北师版初中九上数学2.5一元二次方程根的判别式【课件】

2.5一元二次方程根的判别式目录情景导入新知探究巩固练习拓展延伸情景导入A．由解方程引入:

解方程:①x2

x

1

0b2

4ac

1

4

5

②x2

4x

4

0b2

4ac

16

16

0

③2x2

3x

4

0b2

4ac

9

32

0此方程无实数根,可见,由b2

4ac的值,可以判断方程根的情况.新知探究B．新课:一、判别式1.方程ax2

bx

c

0(a

0)根的判别式是:

b2

4ac.（1）

b2

4ac

0

方程有两个不相等的实数根（2）

b2

4ac

0

方程有两个相等的实数根（3）

b2

4ac

0

方程没有实数根.2、判别式的应用（1）直接判断一元二次方程根的情况;（2）由题目给出的一元二次方程根的情况,求出a、b、c

中待定系数的值或取值范围.例1不解方程,判断下列方程根的情况.（1）2x2

3x

1

0（2）（3）5x2

7x

5

0（4）kx2

(2k

1)x

k

1

0(k

0)（1）2x2

3x

1

0（2）（3）5x2

7x

5

0（4）kx2

(2k

1)x

k

1

0(k

0)解（1）

(

3)2

4

2

1

9

80∴方程（1）有两个不等的实根.

（2）∴方程（2）有两个相等的实数根.

（3）

(

7)2

4

5

5

49

1000∴方程（3）无实数根.

（4）

(2k

1)2

4k(1

k)

4k2

4k

1

4k

4k2

8k2

1

0

（无论k为何值均有8k2

1

0）∴方程（4）有两个不等实根.

今后遇到二次方程马上先由

判断一下根的情况这是解题的良好习惯.例2关于x的方程(m

2)x2

2(m

1)x

m

1

0在下列条件下,分别求m的非负整数值.（1）方程只有一个实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根.解:（1）当m

2

0即m

2时方程为一元一次方程

2x

3

0,

即m

2时,已知方程只有一个实数根.（2）当方程有两个相等的实根时,必须且只需 解出

∴m

3时,方程有两个相等的实数根.（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需解出又m是非负整数∴m

0或m

1

小结:使用

时必须在a

0的前题下.

例3.m取什么值时,关于x的方程2x2

(m

2)x

2m

2

0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根.解:∵方程有两个相等的实数根,∴

(m

2)2

8(2m

2)

m2

12m

20

(m

2)(m

10)

0∴m1

2m2

10当m1

2时当m2

10时∴所求m

2或m

10,方程的根为1或3.例4求证:无论a为任何实数,关于x的方程x2

(2a

1)x

a

3

0总有两个不相等的实数根.证:

(2a

1)2

4(a

3)

4a2

8a

13

4(a

1)2

9即

0无论a为任何实数(a

1)2

0∴4(a

1)2

9

0∴无论a为任何实数,方程x2

(2a

1)x

a

3

0总有两个不等实根.由例4可知:要说明

0常将它配成完全平方式

正数.观察下表.方程x1x2x1

x2x1x2x2

2x00220x2

3x

4

0-41-3-4x2

5x

6

02356Ⅰ观察两根之和,两根之积与a、b、c的关系;Ⅱ两根之和

一次项系数的相反数;两根之积

常数项.Ⅲ推广方程ax2

bx

c

0(a

0b2

4ac

0)变形为由求根公式与上述观察结果对比,可得到根系关系.巩固练习拓展延伸二、根系关系1、关于x的方程ax2

bx

c

0(a

0,b2

4ac

0)的两根x1、x2与系数a、b、c的关系是:注:应用根系关系的前题是a

0且

02、根系关系的应用:（1）已知方程的一根,求另一根及字母系数的值.（2）已知两根之间的关系,确定方程中字母系数的值.例5已知方程的一个根是

1,求k及另一根解法一:设方程的另一根为x1∴所求

,解法二∵

1是方程的根∴∴方程为

x2

1∴所求另一根为引申:若x2

1

则对应的方程是什么？即以,

1为根的方程为

0例6方程x2

(m

1)x

2m

1

0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:

(m

1)2

4(2m

1)

m2

6m

5①∵两根互为相反数∴两根之和m

1

0,m

1,且

0∴m

1时,方程的两根互为相反数.拓展延伸②∵两根互为倒数

m2

6m

5,∴两根之积2m

1

1m

1且

0,∴m

1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0,∴两根之积2m

1

0

且

0,∴时,方程有一根为零.引申:1、若ax2

bx

c

0(a

0

0)（1）若两根互为相反数,则b

0;（2）若两根互为倒数,则a

c;（3）若一根为0,则c

0

;（4）若一根为1,则a

b

c

0;（5）若一根为

1,则a

b

c

0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.引申2若a、b是方程x2

2x

7

0的两个实数根,求:①a2

b2②a2

3b2

4b③a3

5b2

b

76的值.解:由根系关系a

b

2,ab

7,a2

7

2a

b2

7

2b,①a2

b2=(a

b)2

2ab

4

14

18.②a2

3b2

4b

(7

2a)

3(7

2b)

4b

2(a

b)

28

2(

2)

28