数学中考压轴题大集锦

1、江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题12:押轴题解答题21.(苏州10分)已知二次函数y=a(x 6x+8 j(a a0 )的图象与x轴分别交于点 a、b,与y轴交于点c.点 d是抛物线的顶点.(1)如图，连接ac,将oac沿直线ac翻折，若点。的对应点o”恰好落在该抛物线的对称轴上， 求实数a的值；(2)如图，在正方形efgh中，点e、f的坐标分别是(4, 4)、(4, 3),边hg位于边ef的右侧.小 林同学经过探索后发现了一个正确的命题：若点p是边eh或边hg上的任意一点，则四条线段pa、pb、pc、pd不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形

2、).”若点p是边ef或边fg上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（图）(3)如图，当点p在抛物线对称轴上时，设点 p的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正 数a,使得四条线段 pa、pb、pc、pd与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四 边形)？请说明理由.【答案】解：(1)由y=a(x2 6x+8),令 y =0 ,解得，xi =2, x2 =4。令 x =0 ,解得，y =8a。点a、b、c的坐标分别为(2, 0), (4, 0),，该抛物线的对称轴为 x=3 。如图，设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点 m,则由oa=2得am=1

3、。由题意，得 oa=oa=2 , .1. oa=2am , . . / oam=60。 ./oac=/cao=60 0。，oc=oa。3 = 2褥，即 8a =2押。(2)若点p是边ef或边fg上的任意一点，结论仍然成立。(图如图，若点p是边ef上的任意一点(不与点e重合)，连接pm,点 e (4, 4)、f (4, 3)与点 b (4, 0)在一直线上，点c在y轴上， .pbv4, pc pcpbo又. pdpm pb, papmpb, .pa pa, pb pc, pb pd。 此时线段pa、pb、pc、pd不能构成平行四边形。设点p是边fg上的任意一点(不与点 g重合)， 点 f 的坐标

4、是(4, 3),点 g 的坐标是(5, 3) , fg=3, gb= /0。 .3wpb v 而。 po4,pc pb。又 pdpmpb, papmpb,pb pa, pb pc, pb pd。 此时线段pa、pb、pc、pd也不能构成平行四边形。(3)存在一个正数 a,使得线段pa、pb、pc、pd能构成一个平行四边形,如图，点 a、b是抛物线与x轴交点，点p在抛物线对称轴上，. pa=pbo工图) 当pc=pd时，线段pa、pb、pc、pd能构成一个平行四边 形。 点c的坐标是(0, 8a),点d的坐标是(3, a),点p的坐标是(3, t),pc2 =32+ (t8a)2, pd2 =(

5、t+a)2由 pc=pd 得 pc2=pd2, 32+ (t8a)2 =(t+ a)2,整理得，7a2 2ta +1=0 ,解得a =上*二7一 t _ t2 _7显然a =tt7满足题意。7，当t是一个大于3的常数时，存在一个正数 a17； -7 ,使得线段pa、pb、pc、pd 能构成一个平行四边形。【考点】二次函数综合题，图形的翻转，含300角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。【分析】（1）先利用点在抛物线上，点的坐标满足方程和含300角的直角三角形中300角所对的直角边是斜边一半的性质，求出点 a、b、c的坐标，再求出a。（2）分点p在边ef或边fg上两种情况比较四

6、线段的长短来得出结论。（3）因为点a、b是抛物线与x轴的交点，点p在抛物线对称轴上，所以 pa=pbo要pa, pb, pc, pd构成一个平行四边形的四条边，只要pc=pd,从而推出a。2.（无锡10分）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称 爷税法草案”）拟将现行个人所得税的起征点由每月 2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为 7级， 两种征税方法的15级税率情况见下表：税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额x税率速算扣除数月应纳税额x税率速算扣除数1x 5005%0x 1 5005%02500x & 200010%251500xw 450010

7、%32000x & 500015%1254500x & 900020%45000x & 2000020%3759000x & 3500025%975520000x & 4000025%137535000x & 55 00030%2725注：月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额.速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数.例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算:方法一：按13级超额累进税率计算，即500x5%+1500x10%十600x15% =265(元).方法二：用 月应纳税额x适用税率一速算扣

8、除数”计算，即2600x15% 125=265(元)。请把表中空缺的 速算扣除数”填写完整；(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按 个税法草案”计算，则他应缴税款多少元 ？(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按 个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？【答案】 解：(1)75, 525。(2)列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y:税级现行征税方法月税额缴个人所得税y草案征税方法月税额缴个人所得税y1y 25y 75225y 17575y & 3753175y & 625375y & 12754625y & 36251275y

