河南省安阳县高中数学最新学案第2章第14课时等比数列的前n项和(三)(教师版)新人教A版必修5

1、第14课时等比数列的前n项和(3)用心爱4专心3【学习导航】 知识网络学习要求1 .进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；2 .提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。【自学评价】1 .对于分期付款，银行有如下规定：(1)分期付款为复利计息,每期付款数相同，且在期末付款;(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.2 .若an是等比数列，且公比 q01,则数列sn,s2n-sn,s3n -s2n ,是等比数列；当q = -1 ,且n为偶数时，数列sn,s2n sn,s3n s2n ,是常数数列。，它不是等比数列.3 .当q#1时，sn

2、= 旦qn+=aqn+b,这里a + b = 0,但a#q b#0 ,这是等比数1 一q1 -q列前n项和公式特征，据此判断数列 an是否为等比数列【精典范例】【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占7 0%.国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增1 2%, 那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积 共有多少万亩(精确到万亩)？【解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积(单位：万亩)组成一个等比数列an,其中听课随金n ?

3、a1 =515, q=l + 12%=1.12, n = 6,g 515x （1- l 12d .0/上-、& =,1?七 门，9（力 田）,则1 1.12还林的面积共有4179万亩.积金贷款20万元购买住房，并从贷款后的次月初开始还贷.月利率如果10年还清,答 从2000年起到2005年底，西部地区退耕 【例2】某人2004年初向银行申请个人住房公3.375 %。，按复利计算，每月等额还贷一次，那么每月应还贷多少元？分析：对于分期付款，银行有如下规定：(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.为解决上述问题

4、，我们先考察一般情形.设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，则分期付款方式可表示为： 施付i 口元忖3r1i11111付款钱物第l次 纳工次 靖3次第用次舜梢次 各次付款金弟工元工元工元开元*京lii!s次本和和tl收1+，!i乱1 *从而有+ cl +r-r - r fl -r)h -i + h+r【-li +ryr运用等比数列求和公式，化简得 ._ ar( i +r) 工 (1 + r)- r这就是分期付款的数学模型.【解】 设每月应还贷x元，共付款12x 10=120 次,则有.tli + u + o. 003 375) +(1 + 0

5、. 003 375)2 十,+ (1 0.003 375)1：1 - 200 000( 1 + 0.003 s75)l化简得1-00。x s 003 375 x 门 0. 003 3h产”上 一0, n=2,3,4,)。(1)求证：数列是等比数列； (2)设(的公比为f(t),作数列 q,使得b1=1,bn=f( -) ( n=2,3,4,)，求 (的bn通项公式。(3)求和：b1b2- b2b3+b3b4+b2n1b2n b2nb2r+1一 ，一 一 一 2t+3【解】(1)求得 a1=s1=1 &=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 a2 =,又 3ts (2t+3) &t=3t,3t3

6、tsi 1 (2t+3)2=3t,两式相减得 3tan(2t+3) an 1=0,an _ 2t 3 an 13t(2)由 f(t)=2t 3 1 2=- r -3t t 312得 bn=f (，)=2 bnbm3121由此可得bn = n 33(3)原式 =b2 ( bl b3)+ b4( b3 b5)+ +b2n( b2n- 1 b2n+1)44,-2.=-(b2b4b2n) = -(2n3n)3 9【例4】在数列an中，an = j2 n 1(n为司效)求数列an的前n项和sn.13n (n为偶数)分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。【解】当n=2k(k cn+)时，a1, a3,a

7、5,，a2k-1,，成等差数列，公有效差为4,首项为1;而a2, a4,，如，成等比数列，公比为 q,首项为a2=9,ks2kk(1 4k -3) , 9(1-9 )21 -99 k二k(2k -1) -(9k -1)将 k=n代入得 sn =n(n-1) 9(3n -1) 228当 n=2k1 时，由 s2k-1=s2k-a2k,得 sn = n(n +1)1- 3n+ -9. 288追踪训练二1.已知等比数列 an中，前n项和sn=54,s2n=60，则s3n等于(c )a.64b.66c.60-d.66-33一， 一1 ,2 .已知 an是公比为一的等比数列，右a1+a4+a7+a97=100，则a3+a6+a9+a99的值是(a )a.25b.50c.75d.1253 .数列 1, 1+2,1+2+2 2,，(1+2+22+221),，前 n 项和等于(b )a.2n+1 - nb.2n+1-n-2c.2n- nd.2