直线平面简单几何体(B)(第22课)直线与平面所成的角和二面角(三)

1、精品资源课题： 9 7 直线与平面所成的角和二面角(三 )教学目的：1两个平面垂直的定义、画法2两个平面垂直的判定定理3两个平面垂直的性质定理理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题教学重点： 两个平面垂直的判定和性质教学难点： 两个平面垂直的判定及应用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1直线和平面所成角（ 1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0 角直线和平面所成角范围：0，2（ 2）定理： 斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过

2、斜足的直线所成的一切角中最小的角p2公式： 已知平面 的斜线 a 与 内一直线 b 相交成 角，且 a 与 相交成1 角， a 在 上的射影 ca与 b 相交成 2 角，则有 cos 1 cos2cosa1c3 二面角的概念： 平面内的一条直线把平面分为2ob b两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 若棱为 l，两个面分别为 , 的二面角记为l；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：kadegjlbicfh欢下载精品资源第二种是立式法，也称为直立式：loaboab4二面角的平面角：（ 1

3、 ）过二面角的棱上的一点o 分别在两个半平面内作棱的两条垂线oa, ob ，则 aob 叫做二面角l的平面角（ 2 ）一个平面垂直于二面角l的棱 l ，且与两半平面交线分别为oa, ob, o 为垂足，则aob 也是l的平面角说明：（ 1）二面角的平面角范围是 0,180 ；（ 2）二面角的平面角为直角时，则称为 直二面角 ，组成直二面角的两个平面 互相垂直二、讲解新课：1 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面2两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直已知：直线ab平面， ab平面，垂足为

4、b ，求证：（线面垂直面面垂直）adcd ，则 bbe证明：如图所示，令cd ，c在 内过 b 作 becd ， ab,cd， abcd ， abe 是二面角cd的平面角，又 abbe ，abe 是直角，欢下载精品资源所以，与所成的二面角是直角，即实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直3两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面已知：,cd , ab, abcd 于点 b ，求证： ab（面面垂直线面垂直）证明：在内过 b 作 becd ，则由题意得abe 是cd的平面角，知 abbe ，又 abcd ， ab三

5、、讲解范例：例 1 如图， 已知 ab 是圆 o 的直径， pa 垂直于o 所在的平面， c 是圆周上不同于 a, b 的任一点，求证：平面pac平面 pbc 分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互p相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可解： ab 是圆 o 的直径， acbc ，a又 pa 垂直于o 所在的平面，pa bc ， bc 平面 pac ，又 bc 在平面 pbc 中，所以，平面 pac 平面 pbc 说明：由于平面pac 与平面 pbc 相交于 pc ，所以如果平面cbopac平面pbc ，则在平面 pbc 中，垂直于 pc 的直线一定垂直于平面

6、pac ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法例 2 已知a,，求证： a证明：设ab,ac ，在内取点 p ，过 p 作 pmab 于 m ， pnac 于点 n ， pm，又a ， pma ，同理可得pn a ，amanbpc欢下载精品资源 a例 3已知在一个60 的二面角的棱长有两点a, b ，ac , bdc分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段ab ，又知ab4cm, ac6cm, bd8cm ，求 cd的长解：由已知caab, abbd,ca, bd18060120 ，a bd |cd |2(caabbd )2| ca |2| ab |2| bd |2 2 6 8 cos1206

7、24282268168 ，2| cd |217( cm)四、课堂练习 ：1直角 abc 的斜边 ab 在平面内， ac, bc 与所成角分别为30 ,45 ，cd 是斜边 ab 上的高线，求 cd 与平面所成角的正弦值解： 过点 c 作 ch于点 h ，连接 ah , bh ,oh ，则cah30 ，cbh45 ，cdh 为所求 cd 与所成角，记为，令 cha ，则 ac 2a, bc2a，c则在 rtabc 中，有 cdac bc2 3 aab3h在 rt cdh中， sinch3adbcd2 cd与平面所成角的正弦值3 .2欢下载精品资源2如果二面角l的平面角是锐角，点 p 到为 2 2

8、,4,42，求二面角的大小分析： 点 p 可能在二面角l内部，也可能在外部，应区别处理解：如图 1 是点 p 在二面角l的内部时，图外部时， pa pal ac l面 pacl同理，面 pbcl而面 pac面 pbcpc面 pac 与面 pbc 应重合即 a,c , p, b 在同一平面内，, ,l 的距离分别apcbl 图 12 是点 p 在二面角lpabc则acb 是二面角l的平面角l图2pa221在 rt apc 中 ， s i n acp422pb acp 30在 rt bpc 中， sinpb42bcp45bcp2pc 42故 acb 30 4575 （图 1）或acb4530 15

9、（图 2）即二面角l的大小为 75 或 15说明： 作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角3如图，正方体的棱长为1， b cbc o ，求：（ 1） ao 与 a c 所成角；（ 2） ao 与平面 abcd 所成角的正切值；（ 3）平面 aob 与平面 aoc 所成角解：（ 1） a c / ac ao 与 a c 所成角就是oacdcabodceab欢下载精品资源 ocob, ab平面 bc ocoa （三垂线定理）在 rtaoc 中， oc2 , ac2oac 302（ 2）作 oebc ，平面 bc平面 abcd oe平面 abcd ，oae 为 oa 与平面 abcd 所成角在 rtoae 中，oe1, ae12(1)25 tan oaeoe5222ae5（ 3） ocoa, ocob oc平面 aob又 oc平面 aoc平面 aob平面 aoc即平面 aob 与平面 aoc 所成角为 90说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角(0, ，直线和平面所成角0, ，二面角 0, 三种；求角22度问题解题的一般步骤是： （1）找出这个角； （ 2）证明该角符合题意； （ 3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