9、 & 777553625y & 86257775y & 13775因为1060元在第3税级，所以有20% x 525= 1060, x = 7925(元)。答：他应缴税款7925元.(3)缴个人所得税3千多元的应缴税款适用第 4级，假设个人收入为k,则有20%(k - 2000) - 375 = 25%(k - 3000) - 975 ,k=19000。所以乙今年3月所缴税款的具体数额为 (19000-2000)次0%375= 3025(元)。【考点】统计图表的分析。【分析】(1)当 1500xw450001 应缴个人所得税为 1500m5%+(x1500f10%=10%x75元；当 4500

10、0)的图像过 x点e与直线li相交于点f。若点e与点p重合，求k的值;连接0、05、5。若卜2,且405的面积为 pef的面积的2倍，求e点的坐标;是否存在点 e及y轴上的点m,使得以点m、e、f为顶点的三角形与pef全等？若存在，求 e点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：(1) .直线li过点a (1, 0)且与y轴平行，直线12过点b (0。2)且与x轴平行，直线li与直线相交于点p, 点p (i, 2)。若点e与点p重合，则k= ix2 = 2。(2)当k2时，如图i,点e、f分另j在p点的右侧和上方，过 e作x轴的垂线ec,垂足为c,过f作y轴的垂线fd,垂足为d点g,则四边形o

11、cgd为矩形.pexpf,kk ,em，2 f。，k)g(2,kjii k / s(a pef= pf pe i i k22 2i 2-2 二一k2 -k i4ec和fd相交于，四边形 pfge是矩形，sapef= sagfe,sa oef= s巨形ocgd 一sa dofcckii2i一$ gfe- saoce= k i k . _ kk+i2242k2 -i sa oef=2s4pef, k2 1=2 k244k=2时，e、f重合，舍去。k = 6, ，e点坐标为：（3, 2）。（3）存在点e及y轴上的点m,使得 mefapef当k2时,mfeapef,作 fqy轴于 fqma mbe 得

12、,bm emfq -fmk fq=1, em = pf=k-2, fm = pe= - 1,bm k-2仁,bm = 2 = , bm =21 k112q,在rtambe 中,由勾股定理得， em 2= eb2+ mb 2 (k-2) 2此时e点坐标为(k) 2+22,2(8,2)3解得k=3或0,但k=0不符合题意,s3163，符合条件的e点坐标为（2)（3【考点】反比例函数的应用，矩形的性质,次方程，全等三角形的判定和性质,定和性质，勾股定理。【分析】（1）易由直线i, 11求交点p坐标。若点e与点p重合，则点p在y相似三角形的判k-图象上，坐标满足函数 x1，一，一y = x+ (x0)

13、的图象性质.xya5 -4 -3 -2 -1 j| 1ijii-1o 1234 5 xx1413121234yx1413121234y17410352252103174关系式，求出k(2)要求e点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形oef面积是pef面积2倍的关系求出k o(3)要求e点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用 出k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出出k o要注意应根据点 p、e、f三点位置分出k2两种情况讨论。4.(南京11分)问题情境：已知矩形的面积为 a (a为常数

14、，a 0),当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少?数学*ii型：设该矩形的长为x,周长为y,则与x的函数关系式为y=2(x+-)(x0). x探索研究：我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数填写下表，画出函数的图象：观察图象，写出该函数两条不同类型的性质;在求二次函数 y=ax2 +bx+c(a#0)的最大(小)值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得1到.请你通过配方求函数y =x十一(x0)的最小值.x解决问题：用上述方法解决 问题情境”中的问题，直接写出答案.【答案】解：一一 1,，一，一函数y =x +(x0)的图象如图： x本题答案不唯一，下列解法供参考.当0 cx

15、1时，y随x增大而增大；当x=1时，函数y的最小值为2。 y =x + g=(vx)2 +(q2= (vx)2 +(，)2 27x y1x +2& x= =(vx -1x)2 + 2 ,当xx - - =0,即x=1时，函数y=x+l(x0)的最小值为2。xy = 2(xa)2=2.|(物2 +(a)2 -2.x -/ 2,x -. a12(vxja)2 +4da ,x当jxja=0,即x = ja时，函数y=2(x+a)(x0)的最小值为47a 当该矩形的长为.3时，它的周长最小，最小值为 4. a。【考点】画和分析函数的图象，配方法求函数的最大(小)值。【分析】将x值代入函类数关系式求出

