分式要点和典型例习题

1、分式要点和典型例习题 bdbdbcbdbd 3. 分式的乘法与除法 : = , = = acacadacac 4. 同底数幕的加减运算法则：实际是合并同类项 m nm+nm nm-n 5. 同底数幕的乘法与除法 ；a a =a ; a - a =a n mn 6. 积的乘方与幕的乘方：(ab)m= a m bn , (a m) = a 7. 负指数幕：a-p二丄a=1 ap 8. 乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2- b 2 ;(a 士 b) 2= a2士 2ab+t) (一)、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 1 1: b 22 7 【例1】下列代数

2、式中：上，丄x_ya 二 仝，丄丄，是分式的有: 兀 2Ja+b x+y x-y 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 (1)耳 (2)弓亠(3)(4)上A ( 5) x+4x2+2x21|x|3 x x 题型三：考查分式的值为 0的条件 【例3】当x取何值时，下列分式的值为0. (1)：3 (2) M2 2 (3) x/23 x 5x6 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】(1) i 当x为何值时，分式 为正； 8 x (2) 当 1 x为何值时，分式 s 2为负； 3 (x-1)2 (3) 当 1 x为何值时，分式 为非负数. x 3 【知识网络】 【

3、思想方法】 1转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简 单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分 式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程 的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等. 2. 建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问 题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题一 分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对 培养通过数学建

4、模思想解决实际问题具有重要意义. 3类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分 式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些 运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质； 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值(通分与约分) 4. 幕的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则：-=出 a = 0 a a a 2.异分母加减法则：-_d = bc _da = bc da a = 0,c = 0 ； a c

5、 ac ac ac 1 1 (3) 练习： 1当x取何值时, F列分式有意义: 【例4】已知：x 一丄=2，求x2 丄的值. Xx2 (1) 1 6|x| : (2) 3-x 2 (x 1)21 11 2当x为何值时，下列分式的值为零: 【例5】若|x_y 1|(2x_3)2 =0，求一1一 的值. 4x2y 练习： 1.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数 (1) 5-I x -1 | x 4 (2) 25 X2 2 x 6x 5 3 解下列不等式 (1) 0.03x-0.2y 0.08x + 0.5y 3 0.4a b 5 ab (2) x 5 2 x 2x 3 410 2

6、 .已知: 1 2 x 丄=3，求4 x 2 的值. xx4 x2 1 3 .已知: =3 1.分式的基本性质: 2.分式的变号法则: (二)分式的基本性质及有关题型 A _AM_A-：M B _ BM一 B M -a -a a -b - b -b b 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数 (1) 1x 1y 34 (2) 0.2a 0.03b 0.04a b 2a 亠 3ab 2b b - ab - a 的值. 4 .若 a2 2a b2 - 6b 10 = 0，求-2 b 的值. 3a + 5b 5 .如果 1 ： x ： 2，试化简

7、J21口 01 . 2x |x 1| x (三)分式的运算 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号 (1) 土乂 (2)(3) -三 x _ ya _ b b 题型三：化简求值题 【例3】已知：丄=5，求2x 3xy女的值 x yx+2xy+y 提示：整体代入， x y =3xy ,转化出1 1. x y 1.确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕 2 .确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数; 取分子、分母相同的字母因式的最低次幕. 题

8、型一：通分 【例1】将下列各式分别通分 (1) (3) c b a , 2 , 2 -2ab 3a2c - 5b2c (2) ab a-b 2b-2a 1x2 x2 -x1-2x x2 x2 -x-2 (4) a 2, 1 2-a 3 题型二：约分1 计算 5 (1) 2 -16X3y ； ( 3) 20 xy 2 2 nm ； m n 2 (3) x2 x-2. x -x -6 题型三：分式的混合运算 【例 3】计算 : (1) 2. (a b)3 c 2 (c b) b 2 叩. -()； a (2) 3a3 3 (一) x y 22y - X 2 (X -y r：-()； y十x (3)

9、 m 2n n 2m . (4) 2 a a a -1 1 n m m n ； n -m i ? (5) 1 1 3 2x4x 7 8x ； 1 -X 1 x 1 X21 X 41 x8 7 (6) 1 + 1 1 ； 【例2】约分: (1) (3) (5) (7) 2a 5 2(a 1) 2(a 1)2(a 1) a - b c a - 2b 3c b - 2c a b c b c a c a b (a_b 4ab)(a - b a_b 4ab ) a b 1 2 * 1 (x_2)(x_3) _(x_1)(x_3) (x_1)(x_2) (2) (4) (6) 2 2 a2b- 2ab .

