Matlab课程设计数字切比雪夫高通IIR滤波器

1、 目录摘要2abstract31 matlab简介41.1 matlab的概况41.2 matlab产生的历史背景41.3 matlab的语言特点51.4 matlab界面介绍61.4.1工作环境窗口61.4.2当前路径窗口72. 数字滤波器82.1数字滤波器的概念82.2数字滤波器的分类82.3数字滤波器的设计要求103. iir数字滤波器的设计103.1设计原理103.2设计步骤114.切比雪夫iir数字滤波器125.双线性变换法设计iir数字滤波器135.1设计原理135.2双线性变换的优缺点156. 数字切比雪夫高通iir滤波器设计186.1设计流程图186.2程序设计及运行结果196

2、.2.1设计过程196.2.2运行结果217小结238参考文献24摘要在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号分析都是基于滤波器而进行的，而数字滤波器是通过数值运算实现滤波，具有处理精度高、稳定、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(iir)数字滤波器和有限长冲激响应(fir)数字滤波器。实现iir滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此应用很广。matlab软件以矩阵运算为基础，把计算、可视化及程序设计有机融合到交互

3、式工作环境中，并且为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。尤其是matlab中的信号处理工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。本文首先介绍了数字滤波器的概念，分类以及设计要求。接着又逐步介绍了iir数字滤波器，切比雪夫iir数字滤波器，以及用双线性变换法设计iir数字滤波器。本文重点设计了基于双线性变换的数字切比雪夫高通iir滤波器。关键词：matlab 双线性 切比雪夫iir 高通滤波器abstractin modern communication systems, because often mixed with various signal co

4、mplex components, so many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filters filter with high precision, stability and flexibility, dont exist, can realize the impedance matching simulating the special filter cannot achieve filter f

5、unction. digital filter according to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impulse response (iir) digital filter and finite impulse response (fir digital filters). the order of realizing iir filter is used, low and high effic

6、iency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. matlab software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of organic integration to interactive environment for digital filter, and the research

7、 and application of provides an intuitive, efficient and convenient tool. especially in the matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientific research and engineering application. this paper introduces the concept of digital filters, classification and des

8、ign requirements.then he gradually introduced the iir digital filter, chebyshev iir digital filters, and using the bilinear transform iir digital filter design.this article focuses on the design of the figures based on the bilinear transform chebyshev high-pass iir filter. keywords: matlab bilinear

9、iir chebyshev high-pass filter1 matlab简介 1.1 matlab的概况 matlab是矩阵实验室（matrixlaboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学，工程中常用的形式十分相似，故用matlab来解算问题要比用c、fortran等语言完相同的事情简捷得多。 matlab包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(toolbox)。工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充matlab的符号计算、

10、可视化建模仿真、文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包、控制工具包、信号处理工具包、通信工具包等都属于此类。开放性使matlab广受用户欢迎.除内部函数外，所有matlab主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件，用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包。 1.2 matlab产生的历史背景 在70年代中期，cleve moler博士和其同事在美国国家科学基金的资助下开发了调用eispack和linpack的fortran子程序库。到70年代后期，身为美国new mexico大学计算机系系主任的cleve moler，利用业余时间为学生编写eispack和

11、linpack的接口程序。cleve moler给这个接口程序取名为matlab。在以后的数年里，matlab在多所大学里作为教学辅助软件使用，并作为面向大众的免费软件广为流传。1983年，工程师john little.john little和cleve moler，steve bangert一起，用c语言开发了第二代专业版。这一代的matlab语言同时具备了数值计算和数据图示化的功能。 1984年，cleve moler和john little成立了math works公司，正式把matlab推向市场，并继续进行matlab的研究和开发。mathworks公司顺应多功能需求之潮流，在其卓越数

12、值计算和图示能力的基础上又率先在专业水平上开拓了其符号计算、文字处理、可视化建模和实时控制能力，开发了适合多学科、多部门要求的新一代科技应用软件matlab。 时至今日，经过mathworks公司的不断完善，matlab已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。在国外，matlab已经成为线性代数，自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生，硕士生，博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，matlab被广泛用于科学研究和解决各种具体问题。在国内，特别是工程界，matlab一定会盛行起来。可以说，无论

13、你从事工程方面的哪个学科，都能在matlab里找到合适的功能。 1.3 matlab的语言特点 matlab最突出的特点就是简洁。matlab用更直观的，符合人们思维习惯的代码，代替了c和fortran语言的冗长代码。matlab给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下matlab的主要特点： 1语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。matlab程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。 2运算符丰富。由于matlab是用c语言编写的，matlab提供了和c语言几

