中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数(含答案)(1)

1、中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数 【前言】 前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三 讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线 没有想到，整个一道题就卡壳了。 相比几何综合题来说， 代数综合题倒不需要太多巧妙的方 法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往 是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的 专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答

2、题的方 式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式， 整数根和抛物线等知识点结 合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。 第一部分真题精讲 【例1】2010，西城，一模 已知：关于 x的方程 mx2 -3(m -1)x 2m -3=0 . 求证：m取任何实数时，方程总有实数根； 若二次函数 yi =mx2 -3(m -1)x - 2m -1的图象关于 月轴对称. 求二次函数的解析式； 已知一次函数y2 =2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所 对应的函数值 y2均成立； 在条件下，若二次函数 yax2 bx c的图象经过点(-5 , 0)，且在实数范

3、围内， 对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值yi y y2，均成立，求二次函数 2 y3二ax bx c的解析式. 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方 程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0 和M工0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二 次函数的性质，即一次项系数为0,然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因 变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y的一条切线，只 有一个公共点(1 , 0)。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，

4、也必须过该点。 于是通过代点，将y3用只含a的表达式表示出来，再利用y y3 y2,构建两个不等式，最终分 析出a为何值时不等式取等号，于是可以得出结果 【解析】 解：(1)分两种情况： 当m =0时，原方程化为3x 一3 =0，解得x =1 ,(不要遗漏) 当m =0，原方程有实数根 当mO时，原方程为关于x的一元二次方程， 人222 =-3(m-1 4m(2m3)=m 6m+9=(m 3) 0 . 二原方程有两个实数根(如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判 定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大 家注意就是了) 综上所述，m取任何实

5、数时，方程总有实数根 . (2) 关于x的二次函数y1 = mx2 - 3(m-1)x 2m - 3的图象关于y轴对称， 3(m-1) =0.(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0) m =1. 抛物线的解析式为y_, =x2 -1. 2 2 y1 -y2 =x2 1 (2x 2 )=(x1 ) 0 ,(判断大小直接做差) - y1 y2 (当且仅当x =1时，等号成立). (3) 由知，当x=1时，yy0. 二yi、y2的图象都经过1,0 .(很重要，要对那个等号有敏锐的感觉) t对于x的同一个值，yi y3 y2 , y3 = ax2 bx c的图象必经过1,0 . 又 t y3 二a

6、x2 bx c 经过-5,0 , 2 ya x -1 x 5产ax4ax _5a .(巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算) 2Q 设 y = y3 - y2 = ax 4ax -5a - (2x - 2) = ax2(4a - 2)x(2 - 5a). t对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值yi y3 y2均成立， 3 _y2 0 , 2 y =ax(4a _2)x (2 -5a) 0 . 又根据yi、y2的图象可得a 0 , 2 二4a(2 -5a)-(4a-2)0.(a0时，顶点纵坐标就是函数的最小值) 4a - (4a -2)2 4a(2 5a) 0. 1 只有3a -1二0，

7、解得a二丄. 3 1 o 45 抛物线的解析式为 y3x2. 333 【例2】2010，门头沟，一模 关于 x 的一元二次方程(m2 _1)x2 _2(m _2)x 1 = 0. （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点A：；厂1 J是抛物线y =（m2 -1）x2 -2（m -2）x 1上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只 交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由 【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析 式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如

8、果有一次函数和二次函数只有一个交点，则 需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还 不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线，恰恰这种直线也是和抛 物线仅有一个交点，所以需要分情况讨论，不要遗漏任何一种可能. 【解析】： （1）由题意得丄-丨-2（ m -2）：4（m2 -1） 0 5 解得m :- 4 m2 -1 =0 解得m -1 5 当m 且m杠二1时，方程有两个不相等的实数根 4 （2）由题意得 m -1，2（m-2） V 二-1 解得m = 3, m =1 （舍）（始终牢记二次项系数不为 0） y =8x210 x 1

