锐角三角函数单元复习与巩固

1、锐角三角函数单元复习与巩固、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数!学习目标：了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sina、cosa、tana表示直角三角形中两边的比；记忆30、45、60。的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，

2、体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.重点难点：重点：锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.难点：锐角三角函数的概念.复习策略：本章由锐角三角函数和解直角三角形两节构成。锐角三角函数以相似三角形为基础进行学习，解直角三角形以锐角三角函数和勾股定理为基础进行学习，在学习的过程中不断地综合直角三角形的有关知识。二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。*15知识要点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，

3、若有其它补充可填在右栏空 白处。详细内容请参看网校资源id : #tbjx6#302229知识点一：锐角三角函数(一)正弦、余弦、正切的定义如右图、在 rtaabc中，/ c=900,如果锐角 a确定:(1) sina=,这个比叫做/a的.(2) cosa=,这个比叫做/a的.(3) tana=,这个比叫做/a的.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的，它只是一个，其大小只与锐角的有关，而与所在直 角三角形的大小无关.(2) sina、cosa、tana是一个整体符号，即表示/ a四个三角函数值，书写时习 惯上省略符号，但不能写成sin a,对于用三个大

4、写字母表示一个角时，其三角 函数中符号不能省略，应写成 sin/bac ,而不能写出sinbac .(3) sin2a 表示(sina)2,而不能写成 sina2.(4) 三角函数有时还可以表不成sin ,cos 等.(二)锐角三角函数的定义锐角a的正弦、余弦、正切都叫做/ a的锐角三角函数.要点诠释：对于锐角a的每一个确定的值，sina有唯一确定的值与它对应，所以 sina是/ a 的函数.同样，cosa、tana也是/ a的函数，其中/ a是自变量，sina、cosa、tana 分别是对应的函数. 其中自变量/ a的取值范围是/a。，函数值的取值范围是sina , cosa .(三)锐角三

5、角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如/ a+/b=9。，那么:sina=cos 二 cosa=sin同角三角函数关系：sin2a + cos2a=sinacosa(四)30、45、60角的三角函数值/ a304560sinacosatanab角角关系：两锐角互余，即/a+/ b=要点诠释:30a 45。60o角的三角函数值和解 306 60o直角三角形和解 45o直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一

6、些相等关系，如图:边边关系：勾股定理，即 a2 b2边角关系：锐角三角函数，即sin a,cos a,tan asin b,cosb,tan b要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角).这两种情形的共同之处：有一条边.因此，直角三角形可解的条件是：至少已知 知识点三：解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.(一)解这类问题的一般过程是：(1)

7、弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.(1)(2)方位角:坡度：i(3)仰角与俯角：铅垂髓(二)常见应用问题:经典例题一一自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反 o若有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源id： #jdlt0#302

8、229类型一：锐角三角函数本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减 性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点.明确直角三角形中正弦、余弦、正切的 意义，熟记30、45、60角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随 角度增大而增大，余弦随角度增大而减小.例 1.在 rtaabc 中，/ acb=90 , cd ab 于点 d ,已知 ac j5 , bc=2,那么sin abc ()a.近 b. 2 c. r5d.诬3352思路点拨：由于/ abc在rtaabc和rtabcd中，又已知 ac和bc,故只要求出ab或cd即可.解析：解法1:解法2:总结升华：

9、例 2.计算：(1) sin450cos60o sin30o ；(2)锐角 a 满足 2sin( a 15o) 石，则/a=.解析：总结升华：3例3.已知 为锐角，sin g，求tan ,思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用sin2cos21求sin出cos ,再利用tan ,即可求出.cos解析：解法1:解法2:总结升华：类型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的知识是解直角三 角形的基础.解直角三角形时，注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角 三角形为直角三

10、角形问题是中考的热点.例4.已知：如图所示，在 abc中，/ c=90，点d在bc上，bd=4 , ad=bc ,3 cos adc -.5求：（1） dc的长；（2） sinb的值.思路点拨：题中给出了两个直角三角形，dc和sin b可分别在rtaacd和rtaabc中求得，由ad=bc ,图中cd=bc-bd,因此可列方程求出 cd.解析:总结升华：举一反三【变式1】如图所示，在梯形 abcd中，ad / bc, ca平分/ bcd , de / ac,交bc 的延长线于点e, b 2 e .(1)求证：ab=dc ; (2)若 tanb 2, ab j5,求边 bc 的长.思路点拨：要证

