方数b.

7、存在有限个，使y是完全平方数c. y 一定不是完全平方数d.存在无限多个，使y是完全平方数考点：完全平方数.分析：因为x是自然数，那么。也属于自然数.然后根据y=x4+2x3+2x2+2x+1 ,讨论y是不是完全平方数.解答：解：当x=0时，y=1. y是完全平方数.当 x 为大于 0 的自然数时.x4+2x3+2x2vyvx4+x2+1+2x3+2x2+2x.故（x2+x） 2 y0且a是完全平方数b. a 0,且-a是完全平方数c. a用且a是完全平方数d. a0,且-a是完全平方数考点：完全平方数.分析： 厂基整数，则a是一个完全平方数，据此即可作出判断.解答：解：如果.尸祸整数,则-a

8、是一个完全平方数，则-a用.故a磷，且-a是完全平方数.故选d.点评：本题主要考查了完全平方数，以及二次根式有意义的条件，正确理解完全平方数的意义是解题的关键.a. 1b. 4c. 5d. 6考点：尾数特征.专题：规律型.分析： 设自然数n的末两位数字为10a+b,则（10a+b） 2=a2m02+2abm0+b22ab是偶数，要使十位数字是 7,则b2的十位数字必须是奇数，而使一位数b2的十位数字是奇数的，只有4或6.可知n2的末位数字是6.解答： 解：设自然数 n的末两位数字为10a+b （其中a为19之间的正整数，b为09之间的正整数）， （10a+b） 2=a2xi02+2abm0+b

9、2.而2ab是偶数，b2的十位数字必须是奇数，b=4 或 6.42=16, 62=36.n2的末位数字是6.故选d.点评： 本题考查了尾数特征和完全平方公式，由n2的十位数字是7,得出n的末位数字是4或6是解题的关键.二、填空题（共 8小题，每小题3分，满分24分）5. （3分）若四位数二二力/是一个完全平方数，则这个四位数是7744 .考点：完全平方数；数的整除性.专题：综合题.分析：由xxyy这个数的特点可知这个数能被11整除，又它是完全平方数所以能被11的平方121整除.又它是4位数且为完全平方数，所以此数应为121与9 16 25 36 49 64 81的乘积的一种.分别计算可知此数应

10、为121与64的乘积，为7744.其他乘积均不行.解答：解：二四位数而或是一个完全平方数，这个数能被11整除，则上工yy=11 （100x+y）是一个完全平方数，则 100x+y能被11整除，.1 100x+y=99x+ （x+y）,1- x+y能被11整除，而1a+yw8,，只有 x+y=11 ,经检验 x=7, y=4,故这个四位数为 7744.故答案为：7744.点评：本题考查了完全平方数的性质，以及数的整除问题，是重点又是难点，要熟练掌握.6. （3分）设m是一个完全平方数，则比 m大的最小完全平方数是 l4+1） 2考点：完全平方数.专题：综合题._分析：由m是一个完全平方数，得 m

11、是-后的平方数，则比 ,大且最小的整数是 皆+1,从而得出它的平方.解答：解：.m内一个完全平方数，m之后的平方数，比而大且最小的整数是 vn|+1, 它的平方是（mg+1） 2.故答案为：（、后+1） 2.点评：本题考查了一个数的完全平方数，以及完全平均数的性质，要熟练掌握.7. （ 3分）设平方数y2是11个相继整数的平方和，则 y的最小值是-11 .考点：完全平方数.分析： 设这11个数分别为：x- 5, x- 4, x - 3,，x+4, x+5 .列出方程，讨论 y的最小值.解答： 解：设 11 个数分别为：x- 5, x4, x - 3, , x+4, x+5 .贝u这 11个相继

12、整数的平方和为(x-5)2+(x-4)2+-+x2+-+ (x+4)2+(x+5)2=11(x2+10)=y2,因为y2是平方数，则当y最小时，y2最小.则y最小时，从而x2=1, y2=121 ,y=卬.则y的最小值是-11.点评：本题考查了完全平方数的应用，根据题意列出合适的方程是解题关键.8. (3分)p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则 p的最大值为 -65 .考点：完全平方数.专题：方程思想.分析： 根据p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，可知 2001+p是小于2001的完全平方数，由于小于2001的最大完全平方数是 442,则有方程2001+p=442,求解即可