9、 5 （3）抛物线的对称轴是 8 f 1） 由题意得B -，-1（关于对称轴对称的点的性质要掌握） k 4 丿 1 x与抛物线有且只有一个交点B （这种情况考试中容易遗漏） 4 另设过点B的直线kx b（ k =0） r 1k1 把 B . ，_1 代入 y =kx +b，得 _ +b = _1b =_ k _1 _ 4J44 ynkx1 k1 4 - 2 y =8x10 x 1 ( 1 y =kx k -1 4 1 整理得 8x (10_k)x k 2 =0 4 2 1 有且只有一个交点，.l=(10-k) -4 8 ( k2)=0 4 解得k =6 1 y =6x 亠_ 2 综上，与抛物线

10、有且只有一个交点B的直线的解析式有 x-1 , y =6x 1 42 【例3】 已知p（ -3, m）和Q（1， m ）是抛物线目二2x2 bx 1上的两点. （1）求b的值； （2） 判断关于x的一元二次方程2x2 bx 1=0是否有实数根，若有，求出它的实数 根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线y =2x2 bx 1的图象向上平移 k （ k是正整数）个单位，使平移后的 图象与x轴无交点，求k的最小值. 【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P，Q纵坐标是一样 的，说明他们关于抛物线的对

11、称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴 求出bo第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点， 在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加 右减（单独的x）,上加下减（表达式整体）然后求出结果。 【解析】 （1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对 称轴距离相等. 所以，抛物线对称轴 x =-匕二旦1，所以，b=4 42 (2) 由(1)可知，关于x的一元二次方程为 2x2 4x7=0 因为，U 二b2 _4ac=l6 8=80. 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 当k =

12、2时，方程2x2 4x k -0无整数根; 当k =3时，方程2x2 4x k -1 =0有两个非零的整数根. 综上所述，k -1和k =2不合题意，舍去; k =3符合题意. 把它的图象向下平移 8个单位得到的图象 当k = 3时，二次函数为y = 2x2 4x 2， 2 第12页共14页 【思考2解析】 证明：LJ二2(2m -3) I2 -4 (4m2 -14m 8) =8m 4 7 m - 0, . 8m 4 0. 方程有两个不相等的实数根。 (2) x= 2(2m -3) 、8m4 = (2m _3) _ 2m 1 方程有两个整数根，必须使, 2ml整数 且m为整数. 又/ 12 m

13、 v 40, 25 ：2m 1 ：81. 5 2m 1 9. 令 2m 1=6, 35 m . 2 第15页共14页 令. 2m 1=7, m=24. 令 2m1 =8,. 63 m . 2 / m=24 【思考3解析】 解：由 kx=x+2，得(k- 1) x=2. 依题意k 1丰0. 2 x k -1 /方程的根为正整数，k为整数， k 仁1 或 k 仁2. k1= 2, k2=3. (2)解：依题意，二次函数y=ax2 bx+kc的图象经过点(1, 0), 0 =a b+kc, kc = b a . 2 2 2 2 2 2 2 .(kc)-bab(ba)bab b-2ababab _ _

14、 2 akca(b-a)aba a2 ab = 2 1. ab -a (3)证明：方程的判别式为 =( b)2 4ac= b2 4ac. 由 aM 0, cm 0,得 acM 0. (i )若ac0.故 =b2 4ac0.此时方程有两个不相等的实数 根. (ii )证法一:若 ac0,由(2)知 a b+kc =0,故 b=a+kc. =b2 4ac= (a+kc)2 4ac=a2+2kac+(kc)2 4ac = a2 2kac+(kc)2+4kac 4ac =(a kc)2+4ac(k 1). 方程kx=x+2的根为正实数， 方程(k 1) x=2的根为正实数. 由 x0, 20,得 k 10. . 4ac(k 1)0. / (a kc)2 _0, =(a kc)2+4ac(k 1)0.此时方程有两个不相等的实数根 证法二：若ac0, /抛物线y=ax2 bx+kc与x轴有交点， 1=( b)2 4akc =b2 4akc_0. (b2 4ac) ( b2 4akc)=4ac(k 1