圆中最值问题

1、与圆有关的最值（取值范围）问题引例1:【2012年武汉市中考】在坐标系中，点a的坐标为（3, 0）,点b为y轴正半轴上的一点，点 c是第一象限内一点，且 ac=2设tan / boc=m则m的取值范围是 .引例2:【2013年武汉市元月调考试题】如图，在边长为1的等边 oab中，以边ab为直径作。d,以。为圆心oa长为半彳5作o o, c为半圆弧ab上的一个动点（不与a、b两点重合），射线ac交。于点e, bc=a , ac=b ,求a b的最大值.引例3:【2013年武汉市四月调考试题】如图，/ bac=60 ,半彳5长为1的圆o与/ bac的两边相切，p为圆o上一动点，以p为圆心,pa长为

2、半彳5的圆p交射线ab ac于口 e两点，连接de，则线段de长度的最大值为（）.一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题， 也是圆中的最值问题， 主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1 .引例1:通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点c与两个定点 q a构成夹角的变化规律，转化为 特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是 高中“直线斜率”的直接运用；2 .引例2:通过圆的基本性质，寻找动点 c与两个定点a、b构成三角形的不变条件，结合不等式的性质 进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3 .

3、引例3:本例动点的个数由引例 1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、 动点关联上增加了题目的难度， 解答中还是注意动点 d、e与一个定点a构成三角形的不变条件 （/dae=60）, 构造弦de、直径所在的直角三角形，从而转化为弦de与半径ap之间的数量关系，其实质是高中“ 正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透二、解题策略1 .直观感觉，画出图形；2 .特殊位置，比较结果；3 .理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动

4、量与定量（常量）之间的关系，建立 等式，进行转化.【2013年武汉市中考】 如图，e、f是正方形abcd勺边ad上两个动点，满足 a已df,连接cf交 bdt点g,连接be交ag于点h,若正方形的边长为2,则线段dh长度的最小值是 【2014年武汉市四月调考试题】如图，p为的。o内的一个定点，a为。上的一个动点，射线 ar ao分别与。交于b、c两点.若。o的半径长为3, op=小，则弦bc的最大值为a. 2小, b .3.c .m. d . 3陋.【2014年武汉市元月调考试题】.如图，扇形 aodk / aod= 90 , oa= 6,点p为弧ad上任意一点（不与 点a和d重合），pql

5、odf q点i为 opq勺内心，过 q i和d三点的圆的半径为r .则当点p在弧ad上运动时，r的值满足（）a. 0 r 3 b. r 3c. 3 r 3 ,2d. r 3 ,2三、中考展望与题型训练方法一、找出与圆的最近点、最远点（极端位置）1 .如图，在 rtabc中，/ acb=90 , ac=4, bc=3点d是平面内的一个动点，且 ad=2，m为bd的中 点，在d点运动过程中，线段 cm长度的取值范围是. 一、2.如图，o o的直径为4, c为。o上一个定点，/ abc=30 ,动点p从a点出发沿半圆弧 ab向b如图， abc中，/ bac=60 , / abc=45 , ab=2j

6、2 , d是线段bc上的一个动点，以 ad为直径作。o方法三、柯西不等式分别交ab, ac于e, f两点，连接ef,则线段ef长度的最小值为在平面直角坐标系中，以坐标原点。为圆心，2为半径画。q p是。上一动点，且 p在第一象限内,过点p作。的切线与x轴相交于点a,与y轴相交于点b,线段ab长度的最小值是 .方法四、利用函数求最值如图，已知半径为 2的。与直线l相切于点a,点p是直径ab左侧半圆上的动点，过点 p作直线l的垂线，垂足为 c, pc与。交于点d,连接pa pb,设pc的长为xpd?cd的值最大，且最大值是为方法五、借助对称求最值如图，已知，。的直径cm 4,点a在。o上，/acd

7、=30, b为 弧ad的中点，p为直径cd上一动点，求bp+ap勺最小值【题型训练】1 .如图，已知直线 l与。相离，oall于点a oa=5 oa与。相交于点 巳ab与。相切于点b, bp的延长线交直线l于点c,若在。上存在点q,时,(2vx4),贝u当 x=使 qac以ac为底边的等腰三角形，则。 o的半径r的取值范围为 .2 .如图，o m on的半径分别为 2cm, 4cm,圆心距mn=10cm p为。m上的任意一点，q为。n上的任意一点,q在两圆上任意运动时，tan的最大值为（）.直线pq与连心线l所夹的锐角度数为(d)3 .如图，在 rtabc中，/ c=90q,则线段pq长度的最

8、小值是（ac=& ).bc=6,经过点c且与边ab相切一的动圆与ca cb分别相交于点p、八19a. 一42454 .如图，在等腰 rtabc中，/ c=90, ac=bc=4 d是ab的中点，点e在ab边上运动（点 e不与点a重合），精品资料过a d、e三点作。0,。交ac于另一点f,在此运动变化的过程中,线段ef长度的最小值为acd等边/ bce。外接于 cde5 .如图，线段ab=4, c为线段ab上的一个动点，以ag bc为边作等边则。半径的最小值为（）.a.4 b.23c.36.如图，a、b两点的坐标分别为3 2(2jd. 20）、（0, 2）, oc的圆心的坐标为(-10）,半径为

9、1,若d是。c上的e,则 abe面积的最小值是（).一个动点，线段 da与y轴交于点c.2(d.7.如图，已知一个动点,a、b两点的坐标分别为射线ad与y轴交于点a. 31138.如图/ bac= 60op交射线ar9、如图，已知线段求/ oap勺最大值。ba(7题)cd （-2 , 0）、（0, 1）, oc的圆心坐标为 e,则 abe面积的最大值是（）.(0-1)（8题）,半径为1,d是。c上的103,半径长1的。与/ bac的两边相切，p为。上一动点，以ac于d、e两点，连接de,则线段de长度的范围为 loa交。于点b,且ob= ab,点p是。o上的一个动点,p为圆心,pa长为半径的p

10、q10、如图，ab是。的一条弦，点 c是。上一动点，且/ acb=30，点e、f分别是ac bc的中点，直线 ef与。交于g h两点，若。的半径为7,求ge+fh勺最大值。11、如图，在 rtaaoe, oa=ob=32,。的半径为 1, （点q为切点），求pq的最小值12、在平面直角坐标系 xoy中，以原点。为圆心的圆过点 a（13, 0）,直线y=kx-3k+4与。交于b、c两点，求弦bc的长的最小值。13、设ab是。的动切线，与通过圆心 o而互相垂直的两直线相交于a、b,。的半径为r,求0处ob的最小值14、如图,圆。与正方形abcd勺两边ab ad相切，e与圆y。上一点.若圆。的半径为

11、4,且15、如图，在。上有定点c和动点p,位于直径ab的异侧,过点c作cp的垂线，与pb的延长线交于点q,已知：。半径为g, tan/abc=,求cq的最大值 2416、在平面直角坐标系xoy中，已知点a (6, 0), 点b (0, 6),动点c在以半径为3的。上，连接oc过。点作odl oc od与。相交于点d (其中点g o d按逆 时针方向排列)，连接ab ag bc,当点c在。上运动时，求出4ab 的面积的最大值.ab=7求de的最大值117、如图所不，已知 a(,y1), b(2, y2)为反比例函数2动点p(x,0)在x正半轴上运动，当线段ap与线段p的坐标是()1a. (,0)b.(1,0)2c 3c. (2，0)d.5(2，0)18、如图，定长弦cd在以ab为直径的。o上滑动(点c、d与点a过点c作cplab于点p,若cd=3 ab=8求pmfc度的最大值b不