2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

1、2017年全国高中数学联赛 a卷一试一、填空题1 .设f(x)是定义在 r上的函数，对任意实数 x有f(x 3) f(x 4)1.又当0 x 7时，f(x) log 2 (9 x)-uf( 100)的值为.2 .若实数x, y满足x2 2 cos y 1,则x cosy的取值范围是 .223 .在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的方程为：x- 1,f为c的上焦点，a为c的 910右顶点，p是c上位于第一象限内的动点，则四边形oapf的面积的最大值为 .4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5 .正三棱锥p abc中，ab 1, ap 2,过ab的平面

2、 将其体积平分，则棱 pc与 平面 所成角的余弦值为 .6 .在平面直角坐标系 xoy中，点集k (x,y)x, y 1,0,1 .在k中随机取出三个点，则这 三点中存在两点之间距离为 岳 的概率为.7 .在 abc中，m是边bc的中点，n是线段bm的中点.若 a , abc的面积为 3j3 ,则am an的最小值为.8 .设两个严格递增的正整数数列an , bn满足：a10 b10 2017 ,对任意正整数 n ,有an 2 an 1 an, bn 1 2bn,则a b1的所有可能值为 .二、解答题9 .设k,m为实数，不等式 x2 kx m 1对所有x a,b成立.证明：b a 2忖x2

3、x3、，一10 .设x1, x2, x3是非负头数，满足 x1 x2 x3 1,求（x1 3x2 5x3）（x1 一）的取35小值和最大值.2_2_11.设复数 zi,z2满足 re(zi) 0, re(z2) 0,且 re(z1) re(z2) 2 (其中 re(z)表示 复数z的实部).(1)求re(z1z2)的最小值;(2)求z1 2 |z2 2z1 z2的最小值.2017年全国高中数学联赛 a卷二试.如图，在 abc中，ab ac, i为 abc的内心，以a为圆心，ab为半径作圆1以i为圆心，ib为半径作圆2,过点b, i的圆3与1, 2分别交于点p,q （不同于点b）.设ip与bq交

4、于点r.证明：br cran n, ann,2017二.设数列an定义为a11 , an 1n 1,2,.求满足a r 3an n,ann,的正整数r的个数.3 .将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.4 .设m, n均是大于1的整数，m n, a1,a2, ,an是n个不超过 m的互不相同的正整数，且a1,a2, a 互素.证明：对任意实数x,均存在一个i(1 i n),使得2帆x| |x|,这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.m(m 1)2017年全国高中数学联赛a

5、卷一试答案1.答案：解：由条件知+14) = - 工)，所以“工 + 7)-100)= f(-loo+14x7)=7(5) log：4 22.答案：一解二由于】zcos.vel 1,扑故:门-6 6i y* _i y -1由d _ 一，可知 .v-(.v - i f 1.因此当 i = i时,222a car有最小值(这时y可以取口工当一6时rt-cmt有最大值-i ti-心(这时)可以取7t)r由于!(二 + 一 1的值域是:-1*括+1 .氏而h -co&丁的取值范围是解:易知力0%/色1).设尸的坐标是(3s盘 如引口以9 w 0, g，则j-i s,r .twloxin i其中:；lm

6、tyidcu、。i si 11 li) 5邛lim8 + 6-当f，-urcmi】而时，四边形0v尸尸而积的最大值为wh4.答案2 75.解！考虑平稳数式.若b = 0,则曰=1,匚/他人有2个平稳数.若b=l,则口41，2:,付,外,有2x3 = 6个平稳数.*cwt,瓦b + l,有7x3x3 = 63个平稳数.w9.有2x2 = 4个平稳数,综上可知，平稳数的个数是2十6十启+ 4 = 755.答案工还.10解士设h凡尸匚的中点分别为塾则易证平而48v就是平面n.由中线 长公式知-(j/1 i ac i1it - -(2n i i ) -x224斫以 km = 4af-ak又易知直线叱在

7、平面n上的射影是直线而门,女一岁所以八“ a a/ - l/c -k(4cck.ue2klfc故梭尸r与平而门所成角的余弦值为辿.106.答案1v解：易知发中有9个点，故在k中随机取出三个点的 方式数为c；二m种.将k中的点按右图标记为4出,其中有8 对点之间的诬离为右,由对称性，考志取两点的情 况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序上对每个4u = i,z yg） k中恰有at 4t两点与之距离为6 （这里下标按模父理解），因而恰有if“1乂=1，2，律）这8个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个数为56f 进而所求概率为菖*7.答案：w i

8、 n浮 由条件知.t h 一 一心加+八一2“万一5极 244而而一五十回即一河一；,可十可一 4瓦荻.由于=$近=；，卜夕卜411冒=*-卜川1月q *所以避一.进一步可得ab/ .阿.同虞n - 2,从而ja - 2.不.彳4瓦 v-“ ac li ar-。十l4t-二当国=套祠=2乂行时，而云的最小值为4| h8.答案: 11 20.解:由条件可知:生，仇均为正整数,且小也.由于2017 _2/_引2小 故八工耳.反复运用卜力的递推美系知 hi1i!% % + / = 2/ + & -峭 十 :以一双 i 现 &% i 5%-13(1 4 r& - 2 lu_ 1 34j, 4 21d

9、.4-r1因此2 id = a = bv_. = 512r = 2h (mod 34) t而13x21 h4l故有,，=1341% = 11初-26/idwju).另一方面，注意到%心有55&u34/十214 一51%.故12 ,今a h,.55 1% i .当“一曲,分别化为例闻二.无解.55a 1 h.当=2时,一分别化为 52(mod34x $ 一 i 工综上所述.%+也的所有可能值为13, 20 .9.证明：令尸(r) = r - h -执，工在立，句*则,良-1,1.于是f(a) = 口 一 一 ka - wi hf(b) =1r一7_由+-2乂知，16分更乎可+ f如一 2 f故占