16、y值，描点作图即可，然后分析函数图像。仿 y =2(x -) = 2 ( x)2 (, a)2所以，当jxja=0,即x=g时，函数y=2(x+a)(x0)的最小值为46。xx5.(南通14分)如图，已知直线l经过点a(1,0),与双曲线y = m(x0) x交于点b(2, 1).过点p(p, p 1)( p1)作x轴的平行线分别交双曲线 y=m(x0 )和 y =m(x 0 )于点 m、n. xx(1)求m的值和直线l的解析式；(2)若点p在直线y = 2上，求证： pmbspna；(3)是否存在实数p ,使得saamn = 4samp ?若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明

17、理由.【答案】解：(1)由点b(2, 1)在y=m上，有2= m，即m = 2。x1设直线l的解析式为y=kx+b,由点a(1 , 0),点b(2, 1)在y = kx+b上，得,解之，得k =1,b= -1 0k b=042k b=1 所求 直线l的解析式为y=x-1。(2),点 p( p , p -1)在直线 y= 2 上，p在直线l上，是直线y=2和l的交点，见图(1)。，根据条件得各点坐标为n (1, 2), m (1, 2), p (3, 2)。np=3 (1) =4, mp= 3-1 = 2, ap= 722 +22 =48 = 242 ,bp= & +12 = 在 pmb 和4p

18、na 中，/ mpb = / npa, 也=ap = 2 。 mp bp . pmba pna。1(3)saamn = - 1+1 )2=2o下面分情况讨论：当1vp 3时，延长pm交x轴于q,见图(3)。此时，s*mp大于情况当p = 3时的三角形面积 saamn 故不存在实数 p ,使得 sa amn = 4sa amp 方程组,3 - -综上，当 p = 2 时，saamn = 4s amp 反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二次方程。求解二元一次方程组可得直线l的用点b(2, 1)的坐标代入y=m即可

19、得m值，用待定系数法,x解析式。(2)点p( p , p - 1)在直线y = 2上，实际上表示了点是直线y = 2和l的交点，这样要求证 pmba pna只要证出对应线段成比例即可。(3)首先要考虑点p的位置。实际上，当 p=3时，易求出这时saamp = saamn ,当 p 3 时，注息到这时s“mp大于p =3时的三角形面积，从而大于saamn。所以只要主要研究当 1 p3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线mp的方程，再求出各点坐标(用p表示)，然后求出面积表达式， 代入s*mn= 4s”mp后求出p值。6.(泰州12分)在平面直角坐标系 xoy中，边长为a (a为大于0的常数)的

20、正方形 abcd的对角线ac、bd相交于点p,顶点a在x轴正半轴上运动，顶点 b在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点 o),顶点c、d都在第一象限。(1)当/ bao=45时，求点p的坐标;(2)求证：无论点a在x轴正半轴上、点b在y轴正半轴上怎样运动,点p都在/ aob的平分线上;(3)设点p到x轴的距离为h,试确定h的取值范围，并说明理由。【答案】 解：（1）当/ bao=45时，四边形 oapb为正方形。a ）。oa = ob = a cos45 = a o . . p点坐标为（史 a , 四 222（2）作de，x轴于e,pf x轴于f,设a点坐标为（m , 0）

21、, b点坐标为（0, n）,/ bao + / dae = / bao + / abo = 90, . . / dae = / abo。在 aob和4dea中，乙 a o bd e a= 9 04/abo=/dae,.aob和 dea （aas）。a b= a d,-.ae = 0b= n, de = oa = m。d点坐标为（m + n , m）。点p为bd的中点，且b点坐标为（0, n）.p点坐标为（1s）m nopf=of= 。 / pof=45。2即无论点a在x轴正半轴上、点op 平分/ aob 。b在y轴正半轴上怎样运动，点 p都在/ aob的平分线上。（3）当a, b分别在x轴正半

22、轴和则 045 , h = pf= pa-0 wq45。 cos ”w12y轴正半轴上运动时，设pf与pa的夹角为2cos = 0（- a - cos。a - - a h 0).(1) apbm与4qnm相似吗？以图1为例说明理由；(2)若/ abc= 600, ab =473 厘米.求动点q的运动速度；设4apq的面积为s (平方厘米)，求s与t的函数关系式；(3)探求bp2、pq2、cq2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由.b图2(备用图)图1【答案】 解：（1） pbmsqnm 。理由如下： 如图1,. mqxmp, mn xbc , . /pmb+npmn =90, zqmn +/