13、.解答：解：:p是负整数，且取最大值.则有 4422001+p452,2001+p=442=1936, p= - 65.故答案为：-65.点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是找到小于2001的最大的完全平方数.9. (3分)设自然数 n是完全平方数，n至少是3位数，它的末2位数字不是00,且去掉此2位数字后，剩下的数 还是完全平方数，则 n的最大值是 1681.考点：完全平方数.分析：根据题意，设 n=x2 (x为自然数)，去掉此两位数字后得到整数 m, m=k2 (k为自然数)，然后根据其中关 系求解n.解答： 解：设n=x2 (x为自然数)，n的末两位数字组成整数v,去掉此两位

14、数字后得到整数m, m=k2 (k为自然数)，则 1 或99, x2=100k2+y, y=x2-100k2= (x+10k) (x-10k).令 x+10k=a , x - 10k=b ,贝u b 耳，k , x=10k+bm1, a=x+10k 或1.若 k4,则 x=10k+b 41, a=x+10k 刃1,唯有 b=1 , k=4, x=41 , a=81 , y=81 , m=16, n=1681 .显然当k89,根据奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的解答： 解：设 n - 52=a2, n+37=b2,则 a2 - b2= - 89= - 1x89,即（a+b） （a-b）

15、 = - 1 89,且a+b与a- b的奇偶性相同，故 a+b=89, a - b= - 1,于是 a=44, b=45,从而 n=1988.故答案为：1988.点评：本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定.12. （3分）两个两位数，它们的差是 56,它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是78 和 22 .考点：尾数特征.专题：计算题.分析：根据两位数的差是 56列出x - y=56 ,根据两位数的平方数的末两位数字相同，得到x2-y2=mx100 （ m为正整数），解方程组，推出 m的值，从而求出y的值.解答： 解：-1 x- y=56, x2-

16、 y2=mm00 （m 为正整数），消去 x,得 112y=100m - 3136, y=_z-28,28: y是一个两位数且 mn,即智慧数=m2-n2= (m+n) (m-n),因为m, n是正整数，因而 m+n和m - n就是两个自然数.要判断一个数是否是智 慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差.解答： 解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是 智慧数对于大于1的奇正整数2k+1 ,有2k+1= (k+1)2-k2(k=1, 2,).所以大于1的奇正整数都是 智慧数”.对于被4整除的偶数4k,有4k= (k+1) 2- (k-1) 2

17、 (k=2, 3,).即大于4的被4整除的数都是 智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以 4不是 智慧数对于被4除余2的数4k+2 (k=0, 1, 2, 3,)，设4k+2=x2-y2= (x+y) (x y),其中x, y为正整数，当x, y奇偶性相同时，(x+y) (x-y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x, y奇偶性相异时，(x+y) (x-y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾.所以不存在自然数 x, y使得x2-y2=4k+2.即形如4k+2的数均不为 智慧数”.因此，在正整数列中前四个正整数只有3为 智慧数”，此后，每连续四个数中有三个智慧数因为 1998= (1+3

18、665) +2, 4x (665+1) =2664 ,所以 2664 是第 1996 个智慧数”，2665 是第 1997 个智慧 数”，注意到2666不是智慧数”，因此2667是第1998个智慧数”，即第1998个智慧数”是2667.点评：本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握.16. (9分)已知：五位数 时亡北满足下列条件：(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的长 a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数菽以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数不也都是完全平方数.试求出满足上述条件的所有五位数.考点：完全平方

19、数.专题：计算题.木斤_c._ _ cc/ccc设砂二正熹，且a=m2 （一位数），&52 （两位数），泉二十2 （两位数），则m2=m2 m04+n2xi02+t2 由式知m2= （mm02+t） 2=m2xi04+2mtm02+t2，比较式、式 得n2=2mt.然后讨论即可得出答案.解答：解：设产二而三，且a=m2 （一位数），二n 2 （两位数），工值二1 2 （两位数），则m2=m2m04+n2xi02+t2由式 知 m2= （mm02+t） 2=m2m04+2mtm02+t2比较式、式得n2=2mt.因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数.故 n2