11、ab=dc ,只需证明 abc= bcd .由ac / de, ad / bc,可得四 边形adec 为平行四边形，所以/e=/ dac .由ca 平分/ bcd ,可得 / bcd=2/bca=2 / e,所以/ b= / bcd ,问题得证，由(1)可知 ad=cd=通,过 点a作aflbc,在rtaabf ,可求得bf=1，所以bc 2 娓.解析：【变式2】已知：如图所示，p是正方形abcd内一点，在正方形 abcd外有一点e,满足/ abe= / cbp, be=bp .(1)求证： cpba aeb ;(2)求证：pbxbe;(3) pa: pb=1 : 2, /apb=135 ,求

12、 cos/ pae 的值.思路点拨：(1)在 cpb 和 aeb 中，/ pbc= / abe , bp=be ,要证 cpbc 口 aeb , 只要bc=ab即可，而四边形abcd恰好是正方形，所以得证.(2)只要证/ pbe=90 , 而/abc=90 ,即证出.(3)要求cos/ pae的值，需判断/ pae所在的三角形是否是 直角三角形，因此需连结pe,借助(1) (2),求出/ pbe=90,而/ apb=135 ,因止匕/ ape=90 .类型三：利用三角函数解决实际问题直角三角形应用非常广泛，是中考的重要内容之一.近年来，各地中考试题为体 现新课标理念，设计了许多面目新颖、创意丰

13、富的新型考题.运用解直角三角形的知 识解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点.虽然解直角三角的应用题题 型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键.例5.如图所示，在一个坡角为 15。的斜坡上有一棵树，高为 ab,当太阳光与水平线 成50角时，测得该树在斜坡的树影bc的长为7 m,求树高.(精确到0.1m)思路点拨：树所在直线垂直于地面，因此需延长 ab交水平线于一点 d,则adlcd, 在 rtbcd 中，bc=7m ,/bcd=15，所以求出 cd、bd .而在 rtacd 中，/ acd=50 ,ad利用tan acd 日）求出ad，所以ab=ad - bd即可求

14、出.解析：总结升华：举一反三:【变式1】高为12.6米的教学楼ed前有一棵大树ab （如图所示）（1）某一时刻测得大树 ab、教学楼ed在阳光下的投影长分别是 bc=2.4米,df=7.2米，求大树 ab的高度.（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树ab高度的方案，要求：在下图中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标在图上（长度用字母m、n表示，角度用希腊字母、 表示）；根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树ab的高度（用字母表示）思路点拨：本题主要考查解直角三角形的有关知识，并且让学生根据所提供的信息设 计测量方案.解析:总结升华：【变式2】2008年6月以来某省普降

15、大雨，时有山体滑坡灾害发生.北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，af / bc,斜坡ab长30米，坡角/ abc=65 .为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚 b不动，坡顶a沿af削进到e点处,求ae至少是多少米？（精确到 0.1米）解析:类型四：锐角三角形函数与斜三角形例6.数学活动课上，小敏、小颖分别画出了abc和adef,数据如图所示，如果把小敏画的三角形面积记作sar 一小颖画的三角形面积记作sdff ,那么（）abcdefdef c. sabc sdef d.不能确定130小新掘的三角形解析:总结升华：举

16、一反三:【变式11已知如图所示，(1)当4abc为锐角三角形时，ab为最长边，三边分别为 a、b、c,试判断 a2 b2与c2的大小关系.用 a、b、c,表示出cosb.(2)当 abc为钝角三角形时，/ c为钝角，判断a2 b2与c2的大小关系？ 用 a、b、c表示cosb.思路点拨：解此类问题需作高线构造直角三角形，通过观察发现构造的两直角三角形 有一条公共边，借助它列方程，设 cd=x,则在图(1)中bd a x,图(2)中2222bdax,则图(1)万程为b x c (ax) .图(2)万程为 b2 x2 c2 (a x)2 ,先求出 x ,再进一步求 cosb .解析:三、总结与测评

17、要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法一一强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧c 相关内容请参看网校资源 id : #tbjx10#302229。（一）解直角三角形的常见类型及解法知和解法三角形类型已知条件解法步骤rtaabc两边两直角边（a, b）a由 tana 求/ a, b/ b=90 / a,c j a2 b2斜边，一直角边（如 c, a）a由 sin a 一求/ a c/ b=90 / a,. / 2 2b v c a边角一直角边和一锐角锐角、邻边（如/ a b）/

18、 b=90 / a,一，一“ba b tan a , c cosa锐角、对边（如/ a a）/ b=90 / a,aac , b sin atana斜边、锐角（如c, / a）/ b=90 / a, a c sin a, b c cosa（二）用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是:把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形）,就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、 线、角等）以及图形之间的大小或位置关系.借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学 问题.当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解.（三）锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所 以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：sin1bd sinbcabcabbc2bd absin2ad . sinacbacabac2ad abtan1bd , t