利用导数求最值

1、利用导数求最值导数是研究数学和英他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工 具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支, 在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的 极值、最值等。下而就利用导数求最值作一阐述，供参考。一、函数的最大值与最小值在闭区间“上上连续，在(“)内可导，/(X)在“上求最大值与最小值的步 骤：先求蚀在(内的极值;再将/(x)的各极值与/()、/(b)比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值。求可导函数极值的步骤：首先：求导数/(X)：再求导数f (x)=0的根；最后：检查

2、f(x)在方程根左右的值的 符号，如果左正右负，那么/(X)在这个根处取极大值：如果左负右正，那么/(X)在这个 根处取极小值。二、利用导数求最值1 12例 1.设x0,求lnx +(x-1)2 +-(x-l)3 的最小值。x 23I 19解：设/(x) = lnx + (x-l)2+-(x-l) 贝ijx 232x + *fW = r (%1) + 2(兀一1)2 = (x 1) (x -1) + 2(x 1)一(Y-1)-1 + Vnf r_n1 x2+ o( v_n?十八17Lx*一k厂=(X 1)令/(x) = 0,由x0,解得x = lo列表:A(0, 1)1(l,+8)fx)0+/

3、w最小值/由表可知，当x = l时，/(x)有最小值1。评注：利用导数求最值，先确左函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。 当函数f (x)为连续函数且在上单调时，英最大值、最小值在端点处取得：当连续函数f(X)在(a, b)内只有一个可疑点时，若在这一点处f(X)有极大(小) 值，则可以判左f（X）在该点处取得最大（小）值，这里 G b）也可以是无穷区间。可复制.编制.期待你的好评与关注!练习1：已知a $ 0,函数f (x) = (x2-2ax) es ,当x为何值时，f (x)取得最小值？并证明你的结论：三、利用导数求最值的运用(-)求函数的值域例2、求函数/(x) =

4、5x + 21+3 -747的值域.解：由04-x0得/的左义域为一3x4o 1Jx + 3 2厶 + 4因为 / = /(Q =(5xy+(2V7T3y(V)=5+/(X)在-34上单调递增，故当x = -3时，珈小=15J7,x = 4时， 九人=20+2J7 .所以值域为-15 -77,20 + 2。评注：求函数的值域转化为求/(x)在闭区间-3,4上的最大值和最小值的问题，考虑其单 调性易求值域，必须注意函数的定义域。练习2：已知x, y为正实数，且满足关系式x2-2x + 4y2 =0,求xy的最大值。(二)利用最值求参数的值(或范用)例3、设-!,函数/(x) = x3-av2 +

5、b(-x f(a), /(-1)0, /.f(X)最大值为 f (0) =b=U2又/(-I)-7(6/) = l(a3-3a-2) = i(a + l)2(-2) 0 o/(X)min = /(1)， 1+ = = 一 ,= 1 0评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的 大小，列表解题一目了然，从而确定出a, b的值。(三)利用最值研究恒成立问题例4、设函数f(x) = x 丄x? 2x +5,若对于任意x e-1,2都有f(x) m成立，求实数2m的取值范围a2解：f(x) = 3x -x-2,令fx) = O,得x =或x = l。27当 xl

6、时,f(x)0, y = f(x)在(-oo, 一一)和(h +s)上为增函数，2 ?在(一二，1)上为减函数，f(x)在x =二处有极大值，在x = l处有极小值。222极大值为f(-刁=5 ,而f(2) = 7, /.f(x)在-1, 2上的最大值为7。32 7若对于任意xe-l, 2都有f(x)7.评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)a对xGR恒成立O f(x)的最 小值Ma成立：f (x) Wa对xWR恒成立Of仗)的最大值Wa成立。练习2：已知函数/(X)= / +0X2 +bx + C在x = -2与x=l时都取得极值。求a、b的值；若对1,2,/(x)yc2恒成

7、立，求c的取值范围。四、利用最值证明不等式例5、已知/(x) = “/+*: +d(aHO)是R上的奇函数，当x二1时，f(x)取得极值-2。(1) 求f(x)的单调区间和极大值：(2)对任意山,心已(一1,1),求证：不等式 |/(x,)-/(x2)| 4 恒成立。解：(1) Vf(x)是奇函数，x已R、f(0)二0, Ad=0因此 f(x) = ax + ex, f (x) = 3ax + c由条件f(l)=-2为f(x)的极值,f (1)=0,G + c = 2昇,解之得：a=b c二-33a+ c = 0则 /(x) = x3-3xj (x) = 3x2-3, 令/ (x) = 0,

8、Wx = l.f(x)的单调减区间是-1, 1, f(x)的单调增区间是(8,1抑1, + s)当xAL时,f(x)有极大值2。(2)证明：由(1)知f(x)在-1, 1上是减函数，且f(x)在-1, 1上有最大值f(-l)=2, 有最小值f二-2对任意xx2 e (-1,1),恒有|伽)-/(x2)| |/(-1)-/(D| = 4评注：本题(2)借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函 数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧 的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。附练习答案：1、解:(1)对函数 f(X)求导数，得 f

9、r (x) =(X22ax) ex+ (2x2a) er,= x:+2 (1-a) x-2a e 令亡 (x) =0,得xa+2 (1-a) x-2a ex=0,从而 x+2 (1 a) x2a=0o 解得 = “ 1 - Jl + a，x2 = a l + Jl + a，其中 X1 Xc)f (x)+0/极小值f (X)/极大值、当f (x)在X=X1处取到极大值，在x = x=处取到极小值.当aMO时，x20, f (x)在(Xi, xc)为减函数，在 g, +8)为增函数. 而当 xVO 时，f (x) =x (x-2a) ex0； 当 x=0 时，f (x) =0.x = a- + Jl + d所以当时，f(X)取得最小值。解：由题意，xy = x2x-x2 (0 x 2),设 f (x) = xyjlx-x1 (0 x 2y+0y/极大值80由上表可知，当X二丄时，f(X)最大值为主丄，亦即xy的最大值为 o2 8 83、解：(1)心=-丄,/? = -2：2令 g(x) =