23、pmn =90 。/ pmb =/qmn。/pbm +/c=90, /qnm +/c=90 ,，/pbm =/qnm o /. pbmaqnm（2） . /bac =90, /abc=60,bc =2ab =8 j3 cm。又二 mn 垂直平分 bc, bm =cm =4/3cm。3, c 30 ,mn cm = 4 cm。 3设q点的运动速度为vcm/s.当 0 t 4时，如图 1 ,由（1）知pbmsqnm，.二 nq=jmn ,即推=-4=。v = 1bp mb . 3t ,3当t4时，如图2,同样可证 pbmsqnm ,得到v=1。综上所述，q点运动速度为1 cm/s.;ab =4 出

24、cm, bc=873cm,由勾股定理可得，ac =12 cm。 .an =acnc= 128=4 cm.当 0 t 4时，如图 1, ap= 43的，aq = 4+t。s=；ap aq =1(4召一网 x4+t 尸一争2 +8有。 当 t4时，如图 2, ap= 73t-473, aq=4+t,s=；ap aq =1(73t4褥好+t 尸争2 8/3。-t2 +8j3(0 t /3厘米的速度运动，故点p从点b出发沿射线ba到达点a的时间为4秒，从而应分两种情况 0t4分别讨论。 分两种情况0 t 4 ,把ap和bp分别用t的关系式表示，求出面积即可。(3)要探求bp2、pq2、cq2三者之间的

25、数量关系就要把 bp、pq、cq放到一个三角形中，故作辅助线延长 qm 至d,使 md = mq,连结 bd、pd得到 pq=pd, bd = cq,从而在 rtapbd , pd2 =bp2 +bd2,从而得证。、，一，一一，一 一， 4 ,一、，8.(盐城12分)如图，已知一次函数 y = x+7与正比例函数y=x的图象交于点 a ,且与x轴交于点3b.(1)求点a和点b的坐标；(2)过点a作ac, y轴于点c,过点b作直线l/ y轴.动点p从点o出发，以每秒1个单位长的速度，沿oca的路线向点 a 运动；同时直线l从点b出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点r,交线段b

26、a或线段ao于点q.当点p到达点a时，点p和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点p运动的时间为t秒.当t为何值时，以 a、p、r为顶点的三角形的面积为 8?是否存在以a、p、q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，y = _x _7【答案】解：(1)根据题意，得44y=3xx =3,解得x ，点ay =4的坐标为(34)。令x+7=0 ,得x=7。.点b的坐标为(7, 0)。(2)当p在oc上运动时，0wk4。由 saapr = s 梯形 coba - saacp - sapor- saarb =8, 得11112(3 + 7) m2x3x(4 t) 2t(7t) 2t 冲=8整理，得t2-8

27、t+12 = 0,解之得t=2, t2=6 (舍去)。当p在ca上运动时，4k7o1由 s/apr= 2n7t) 4 8,得 t=3 (舍去)。当t = 2时，以a、p、r为顶点的三角形的面积为8。当p在oc上运动时，0w4.,此时直线l交ab于q。.ap = q (4-t) 2+32, aq=m，pq=7-to当 ap =aq 时，(4 t) 2 + 32 = 2(4-t)2,整理得，t28t+7=0,解之得 t=1, t=7(舍去)。当 ap = pq 时，(4 t) 2+32=(7-t)2,整理得，6t=24.,，t=4(舍去)。当 aq = pq 时，2 (4t) 2=(7-t)2,整

28、理得，t2-2t-17=0 解之得 t=1 埒/2 (舍去)。当p在ca上运动时，40）,正方形efgh与abc重叠部分面积为 s.(1)当t = 1时，正方形efgh的边长是当t = 3时，正方形 efgh的边长是(2)当0vtw2时，求s与t的函数关系式;(3)直接答出：在整个运动过程中 ，当t为何值时,s最大？最大面积是多少?（2）求点h在ac上时t的值（如图1）。又./a = /a, abc ahc。解：（1）2; 4。 ep= pf= 1 t = t , .正方形 efgh 中，he = ef=2t 。又. ap = 2, . ae = ap ep=2t。又. efgh 是正方形，hea = /c=90。数关系式是:bc ac 68=,即一=he ae2t 2 -t6，, , t = o11求点g在ac上时t的值（如图2）。又. ep=pf= 1 t