20、=16 或 36 或 64.当n2=16时，得mt=8,则m=l, 2, 4, 8, t=8, 4, 2, 1,后二解不合条件，舍去；故 m2=11664 或 41616.当n2=36时，得mt=18.则m=2, 3, 1, t=9, 6, 18.最后一解不合条件，舍去.故 m2=43681 或 93636.当 n2=64 时，得 mt=32.则 m=1 , 2, 4, 8, t=32, 16, 8, 4 都不合条件，舍去.因此，满足条件的五位数只有4个：11664, 41616, 43681 , 93636.占评. .c .本题考查了完全平方数，难度较大，关键是设m2=abed巳，且a=m2

21、 （一位数），bc=n 2 （两位数），de二t2（两位数），然后表示出 m2的形式.17. （8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由.考点：完全平方数.专题：证明题.分析：根据偶数的平方和为偶数，奇数得平方和为奇数，即可讨论这四个数的奇偶性，再讨论三个奇数的性质，即可求得其中结论矛盾，即可求得不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数，即可解题. 解答：解：偶数的平方能被 4整除，奇数的平方被 4除余1,即正整数的平方被 4除余0或1.若存在正整数满足 ninj+2002

22、=m2； i, j=1 , 2, 3, 4, n是正整数； , 2002被4除余2,ninj被4除应余2或3.（1）若正整数n1，n2, n3, n4中有两个是偶数，设n1, n2是偶数，则n1n2+2002被4除余2,与正整数的平方被 4除余0或1不符，故正整数n1, n2, n3, n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数.（2）在这三个奇数中，被 4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1,与ninj被4除余2或3的结论矛盾.综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.点评：本题考查了奇数、偶数的

23、性质，考查了完全平方数的性质，本题中讨论四个数的奇偶性是解题的关键.18. （6分）使得（n2-19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少?考点：完全平方数.分析： 根据n2- 19n+91= （n-9） 2+ （10-n）,可分两种情况： 当n10时（n2t9n+91）不会成为完全平方 数；当n40时，（n2-19n+91）才是完全平方数；从而得出n的值为9或10.解答：解：若(n2-19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了.1.1 n2 - 19n+91= (n-9) 2+ (10-n)当 n 10 时，(n- 10) 2v n2- 19n+91 10 时(

24、n2- 19n+91 )不会成为完全平方数当n40时，(n2t9n+91)才是完全平方数经试算，n=9和n=10时，n2- 19n+91是完全平方数.所以满足题意的值有 2个.点评：本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要掌握.19. (8分)已知a1, a2,，a2002的值都是1或-1,设m是这2002个数的两两乘积之和.(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；(2)求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件.考点：完全平方数.专题：计算题.分析： （1）由于（a1+a2+-+a2002） 2=a12+a22+a20022+2m=2002+2m ,可得（:a14自产

25、+自2口2 ） 2 2002m=. a1+a2+ +a20022=2002时，m有最大值，a1+a2+-+a2002=0时，m有最小值，最大值应为 2003001,最小值应为 57.(2)找到最小的比2002大的偶数完全平方数，即当这2002个数中有1024个1, 978个-1时，或者有978个1, 1024个-1时取得最小正值.解答： 解：(1) ( a1+a2+a2002) 2=a12+a22+ - +a20022+2m=2002+2m ,(力4自产+勺见2 2 2002m=2,当 a1=a2=-=a2002=1 或-1 时，m 取最大值 2003001.当a1，a2, a2002中恰有1

26、001个1, 1001个-1时，m取最小值-1001.(2)因为大于2002的最小完全平方数为 452=2025,且a+a2+-+a2002必为偶数, 所以，当 a1+a2+a2002=46 或-46;即a1, a2, a2002中恰有1024个1, 978个-1或恰有1024个-1, 978个1时，m取最小值一 (,4屋- 2002)=57 .点评：本题考查了完全平方数和多项式的乘法，解题的关键是将由(a1+a2+-+a2002)2=a12+a22+ - +a20022+2m=2002+2m ,得到m=甘什己口+0口门口口) - 2002t,有一定的难度.20. (8分)如果对一切x的整数值

