《哈密顿原理》

1、2.2 多自由度体系的多自由度体系的小振动小振动 1.1.保守系在广义坐标系中的平衡方程保守系在广义坐标系中的平衡方程 已知广义坐标系中的平衡条件是已知广义坐标系中的平衡条件是 1 0 s Qq 1 0 n i i i r QF q 若力是保守力，则若力是保守力，则,1,2, V Qs q 于是于是 0,1,2, V s q 2.2.多自由度力学体系的小振动多自由度力学体系的小振动 考虑一个完整、稳定、保守的力学体系在平衡位置考虑一个完整、稳定、保守的力学体系在平衡位置 附近的微小振动，设平衡位置的广义坐标为零，可以将附近的微小振动，设平衡位置的广义坐标为零，可以将 势能展为泰勒级数势能展为泰

2、勒级数 2 0 11 0 1 0 1 2 ss VV VVqq q qqq 高级项 2 11 11 0 11 22 ss V Vq qcq q qq 0 V q 取取 0 0V 对保守系对保守系 略去高级项略去高级项 在稳定约束下，动能只是速度的二次函数在稳定约束下，动能只是速度的二次函数 1 1 1 2 s Taq q 1 n ii i i rr am qq 其中其中 也展开为泰勒级数也展开为泰勒级数 0 1 s r r r a aaq q 高级项 只取第一项，则只取第一项，则a为常量为常量 1 1 1 2 s Vcq q 1 1 1 2 s Taq q 惯性系数惯性系数 恢复系数恢复系数

3、1 s V cq q 1 s T aq q 1 s dT aq dtq 0 T q 代入拉氏方程，得到代入拉氏方程，得到 1 0,1,2, s aqcqs 解的形式为解的形式为 t qA e 代入上式，得代入上式，得 2 1 0,1,2, s Aacs 2 1 0,1,2, s Aacs 222 1111121211 222 2121222222 222 1122 0 ss ss ssssssss acacac acacac acacac 由上式可求出由上式可求出2s个本征值个本征值 1,2,2 l ls 从而求出从而求出2s组组 1,2, l As 解为解为 2 1 ,1,2, l s lt

4、 l qA es 2 1 ,1,2, l s lt l qA es 振动解要求振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能为纯虚数，要做到这一点势能V0. 令令 ll i 1 cossin,1,2, s ll ll l qatbts 1 ,1,2, ll s lli ti t l qA eA es 上式中上式中 l 叫叫简正频率简正频率，共有，共有s个。个。 3.3.简正坐标简正坐标 1 s ll l qg 1 1 1 2 s Vcq q 1 1 1 2 s Taq q 02 1 1 2 s ll l Ta 02 1 1 2 s ll l Vc 代入拉氏方程代入拉氏方程 0,1,2, lll d

5、TTV ls dt 得到得到 00 0,1,2, llll acls 00 0,1,2, llll acls 解出解出 cossin cos,1,2, lllll lll AtBt Ctls 简正坐简正坐 标标 00 / lll ca 简正频率简正频率 第第3章、哈密顿力学章、哈密顿力学 1勒让德变换勒让德变换 (, ) ( =1,n; =1,s) ji FF uw tji FvuG u F v j jj j j (, ) ji GG v w t jj vu , 称为主变量，没有参与变称为主变量，没有参与变 化的化的 称作辅变量。称作辅变量。 , i w t ),(twvGG ij j j v

6、 G u t F t G w F w G ii , 2哈密顿正则方程的推导哈密顿正则方程的推导 旧函数旧函数变换变换新函数新函数 变变 量量 函 数 形 式 tqq, , tpq, ( , , ) k k k LL q q t H pH p ( , , ) k k k HH q p t L qL q k k k k L p q H q p dt dq q q L q L dt d k k kk 0)( k k k k q H p p H q 3对哈氏方程的说明对哈氏方程的说明 (1)、H函数的物理意义函数的物理意义 VTTL q L qLqpH k k k k kk 02 (2)、哈氏正则方程

7、同受理想约束的完整具势组的拉氏、哈氏正则方程同受理想约束的完整具势组的拉氏 方程是等价的，应用条件都是对惯性系中。方程是等价的，应用条件都是对惯性系中。 4正则方程中的初积分正则方程中的初积分 (1)、广义能量积分、广义能量积分 证明：证明： t H dt dH ),(tpqHH t H p p H q q H H k k k k k k k k k k q H p p H q t H q H p H p H q H k kk k kk )( 0 t H CVTTH 02 (2)、循环积分（广义动量守恒）、循环积分（广义动量守恒） ), 2 , 1(smiqi，为循环坐标，则为循环坐标，则 i

8、 ii p q H q L 0 i pC 5哈氏正则方程中的解题步骤哈氏正则方程中的解题步骤 建立坐标系（惯性系），确定体系的自由度，选建立坐标系（惯性系），确定体系的自由度，选 取恰当的广义坐标；取恰当的广义坐标； 写出体系的动能及势能；写出体系的动能及势能； 七、相空间七、相空间 1.定义定义:由广义坐标和广义动量共同构成的由广义坐标和广义动量共同构成的2s维空间维空间, 称作相空间称作相空间,通常又称作通常又称作Pq空间空间. 用用 表示出哈氏函数表示出哈氏函数 tpq, 代入正则方程求解。代入正则方程求解。 2.相空间与位形空间的区别相空间与位形空间的区别 位形空间位形空间相空间相空间