10、一肛2.10.解：可西不等式（口中现+卬a 咛咤）之（四*声-小3r当/=i, / = 七=0时不等式等号成立，故欲求的最小值为l因为k xt |5x（$十3三十5%）（工十寸+寸）=玉今生+5巧）（5七十寸十三）1 i （sr v -（工 +m, + 5xjx+十/）5 41 ：*1333 j10分i c i4 , v ox, +x- +6x, |*.*“*双，3 。1 m一寸=r/不）=2 -因此re（4%）= re（拓 +yd（三 +y3i） = x3 -了必=府+2 欣口）f 为 （比间 + i -yy2 2.又当丸=4=隹时，re（2z2） = 2 .这表明re（4g）的最小值为2

11、.3分（2）对 = 1,2,将.就应到平而直角坐标系声力中的点片（演,尤卜 记耳是 月关于工轨的对称点.则以8均位于双曲线c/l； = 2的右支上，设6,5分别是c的左、右焦点,易知5（_，。入与q0）,根据双曲线的定义，有归题=忸月| + 28, |喑| = |月里| + 26.进而得片一2|斗|工+2卜区-7| =上一2|+|1+2卜卜一耳怖h明=心+昭1+随卜 明之共,15分等号成立当且仅当入便于线段门上（例如，当4=/=2+近i时.玛恰是h鸟 的中点）.综上可知，,+ 2| +历+ 2卜1-回的最小值为浦7.2。分2017年全国高中数学联赛a卷二试答案证明工if接出，/c-户epc.由

12、f点。在陶厂匕故优=/。,所以=又8.， p*。四点共所以/qu=”嚼.于是上小。二4fb, 故a2b/s3wcb mlfd ft z/m = zlflp f 且18 ip7r7b注电到八月_n/为1月内内心.腔用ic.所以ic ip二tir rc又白尸们胃匚的我hc i t故wapc=ixtr-j/a,囚此10分20分是川s依敌/mr z/cp,上src二airb + zirc -/白尸+上 z#/c - fbpc第卓一卜町一3=bf .10分故 rcm-解工由数列的定义可知/二l小二2.假设耐某个整数尸色2有二人我们证明 时r-l*r i.仃+2n 2r+f-ir+21-l, 口心=ru

13、+ 2r.对f归纳叱明.af 1时.由 卜，=7 a r. 由1定义* 。川l通+rh r + f 一 r+1 .&, 二 =(tu -(r41)= 2rtr-) = rt(r + 2+ 结论成立.设对某个lefcr l 成立,则由定义4 f =drflf +(r + 2f) = ,-/ + r + 2l = 2r+rr+2/i-l*叫加卢%。=2t*力+d =tt 3s=（次 a-c/+ 次b, .c.） =xmcj 1 tk由f乘r,色的方格行;,33，=363个,设含有,色方格的行有。个.列有力个.购j色的方格一定在这。行和b列的交义方格中.因此心2363,从而 n（ct） = a b

14、k 2-jab 2-363 38 .依”（cj之39, j = 1.2.3.20分由于在行a中有ma）种颜色的方格,因此至少仃ha）-i条分隔边.同理在列 5,中,至少有小纥）-1条分隔边.是八u乙二25（人）-1）+ 1也）-1）13= l（n（a）+b?）-66=力（ 44 # 39 4 39 - 66 = 56 t40分悟王2：没有行也没有列的全部方格同色.则对任竟均trma）22, eh）之2.从而由。知jjl 51片e 以 独m m s6.综上所述*分隔金条就的最小砥等于56.50分四.aw：首先证明以下两个绪麻玷正it有在芋数一、j 南配g%* j% it.m二1一|&修也l f

15、h .由于（旬%,由十同定理*疗在*数&.满足+匚.二1卜面证明，通过啊整，存在一组9马公谪足,且融对值均不超过m. id 】勺/?*-. g，=e，s*g个.g= 倬。1r 产一片如聚、.邺么今在i j4l lu i 又uil为均为正数,曲曲可知存在jw（e令w =瑞_*勺 =e.+q* e. g1l，*冬用.k ）*则r/a *（%+ * + u & = i .并且04 m一4,sr： t j c * （it m .因为c；t且c；cjr 0t 故5_呜 *j *,（. ssmq.*=.j t黄果与a。*那么存在勺 tn ,因此育*个修0.令匚：三6明.?；=9+码.f； 二.1 |g#（

16、题.*至上，人那么或叱井此-w|/0,匕/$.心一. h. $（，：，心） 式hw.q）局为与工均是龙航毕敬.战通过白果次i述的调繁，可得到 组gm”,q.flmkda立.用且曷=& = o.结跄i获证.州分结论2： （1）对任息实数也力均有1.+川|。1 + ibl（力任盍裳救修和安敖有im”.由对任意整数“和实数x,有+ “ 11 = 11/1,故不妨设也。旬-ll，此时 2 2ii a ；-(#, ii11引|,才i4。，不妨电?, 则a+s；，,从而ii a + fr ll=|fl + fr|0.即a.b同号.当|。| +防|时.a +/g-,.此时 22 2ii a+b ihtf+bhlol+lhll a iwi b ii 当+ 时，注意总有lla + bllwg故ii 1 及1-八=1八即知（2）成立.回到