27、，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方)， 证明：(1) 2a, 2b, c都是整数；(2) a, b, c都是整数，并且 c是平方数；(3)反过来，如(2)成立，是否对一切 x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？考点：完全平方数.专题：代数综合题.分析：(1)分别令x=0 , x=1 , x= - 1然后代入二次三项式，可得出 2a, 2b, c都是整数.(2)分别令令x=2, x=-2,代入二次三项式，然后利用奇偶性可分别得出结论.(3)令x=1, a=1, b=1, c=1代入即可作出判断.解答：证明：(1) ,对一切x的整数值，x的二次三项式a

28、x2+bx+c的值都是平方数， 令 x=0 , a?02+b?0+c=c,c是整数且是平方数，令 x=1 , - 1 时 a?12+b?l+c, a? (-1) 2+b? (- 1) +c 是平方数，可设 a?12+b?1+c=mi2 a? (-1) 2+b? (-1) +c=ni2 c=ki2 (miniki 均为整数)，-得:2b=mi2 ni2,2b为整数(整数相减为依然为整数)，由得：2a=2mi2- 2b- 2c,2a为整数，.2a, 2b, c都是整数；(2) (1)中已证c是整数且是平方数，令 x=2 , -2 时，可设 a?22+b?2+c=m22 a? (- 2) 2+b?

29、(-2) +c=n22 c=ki2 (m2n2ki 均为整数)， 22 一得：4b=m2 n2 = (m2+n2)( m2 n2)=2 (2b), 2b为整数，2 (2b)为偶数，则 m22-n22为偶数，1 (m2+n2), (m2n2)同奇同偶，则可设(m2+n2) =2m, (m2-n2) =2n (m, n 均为整数)，4b=2m?2n=4mn ,b=mn,b为整数；(3)令 x=1, a=1, b=1, c=1 ,则 ax2+bx+c=3 ,而 3 不是平方数.不一定成立.点评：本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整 问题一般思路

30、都是用特殊值法.21. (7分)是否存在一个三位数 abq (a, b, c取从1到9的自然数)，使得cab为完全平方数？考点：完全平方式.专题：推理填空题.分析： 假设存在，那么三数之和可写成111 (a+b+c),由于111 (a+b+c)完全平方数，而 111=337,且3、37是质数，故可知a+b+c中必有因数3和37,又0q+b+ck7,说明a+b+c中不含因数37,从而直bc+cab 不是完全平方数，这样的三位数不存在.解答：解：假设存在，根据题意得abc+bca+cab=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111 (a+b+c),111=337,而3

31、、37是质数，a+b+c的和中必有因数 3和37,又a, b, c取从1到9的自然数，0a+b+c27,a+b+c中不含因数 37,+不是完全平方数.故这样的三位数不存在.点评：本题考查的是完全平方数、质数、不等式的有关知识.22. (6分)求证：四个连续自然数的积加1,其和必为完全平方数.考点：完全平方数.专题：证明题.分析： 可设最小的自然数为 n,则四个连续自然数的积加1,可以写成nx (n+1) x (n+2) x ( n+3) +1,再转化为n x (n+3) m (n+1) x (n+2) +1= (n2+3n) (n2+3n+2) +1= (n2+3n) 2+2 (n2+3n)

32、+1= (n2+3n+1) 2.从 而得以证明.解答：证明：设最小白自然数为n,则有nx (n+1) x (n+2) x (n+3) +1=n x (n+3) m (n+1) x (n+2) +1=(n2+3n) (n2+3n+2) +1=(n2+3n) 2+2 (n2+3n) +1=(n2+3n+1) 2.故四个连续自然数的积加l,其和必为完全平方数.点评： 本题考查了完全平方式，解题的关键是将nx (n+1) x (n+2) x (n+3)首尾相乘，整体思想将使式子转化为完全平方式.23. （6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列.若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列.问原长方形队列共有多少名战士？考点：完全平方数.专题：应用题；因式分解.分析： 可设原有战士 8n人，8n+120=a2, 8nt20=b2