10、 ; abba a_b空 a+ b (x 1)(x +1) (x +1)(x +3)(x +3)(x 十 5) 2 2 x 41 x 2x、 (7)(二)() x 4x +4X 2 x +1 题型四：化简求值题 2 先化简后求值 (1) 12421，其中 a 满足 a2a = 0. a*2 a -2a+1 a -1 2 2 (2) 已知 x: y = 2 :3，求()(x y) ( _ )3三的值. xyXy 3 .已知：5口A ，试求A、B的值. （x_1）（2x 1） x_1 2x_1 4当a为何整数时，代数式 399a 805的值是整数，并求出这个整数值 a+2 【例4】先化简后求值 2

11、 （1） 已知：X =-1，求分子 18 （ x 4一1）二（丄-1）的值; x _4 4x2 x （2） 已知：上，求xy2 2号_3,的值； 2 3 4，x2 +y2 +z2 （3） 已知：a2 -3a V =0，试求（a2 -2）（a丄）的值. a2a 题型五：求待定字母的值 （四）、整数指数幕与科学记数法 练习: 题型一：运用整数指数幕计算 【例 1】计算：(1) (a，) (b1)3 35 (3) Mb2 (a-b) (a+b)4 32 1 x 223、2 (2) (3x y z )(5xy z ) (4) (x y)3 (x y)2 ( y)-6 【例5】若耳空二卫，试求m,N的值

12、. X2 -1 x 1 X 1 题型二：化简求值题 【例2】已知x X* =5，求（1） x2 x的值；（2）求x4 x*的值. 题型三：科学记数法的计算 【例 3】计算：(1) (3 10亠)(8.2 10)2 ； (2) (4 10；)2-：-(2 10，)3.【例2】解下列方程 (1) x 4x4, 4 ； x 1 x y J x 4 练习： 1.计算:(1)(丄一丄)(丄)一| -丄 | (1 - . 3) (.25严7 .42008 3553 (2) (3 Jm3n 之) (m 勺) 2 2 2 2 (3) (2ab ) (a b) (3a3b2) (ab3) 29 2 (4) 4(

13、x y) (x y) 2(x y) (xy) x - 7x9x - 10 x6 T = r x 6x8x 9x5 提示：（1）换元法，设Fvy ； （2）裂项法， 【例3】解下列方程组 (1) (2) (3) 7 题型三：求待定字母的值 2已知 x2 -5x 0，求(1) x xJ，(2) x2 x 的值. 第二讲分式方程 【知识要点】1.分式方程的概念以及解法； 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数； 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系 2. 3. ；方程两边同乘以最简公分母

14、,恰当地设末知数. 题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程 【例4】若关于x的分式方程 有增根，求m的值. 【例5】若分式方程詰一的解是正数，求a的取值范围 提示：宁0且x=2，心且宀4. 题型四：解含有字母系数的方程 【例6】解关于x的方程 （一）分式方程题型分析 仝(c d =0) b x d 提示：(1) a,b,c,d 是已知数；(2) c，d0. 1321x +14 (1)二 3 ； (2)丄一丄=0 ； (3) 一# 1 ； x -1 xx 3 xX 1 X2 1 题型五：列分式方程解应用题 练习: 提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根

15、；忘记 1 .解下列方程: 验根. (1) 题型二：特殊方法解分式方程 2x 0 ； 12x x4 (2) 2 =、 x-3x-3 (3) 匚丄.2 ； x 2 x -2 (4)=1 X X X Xx -1 (5) 5x 4 2x 亠51 2x -4 3x -22 x +1x + 5 六、分离常数法 例6 .解方程: 七、分组通分法 (7) xx9 _ x 亠1 x 2x 7 x -1 x -8 x - 6 例7 .解方程: 2 解关于x的方程: (1)丄=丄? (b =2a)； a x b =-b(a =b). b x （三）分式方程求待定字母值的方法 3.如果解关于x的方程 x2 x会产生

16、增根, x _2 求k的值. 4.当k为何值时，关于x的方程 5.已知关于x的分式方程筈 x 3 厂2(x -1)(x 2) 1的解为非负数 =a无解，试求a的值. （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对 一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 例1 .若分式方程无解，求m的值。 x_22_x .2 例2 .若关于x的方程丄 A不会产生增根，求k的值。 X -1 x -1 x + 1 例3 .若关于x分式方程 k 4 有增根，求k的值。 x2 x+2 x -4 例4 .若关于x的方程-上5 =上！有