人教版高中数学必修一学案：函数与方程(含答案)

1、第三章函数的应用3.1函数与方程【入门向导】详释二分法关于这个问题的回答，我们不妨先来看一段CCTV2 幸运 52 的一个片段：主持人李咏 (以下简称李 )说道 “ 猜一猜这件商品的价格 ”甲： 2 000！李：高了！甲： 1 000！李：低了！甲： 1 700！李：高了！甲： 1 400！李：低了！甲： 1 500！李：低了！甲： 1 550！李：低了！甲： 1 580！李：高了！甲： 1 570！李：低了！甲： 1 578！李：低了！甲： 1 579!李：这件商品归你了下一件有一位老师和他的三位学生做了如下问答：老师：如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？每隔钱立恒：先初步估算一个价格，如

2、果高了再每隔十元降低报价方仕俊：这样太慢了， 先初步估算一个价格，如果高了每隔100 元降低报价 如果低了，50 元上涨；如果再高了，每隔20 元降低报价；如果低了，每隔10 元上升报价侯素敏：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价侯素敏的回答是一个比较准确的结果，所采用的方法就是二分法的思维方式 区间逼近法函数零点求解三法我们知道，如果函数y f(x)在 x a 处的函数值等于零，即f(a) 0，则称 a 为函数的零点本文现介绍函数零点求解三

3、法一、代数法例 1求函数 f(x) x2 2x 3 的零点解令 x22x 3 0， 22 4 ( 3)160 ，方程有两个不相等实数根方法一因式分解法或试根法x2 2x 3 (x3)(x 1) 或由 f( x) x2 2x3，试一试 f(1) 12 21 3 0，f(3) (3) 2 2 ( 3) 3 0.所以 f(x)的零点为 x1 1， x2 3.方法二配方法x2 2x 3 (x1) 2 4 0，所以 x1 2.所以零点 x1 1， x2 3.方法三公式法 b b2 4ac 24x1,22.2a所以零点 x1 1， x2 3.点评 本题用了由求函数 f(x)的零点转化为求方程 f(x) 0

4、 的实数根的办法 运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法二、图象法例 2 f(x) log3 (x 3) 4x的零点情况是 ()A 有两个正零点B 有两个负零点C仅有一个零点D 有一个正零点和一个负零点解析设 g(x) log3 (x3) ，h( x) 4x，在同一坐标系内作出它们的图象(如右图 )由图易知，两图象有两个交点且分别在y 轴两侧，所以函数有一个正零点和一个负零点故选D.答案D点评 求函数 yg(x)h(x)的零点，实际上是求曲线 y g(x)与 y h(x)的交点的横坐标，即求方程 g(x) h(x) 0 的实数解三、用二分法求函数近似零点例 3 用二分法求函数

5、 f(x)x3 3 的一个正零点 (精确到 0.01) 解 由于 f(1) 20 ，因此区间 1,2 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：端点 (中点 )坐标计算中点函数值取值区间f(1) 20x1 1 2 1.5f(x11,1.52) 0.3750x21 1.5f(x2) 1.04701.25,1.52 1.25x3 1.25 1.5f(x3) 0.4001.375,1.520 1.375x4 1.375 1.5f(x4) 0.029 51.437 5 ， 1.520 1.468 75x6 1.437 5 1.468 75f(x6)01.437 5 ， 1.453 12521.45

6、3 125x7 1.445 312 5f(x7)01.437 5 ， 1.445 312 5因为 1.445 312 5 1.437 5 0.007 812 50 ，则有结论：函数y f(x)在区间(a， b)上不存在零点判断该命题是否正确错解正确剖析对区间 (a， b) 上的连续函数 y f(x)，若 f(a) f(b)0，而正解无法判断是否存在零点及零点个数问题如函数在区间 ( 1,1)上显然存在零点故该命题不正确点评(1)函数 y f(x)的图象在区间 (a， b)上连续且有f(a) f(b)0 ，所得在 (a， b)上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变