14、乎一样多的运算符，灵活使用matlab的运算符将使程序变得极为简短。 3matlab既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。 4程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在matlab里，用户无需对矩阵预定义就可使用。 5程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。 6matlab的图形功能强大。在fortran和c语言里，绘图都很不容易，但在matlab里，数据的可视化非常简单。matlab还具有较强的编辑图形界面的能力。 7matlab的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于ma

15、tlab的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。 8功能强大的工具箱是matlab的另一特色。matlab包含两个部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。 9源程序的开放性。开放性也许是matlab最受人们欢迎的特点。除内部函数以外，所有matlab的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。 1.4 matlab界面介绍 1.4.1工作环境窗口 matlab7.0启动后，产生的工作环境界面如图所示，它包含一个工具栏、三个区域、四

16、个工作窗口。四个工作窗口分别为指令窗口(command windows)、指令历史窗口(command history)、工作空间窗口(workspace)和当前路径窗口(current directory)。matlab工作环境窗口如图1所示：图1.1 matlab工作环境窗口 1.4.2当前路径窗口 当前路径窗口如图2所示：图1.2 当前路径窗口2. 数字滤波器 2.1数字滤波器的概念 滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化

17、过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性：（式2.1）其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, 是

18、数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。 2.2数字滤波器的分类 按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波

19、器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地回复信号，从而达到最佳滤波的目的。 经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。图2.1 各种理想滤波器的幅频特性 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(iir)数字滤波器和有限长冲激响应(fir)数字滤波器。iir 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为： （式2.2）系统函数为： （式2.3）设计iir滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数h(

20、z)，使其频率响应h(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。 2.3数字滤波器的设计要求 滤波器的指标常常在频域给出。数字滤波器的频响特性函数一般为复函数，所以通常表示为：（式2.4） 其中，|称为幅频特性函数，(w)称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。一般iir数字滤波器，通常只用幅频响应函数|来描述设计指标，相频特性一般不作要求。 iir滤波器指标参数如下图所示。图中，p和s分别为通带边界频率和阻带边界频率；1和2分别为通带波纹和阻带波纹；允许的

21、衰减一般用db数表示，通带内所允许的最大衰减（db）和阻带内允许的最小衰减（db）分别为p和s表示：（式2.5）（式2.6）一般要求： 当时，；当时，。3. iir数字滤波器的设计 3.1设计原理 iir数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为：（式3.1）假设mn，当mn时,系统函数可以看作一个iir的子系统和一个(m-n)的fir子系统的级联。iir数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在s平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。 3.2设计步骤 iir数字滤波

22、器的设计一般有两种方法：一个是借助模拟滤波器的设计方法进行。其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。这种方法比较容易一些，因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外一种直接在频率或者时域内进行，由于需要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数，然后将按某种方法转换成数字滤波器的系统函数。这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；另外，还有一些典型的优良滤波器类型可供我们使用。 为了保证转换后的稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要

23、求: 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 数字滤波器的频率相应模仿模拟滤波器的频响特性，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。 利用模拟滤波器成熟的理论设计iir数字滤波器的过程是： (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率、通带最大衰减、阻带截止频率、阻带最小衰减。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。(4)用所选的转换方法，将模拟滤波器转换成数字低通滤波器系统函数。成熟的模拟滤波器设计方法主要有脉冲响应不变法和双线性变换法。4.切比雪夫iir数字滤

24、波器在巴特沃兹滤波器中，幅度响应在通带和阻带内都是单调的。因此，若滤波器的技术要求是用最大通带和阻带的逼近误差来给出的话，那么，在靠近通带低频端和阻带截止频率以上的部分都会超出技术指标。一种比较有效的途径是使逼近误差均匀地分布于通带或阻带内，或同时在通带和阻带内都均匀分布，这样往往可以降低所要求的滤波器阶次。通过选择一种具有等波纹特性而不是单调特性的逼近方法可以实现这一点。切比雪夫型滤波器就具有这种性质：其频率响应的幅度既可以在通带中是等波纹的，而在阻带中是单调的（称为i型切比雪夫滤波器），也可以在通带中是单调的，而在阻带中是等波纹的（称为ii型切比雪夫滤波器）。i型切比雪夫滤波器的幅度平方函

25、数是： = (4.1)式中为n阶切比雪夫多项式，定义为： (4.2)从定义切比雪夫多项式的 (4.5)式可以直接得出由和求的递推公式。将三角恒等式代入 (4.2)式，得： =2x- (4.3)从 (4.5)式我们注意到，当0x1时，是虚数，所以像双曲余弦一样单调地增加。参考(4.1)式，对于01呈现出在1和1/（）之间的波动；而对于1单调地减小。需要用三个参量来确定该滤波器：，和n。在典型的设计中，用容许的通带波纹来确定，而用希望的通带截止频率来确定。然后选择合适的阶次n，以便阻带的技术要求得到满足。切比雪夫滤波器的极点在s平面上呈椭圆分布。他们的直径分别等于椭圆短轴和长轴。短轴的长度等于2a

