高数中需要掌握证明过程的定理(一)

1、应当熟练掌握的 由于水平有限， 过程是必要的。1）常用的极限xe 1 limx 0 xxa 11, limx 0 xln a , limx 0(1 x)a 11 cosxa , lim2x 0 x2高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类 繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应 该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试， 很多时候要求没有那么高。而有 些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费 力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水

2、深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己 对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。 这些 证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明11lim(1 x)x e 与【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim. 1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技 x 0 x巧。证明：11 :由极限 lim(1x)xe两边同时取对数即得lim ln（1 x） 1。x.e 1 limx

3、0 x1：在等式典一1 中，令 ln(1 x)et 1 。由于极限过程是x因此有lim -t 1t 0et 1极限的值与取极限的符号是无关的,因此我们可以吧式中的xa 1 lim x 0 xln a :利用对数恒等式得xa 1 lim x 0 xxlna e limx 0 x1 一一再利用第二个极限可xln a得 lim ex 0 xlim a一1ln a。x 0 xxln a )e 1ln a lim ln a。因止匕有x 0 x ln alim (1 x)a 1x 0 xa :利用对数恒等式得limo(1 x)a 1.e limx 0aln(1 x)1 alimx 0ealn(1x)11n

4、(1 x) alimaln(1 x)ealn(1 x)aln(1jimx) x 0ln(1 x) a上式中同时用到了第一个和第二个极限。1 cosxlim2x 0 x22：利用倍角公式得了2sin2- lim 22 x 0 xllim2 x o.一 x sin 一2x22)导数与微分的四则运算法则(u v) u v,(uv) u v uv ,(u)vvu uvd(u v) du dvd(uv) vdu udvu、 vdu udv ,d(-) 2一(vv v0)【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。 而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关

5、的概 念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3)链式法则设y f (u), u (x),如果(x)在x处可导，且f (u)在对应的u(x)处可导，则复合函数y f( (x)在x处可导可导，且有:f( (x)f(u) (x)或 dxdy dudu dx【点评】：同上。4)反函数求导法则设函数y f(x)在点x的某领域内连续，在点 孔处可导且f(x) 0,并令其反函数为x g(y),且x0所对应的y的值为y0,则有:g (y0)1f (x0)1 f dx 1t或一二f (g(y。)dy dydx【点评】：同上5)常见函数的导数sinxcosxcosxin x

6、x 1 :导数的定义是f (x) lim x ifx) f(x),代入该公式得11m0(x x) x(1 -)xx(1 -)1xlim-x 0 x1。最后一步用到了极限limx 0 xa。注意，这里的推导过程仅适用于0的情形。loga xin a【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对 极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：sin(x x) sin x由和差化积公式得limx 0似。sin(x x) sinx11m0in xlogaxx、. x 2cos(x -)sin 1 :

7、利用导数定义lnx limg xx 01 一、一，的证明类似xln a:利用导数定义e：cosxx)cosxin xsin x的证明类(利用换底公式loga xxln xlimoxln(1 一)xxinae lim x 0(x x) xj elimx 0xx e 1e xin a的x 0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。sinx cosx ：禾1j用导数定义 sinx limx 06)定积分比较定理b如果在区间a,b上恒有f(x) 0,则有 f(x)dx 0 a推论：i如果在区间a,b上恒有f(x) g(x),则有bf(x)dx bg(x)dx; aaii设m和m是函数f (x)在

8、区间a,b上的最大值与最小值，则有：bm(b a) f (x)dx m (b a) a【点评】 ： 定积分比较定理在解题时应用比较广， 定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7)定积分中值定理设函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点使得下式成立：b f (x)dx f ( )(b a) a【点评】 ：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论， 在证明题中有重要的作用。 考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8)变上限积分求导定理x如果函数f (

9、x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数(x)f (x)dx在a,b上a可导，并且它的导数是 d x(x) f(x)dx f (x), a x b dx a设函数 f(x) ：f(t)dt,则有 f(x) f(u(x)u(x) f(v(x)v(x)。【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9)牛顿-莱布尼兹公式b如果函数f(x)在区间a,b上连续，则有 f(x)dx f(b) f(a),其中f(x)是af(x)的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的 推论。具体证明过程见教材。10)费马引理：设函数f(x)在点x0的某领域u(x

10、0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x u(%),有 f(x0)f(x)或f(x0) f(x),那么 f(x0)0【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是 很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11)罗尔定理：如果函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)上可导(3)在区间端点处的函数值相等，即 f(a) f(b)那么在(a,b)内至少存在一点 (a b),使得f ( ) 0。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理； 它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相 互蕴含，可

11、以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主 要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过 程见教材。12)拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导那么在(a,b)内至少存在一点(ab),使得 f()f(b) f(a)ob a【点评】：同上。13)柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导那么在(a,b)内至少存在一点(ab),使得人0 g ()f(b) f(a)og(b) g(a)【点评】：同上设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)

12、上可导。如果在(a,b)上有f(x) 0,那么函数f (x)在a,b上单调递增。如果在(a,b)上有f(x) 0,那么函数f (x)在a,b上单调递减。【点评】 ：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明 f(x) 0的情形，f(x) 0的情形类似。x1, x2 (a,b) ，假定x1 x2则利用拉个朗日中值定理可得，x2,x2 使得f(x1) f(x2)f(x1 x2) 。由于 f0 ，因此f(x1) f (x2) 0 。由?2的任意性，可知函数f(x)在a,b上单调递增。14) (极值第一充分条件)o设函数f(x)在入处

13、连续，并在的某去心邻域u(%,)内可导。i)若 x(x0z)时，f(x)0,而 x(x0,x0)时，f(x)0,则 f(x)在 x0 处取得极大值u)右 x(x0,x0)时，f (x)0,而 x(x0,x0)时，f (x)0,则 f(x)在 x0 处取得极小值；oiii)若x u(x,)时，f(x)符号保持不变，则f (x)在x0处没有极值；：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15)(极值第二充分条件)设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f(xo) 0,那么i )右f (xo) 0,则f(x)在x0处取得极小值；11)右f (xo) 0,则f(x)在x0处取得极大值。【点评】：这个定理是判

14、断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。 证明：仅证明f(x0) 0,的情形，f(x0) 0,的情形类似。由于f(x)在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在x0的某领域内成立f (x)x0x0 xx02 x x0fx0 o2x0由于f (x0)0,因此f(x) fx0x02x02x0f x0x02 f x02x02x0由高阶无穷小的定义可知,ox0时，有一2x x0因此在x。的某领域内成立f x02x2o x x02-x x02x00。又由于-x0进一步，我们有f x0 x2x0fx022x02-x0 。也即，在x0的某领域内成立f(x)f x0。x x0由极值点的定义可知f(