7、号零点；(2) 零点定理仅能判断当函数y f(x)在区间 (a， b)上是连续曲线，并且f(a) f(b)0 时，在 (a， b)上至少存在一个零点，而无法确定零点个数二、忽略了分类讨论例 7 若函数 y ax2 2x 1 只有一个零点，求实数a 的取值范围错解由题意可得，实数 a 所满足的条件为 4 4a 0， a 1.剖析没有对系数a 进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数正解(1)当 a 0 时，y 2x 1，有唯一零点；(2)当 a 0 时，由题意可得 44a 0，解得 a 1.综上，实数a 的取值范围为a 0 或 a 1.点评对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分

8、类讨论思想的主要体现之一三、忽略了区间端点值例 8 已知 f(x) 3mx 4，若在 2,0 上存在 x0，使 f(x0)0，求实数 m 的取值范围错解 因为在 2,0 上存在 x0，使 f(x0 ) 0，则 f( 2) f(0)0 ，所以 (6m 4) ( 4)0 ，2解得 m3.2故实数 m 的取值范围为 ( ， 3)即 f( 2) f(0) 0.正解由 f( 2) f(0) 0，解得 m 2.3故实数 m 的取值范围为 ( ， 2 3点评区间值要全部考虑到，做到不重不漏四、图象应用例 9已知函数 y x( x 1)( x1) 的图象如图所示，今考虑f( x) x(x 1)(x 1)0.0

9、1，则方程 f( x) 0()A 有三个实根B当 x 1 时恰有一实根C当 1x0 时恰有一实根D当 0x1 时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移0 01 个单位 (如图所示 )，即得 f(x) x(x 1)(x 1) 0.01 的图象故选B 项剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“ 走眼 ”正解 f( 2)0， f( 2) f( 1)0 ， C 项错误而f(0.5)0 ， f(x)0 在区间 (0,1)上有两个实根，则D 项错误， E 项也错，并且由此可知故选 A 、B 两项点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂， 注意图象要力求精确；择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用

10、的排除法已无法奏效.A 项正确解答多项选函数与方程，唇齿相依函数的思想， 是用运动和变化的观点、 集合与对应的思想， 去分析和研究数学问题中的数量关系， 建立函数关系式或构造函数， 运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想， 就是分析数学问题中变量间的等量关系， 从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y f(x)(如果 y ax2 bx c 可以写成f(x)ax2bx c，即f(x)看作二元方程y f(x)的形式 )，当 y 0 时，就转化为方程 f( x) 0

11、，也可以把函数式y f(x)0，函数与方程这种相互转化的关系很重要， 我们应牢牢掌握y下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例一、判断方程解的存在性例 1 已知函数 f(x) 3x3 2x2 1，判断方程 f(x) 0 在区间 1,0 内有没有实数解？分析 可通过研究函数 f(x)在 1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解32解因为 f( 1)3 ( 1) 2( 1) 1 40，所以 f( 1) f(0)1 ， f(6)1 ， f(6)1得 f( 6) 1 f(6) 10 ，即 g( 6)g(6)0 时 g( x)单调递增；当 a0 时， g(x)单调递减，即函数 g(

12、x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点因此方程 f(x) 1 仅有一个根故选A.答案A点评在区间 a， b 上单调且图象连续的函数图象在 (a， b)内有惟一的零点y f(x)，若f(a) f(b)2 时， f(x)0，因此 a0 ， b 3a b0.方法二由 f(0) 0，得 d0，又 f(1) 0， a b c 0又 f( 1)0 ，即 a bc0得 2b0， b0 ，k0，对应的条件是或解出即可f 1 0，解令 f(x) 2kx2 2x3k 2，为使方程f(x) 0 的两实根一个小于1，另一个大于1，只需k0，k0，或f 1 0，k0，k0，即或2k 2 3k20 ，解得 k0 或 k0

13、 或 k0， 1x1 时，|f(x)| 1 且 g(x)的最大值为2，求 f(x)解a0， g(x) ax b 在 1,1 上是增函数又 g(x)在 1,1上的最大值为 2， g(1) 2，即 a b 2. 于是 f(1) f(0) 2.由题设有 1 f(0) f(1) 2 1 2 1， f(0) 1，从而 c 1.又由题设知f(x) 1 f(0)，二次函数f(x)的对称轴为x 0，于是b 0，得 2ab 0，将其代入，得a 2. f(x)2x21.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此 分析时“条