26、 ,其中： a=-error! reference source not found.) (4.4) 式中： =+ (4.5)长轴的长度等于2b，其中： b=(+error! reference source not found.) (4.6)为了求切比雪夫滤波器在椭圆上极点的位置，我们首先要这样确定，在大圆和小圆上以等角度 等间隔排列的那些点：这些点对于虚轴呈对称分布，并且没有一个点落在虚轴上；但当n为奇数时要有一个点落在实轴上，而当n为偶数时，就都不会落在实轴上。切比雪夫滤波器的极点落在椭圆上，起纵坐标由相应的大圆上点的纵坐标来表示，起横坐标由相应的小圆上点的横坐标来表示。切比雪夫滤波器是

27、在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“i型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“ii型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。5.双线性变换法设计iir数字滤波器 5.1设计原理 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从s平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/t/t之间，再用z=est转换到z平面上。也就是说，第一步先将整个s平面压缩映

28、射到s1平面的-/t/t一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1t将此横带变换到整个z平面上去。这样就使s平面与z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。图5.1双线性变换的映射关系 为了将s平面的整个虚轴j压缩到s1平面j1轴上的-/t到/t段上，可以通过以下的正切变换实现： （式5.1） 式中,t仍是采样间隔。 当1由-/t经过0变化到/t时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。将式（5.1）写成（式5.2）将此关系解析延拓到整个s平面和s1平面，令j=s，j1=s1，则得： （式5.3） 再将s1平面通过以下标准变换关系映射到z平面：（式5.4）

29、 从而得到s平面和z平面的单值映射关系为：（式5.5）（式5.6）式（5.5）与式（5.6）是s平面与z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。式（5.1）与式（5.5）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把z=ej，可得：（式5.7） 即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆。 其次，将s=+j代入式（5.7），得： （式5.8） 因此： （式5.9）由此看出，当0时，|z|0时，|z|1。也就是说，s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内，s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后

30、所得的数字滤波器也一定是稳定的。 5.2双线性变换的优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为s平面与z平面是单值的一一对应关系。s平面整个j轴单值地对应于z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（5.5）所示，重写如下： （式5.10）上式表明，s平面上与z平面的成非线性的正切关系，如图5.1所示。由图5.1看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现

31、象。图5.2双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（5.7）及图5.1所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图5.2所示。图5.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 对于分段常数的滤波器，双

32、线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。6. 数字切比雪夫高通iir滤波器设计 6.1设计流程图 数字切比雪夫高通iir滤波器设计流程图如下：开始确定数字滤波器的技术指标把数字滤波器频率特征转换成模拟滤波器的频率特征chebyshev ii型滤波器参数计算（模拟域）创建chebyshev滤波器原型表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式实现低通到高通滤波器类型的转换采用双线性变换法，从模拟高通到数字高通绘出频率响应及幅频曲线绘

33、出输入信号及输出信号波形绘出输入信号及输出信号频谱图结束图6.1数字切比雪夫高通iir滤波器设计流程图 6.2程序设计及运行结果 6.2.1设计过程数字滤波器的各项指标：fp=3000;fr=1500;fs=15000;rp=1;rs=50;把数字滤波器的频率特征转换成模拟滤波器的频率特征：wp=fp*2*pi;wr=fr*2*pi;chebyshev ii型滤波器参数计算（模拟域）：n,wn=cheb1ord(wp,wr,rp,rs,s);创建chebyshev滤波器原型：z,p,k=cheb1ap(n,rp);表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式：a,b,c,d=zp2ss(z,p,k

34、);实现低通到高通滤波器类型的转换：aa,bb,cc,dd=lp2hp(a,b,c,d,wn);采用双线性变换法，从模拟高通到数字高通：a,b,c,d=bilinear(aa,bb,cc,dd,fs); 表达式从状态方程形形式转换成传输函数形式：p,q=ss2tf(a,b,c,d);绘出频率响应及幅频曲线：figure(1);subplot(211);freqz(p,q);h,w=freqz(p,q);axis(0,1,-100,20);subplot(212);plot(w*fs/(2*pi),abs(h);grid on;xlabel(频率/hz);ylabel(幅值);绘出输入信号及输出信号波形：n=0:399;t=n/fs;x=sin(2*pi*1500*t)+2*sin(2*pi*3000*t)+3*sin(2*pi*4000*t);figure(2);subplot(211);plot(t,x);axis(0,0.005,-6,6);title(输入信号);grid on;y=filter(p,q,x);ya=y*sinc(fs*(ones(length(n),1)*t-(n/fs)*ones(1,length(t);subplot(212);plot(t,ya)