1957年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1、精品资源1957年普通高等学校招生全国统一考试数学121 .甲、化简（2-）2 0.1（2”）飞9271 2解：原式=（25）2 产目5 工i9102731648乙、求适合不等式x2 +x2的实数x的范围.解：原式为x2+x20解为：-2x1.故x的范围为-2x1.丙、求证 ctg22 30 =12.451 cos45证：ctg22 30 = ctg = =1 、.2.2 sin 45s依次为棱ab bg cda丁、在四面体 abc前，ac=bd p、q rda的中点，求证：pqr的一个菱形证：由于点p、q r、s依次为棱ar bg cd da的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得-1 -p

2、q/ rs/-ac, rq/sp/ bd. =2=而由题设，ac=bdpq=qr=rs= sp故pqrs为一个菱形欢下载me a戊、设a,b为异面直线，ef为a,b 的公垂线，s为过ef的中点且 与a,b平行的平面，m为a上任一点，n为b上任一点.求证线段mn 被平面u二等分.证：过直线b作平面p 口(如图) 过直线a及公垂线ef作一平面，在此平面内作 mc ef,且与平面口 ,p分别交于r c两点.设ef、mn别与平面口交于点a、d点a是ef的中点，又 me/ ba/ cf,.点b是mc勺中点.又 db/ ng.d是mn勺中点.另法：如图，连接 en ab,bd由 a :,b: = a/ b

3、d,b/ab由a是ef的中点得,d为mn勺中点此即线段mnm平面”二等分2.解方程组；lg(2x+1)+lg(y-2) =1 (1)10xy =iox 10y(2)解：由(1)可得(2x 1)(y-2) =10,2xy - 4x y _12 =0由（2）可得 xy =x y （4）将（4）代入（3）可得 2x+2y 4x + y 12 =0, -2x 3y -12 =0,12 2xy 二二再将（5）代入（4）可得x12 2x 12 2x=x33化简，得 2x2 7x-12 = 0,-7 _ 145.x 二4将x值代入（5）12 2x尸317 _ j456a 此即y1-7 -、145417 -

4、.14563.设 abc勺内切圆半径为r,求证bc边上的高-7.145，x2 :417,1456; y2 =因为2x2+1 0,所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅-7+7145x 二为 417145厂c b c2r cos cosad 二22.a sin 2证：在直角 abckad = c sin bo . b b=2c sin 一 cos22另外，c = ae eb, a b、 r(ctg -ctg -)a b cos cossin sin 22sin万).bsin sinc cos r2=r -.a . b sin sin 22.b sin 2b cos 2c cos .a

5、d =2r2.a . b sin sin22c bc2r cos cos22.a sin 24.设abc锐角三角形，以bc为直径作圆，并从a作此圆的切线ad与圆切于d点，由在ab边上取ae=ad并过e作ab的垂线与ac边的延长线交于f,求证：(1) ae:ab=ac:af.(2) abc勺面积=aef的面积.证(1):设ab与。相交于点g,联结eg cg bf.v ef ar cgl argc/ ef,ac:af=ag:ae又ad是。的切线，.ad=ag ar也即 ag:ad=ad:ab但ad=ae. ag:ae=ae:a b由、可得ae:ab=ac:af证（2）:由（1） ae:ab=ac:

6、af 则 ec/ bf, ebc勺面积= efc的面积. abc勺面积= aec的面积+ ebc的面积二 aec的面积+zefc的面积=zaef的面积5.求证方程x3 -（v2+1）x2 +（v2-q）x+q = 0的一个根是1.设这个方 程的三个根是 abc勺三个内角的正弦sin a,sinb,sinc,求a、b、c的度 数以及q的值.解：将x=1代入这个方程式，则 13 -（72+1） 12 +（j2q） 1+q = 0,故知1是原方程的一个根.由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被 x-1整除.用x-1除方程左边后得商式x _ 2x _ q =0.根据题设条件（即有一个根为1 ,不妨设sinc = 1）及根与系数的关系可得sinc =1(1)sin a sin b = 2(2)sin a sin b = -q (3)由（1）可知c=90,于是a+b=90, b=94a,代入（2）得sin a +sin(90 *_ a) = 72,即 sin a + cos a = 22,.2 . a 2 ,.sina cosa=1, 22sin 45 sin