14、条是道”， 求解时却“处处碰壁”这些都是正常的 当我们的思维受挫时， 该怎样处置倒是十分关键的 本文告诉你： 注意分析细节， 就会柳暗花明的，请看：21题目：已知二次函数 f(x)ax bx c(a 0)，x1 0 ，则函数 y ax2 bxc 的图1象开口向上1而 y2 2f(x1 ) f(x2 )的图象呢？是一条平行于x 轴的直线此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f(x1)与 f(x2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节： f(x1)与 f( x2)是函数 f(x) ax2 bx c 分别在 x1， x2 处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f(x1)f(x2)

15、，说明 1f(x1) f(x2) 一定比最小值大；若y2 的值就是最211小值，此时，直线与二次函数图象相切于顶点，而 f(x1) f(x2) 大于最小值，则y2 f(x1)f(x2) 与二次函数图象一定有两个不同的交点22又因为 min f(x1)， f(x2) 1f(x1) f(x2) max f(x1)， f(x2) ，故必有一根属于(x1，x2 )2分析二： 通过方程的系数进行分析， 计算方程 f(x) 1f( x1) f(x2 ) 的 “ b2 4ac” ，然后，2再结合函数零点的存在定理方法二 由 f(x)1f(x1) f(x2) ，得22ax2 2bx 2c f( x1) f(x

16、2) 0.那么 (2b)2 4(2a) 2c f(x1 ) f(x2) 4b2 4ac 2af(x1) 2af(x2) 此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！分析细节 在上式中存在 f(x1)与 f( x2)，可否将其替换呢？于是 4b2 4ac 2a(ax21bx1 c) 2a(ax22 bx2 c) 2(4a2x21 4abx1 b2) 2(4a2x22 4abx2 b2 ) 2(2ax1 b)2 2(2ax2 b)2 0.又 x10，因此方程有两个不等的实根1又设 g(x) f(x) f(x1) f( x2) ，21112则 g(x1)g(x2) f(x1

17、)f(x1) f(x2) f(x2 )f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) 0 (bR )恒成立于是 (4a)2 16a0，解得 0a1.故当 b R ，f(x)恒有两个相异的不动点时，a 的取值范围 0a1.f(x) x 的根点评本题中的新情境 不动点，它的实质就是方程考点二方程转化为函数2 (聊城模拟 )若关于 x 的方程 x2 3x a 0 两根中有一根在(0,1)之间，求实数 a 的取值范围y x2 3xa 有两个零点，其中有一个在分析本问题可转化为函数(0,1)内那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m， n)内有零点的条件f(m) f(n)0，则可得f 0 0 ，解

18、得 0a2.f 1 0.故 a 的取值范围是 (0,2)点评利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件需从三个方面考虑：判别式；对称轴直线x b 与区间端点的关系；2a区间端点函数值的正负考点三函数与方程的循环转化3(浙江高考 ) 若 f(x)和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数， 且方程 x fg(x) 0 有实数解，则 gf( x) 不可能是 ()2121A x x5B x x5Cx2 1D x2 155分析由于本题未知函数f(x)、 g(x)的类型，试图用待定系数法去解决比较困难故可采用较灵活的方法 逐一验证法解析若 gf(x) x2 x 1，不妨设 f(x)x

19、2x 1，g(x) x，由方程 x fg(x) 0 即得5521021 0 有解故函数gf(x) 有可能为21x ，显然， x x x .555若 gf( x) x2 x1，不妨设 f(x) x2x 1，g(x)x，由方程 xfg(x) 0，即得 x255121 0无解故函数 gf(x) 不可能为21 0.显然， xx x .555对于 C、 D 两答案，同理可得可能为gf(x) 答案B点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性考点四创新题4设函数 y f(x)的定义域为实数集R，如果存在实数x0，使得 x0 f(

20、x0)，那么 x0 为函数 y f(x)的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是()分析函数的零点即为函数值为0 时对应方程的解 因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去解析使 x0 f(x0) 的解即为 y f(x)的图象和 y x 的交点的个数问题观察图象易得结论答案B5关于 x 的方程 ( x2 1)2 |x2 1| k0，给出下列四个论断：存在实数 k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是()A0B4C2D3分析本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理2则方程化为 |t|2 |t| k 0，即 k |t|