9、 维数维数s2s 功能功能确定位形确定位形位形和运动状态位形和运动状态 空 间 点空 间 点 遵 循 的遵 循 的 方程方程 拉格朗日方程拉格朗日方程哈密顿正则方程哈密顿正则方程 2哈密顿正则方程的推导哈密顿正则方程的推导 旧函数旧函数变换变换新函数新函数 变变 量量 函 数 形 式 tqq, , tpq, ( , , ) k k k LL q q t H pH p ( , , ) k k k HH q p t L qL q k k k k L p q H q p 例例1、用哈密顿正则方程研究一维谐振子的运动。、用哈密顿正则方程研究一维谐振子的运动。 解：设振子的质量为解：设振子的质量为m，劲

10、度系数为，劲度系数为k，沿，沿x轴运动，并且伸长轴运动，并且伸长 量为量为x。则其动能和势能分别为：。则其动能和势能分别为： 2 2 1 xmT 222 2 1 2 1 xmkxV )( m k 222 2 1 2 1 xmxmVTL 广义动量：广义动量： xm x L p 体系的哈密顿函数：体系的哈密顿函数： 22 2 22 22 2 1 2 ) 2 1 2 ( xm m p xm m p m p LxpH 根据哈密顿正则方程可得：根据哈密顿正则方程可得： xm x H p m p p H x 2 0 2 xx k k k k q H p p H q 2 22 1 22 p Hmx m 例例

11、2、轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝以匀角速度、轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝以匀角速度绕轴绕轴 线转动。另有一质量为线转动。另有一质量为m 的光滑小环在金属丝上并可沿此金属的光滑小环在金属丝上并可沿此金属 丝滑动。求小环的运动微分方程。抛物线的方程为丝滑动。求小环的运动微分方程。抛物线的方程为 2 4 1 xy a x y o 解：取解：取xq 22 2 2 2 2222 2 1 ) 4 1 ( 2 1 2 1 )( 2 1 xm a x xm xmyxmT 取取xoz平面为零势面，则平面为零势面，则 2 4 1 mgx a mgyV 2 222 2 11 (1) 242 x Tmxmx

12、a 2 4 1 mgx a mgyV 222 2 2 2 02 4 1 2 1 ) 4 1 ( 2 1 mgx a xm a x xm VTTLqpH ) 4 1 ( 2 2 a x xm x T px 222 2 2 2 4 1 2 1 ) 4 1 ( 2 1 mgx a xm a x m p H x 2 222 2 2 111 224 (1) 4 x p Hmxmgx xa m a mgx a xmxxm ax H px 2 1 4 1 22 2 ) 4 1 ( 2 2 a x xm x T px 2 22 2 2 1 ) 4 1 (xmx a x a x mpx 0)42()4( 222

13、22 xaagxxxxa 1. 泊松括号泊松括号 1 s d qp dttqp 1212 ,.;,.; ss pppq qq t设设 3.3 泊松括号和泊松定理泊松括号和泊松定理 , HH qp pq 代入代入 , d H dtt 1 , s HH H qppq 得到得到 其中其中 泊松括号泊松括号 H q p H p q , , qqH ppH 若若 1212 ,.;,.; ss pppq qqtC 则则 ,0 d H dtt 反之，若反之，若 ,0H t 则则C 是正则方程的一个运动积分，因为有是正则方程的一个运动积分，因为有 1212 1212 ss ss dqdpdqdqdpdp dt

14、 HHHHHH pppqqq (1),0,cc为 常 数(2),0 11 (3), nn jj jj 如则 (4), (5), ttt (6),0 1, (7), 0, qp 如 如 定义定义 1 , s qppq 2. 泊松定理泊松定理 利用泊松括号，可以从正则方程的两个积分，求另一个积分利用泊松括号，可以从正则方程的两个积分，求另一个积分 12121 ,.;,.; ss pppqqqtC 12122 ,.;,.; ss pppqqqtC 若若 , d H dtt , d H dtt 则则 ,05.6.13H tt 利用利用 ,0 d H tdt 得到得到 3 ,C 于是于是 复习与回顾复习

15、与回顾 1. 泊松括号泊松括号 定义定义 1 , s qppq 1212 ,.;,.; ss pppq qq t设设 , d H dtt H q p H p q , , qqH ppH 复习与回顾复习与回顾 (1),0,cc为 常 数(2),0 11 (3), nn jj jj 如则 (4), (5), ttt (6),0 1, (7), 0, qp 如 如 复习与回顾复习与回顾 2. 泊松定理泊松定理 12121 ,.;,.; ss pppqqqtC 12122 ,.;,.; ss pppqqqtC 若若 3 ,C 于是于是 H不是不是t的显函数时，的显函数时，H=h是正则方程的一个积分，若

16、是正则方程的一个积分，若 12121 ,.;,.; ss pppqqqtC 由泊松定理由泊松定理 1 ,HC 但但 1 ,HC t 故故 2 C t 依此类推，可得依此类推，可得 23 34, 23 ,CC tt 3.12 哈密顿原理哈密顿原理 1. 变分运算的几个法则变分运算的几个法则 2 ABAB ABA BB A AB AA B BB 12 0 0 PP t qq 1） PQ Q qdqqdq PPQ 2） qqd qq dqdq 2 2 dqdqdtdq dtdtdt dqdq dt dtdt 但是但是 可见可见 d dt 与一般不能对易。若一般不能对易。若0t 则则 dqd q dtdt 等时变分等时变分 不等时变分不等时变分 2. 哈密顿原理哈密顿原理 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形 转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具 有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。 由拉