突破140分之高三数学解答题高端精品-专题1-2-极值点偏移问题利器--极值点偏移判定-玩转压轴题-Word版含解析

1、精品文档专题02,极值点偏移问题利器一极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y f (x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,方程f (x) 0的解分别为x1,x2, 且 a xi x2 b ,(1)若 f(x1) f (2x0 x2)，则刍一丝 ()x0 ,即函数 y f (x)在区间(x1,x2)上2极(小)大值点xo右(左)偏；(2)若 f(xi) f(2xo x2),则()xo,即函数 y f(x)在区间(xi，x2)上 2极(小)大值点x0右(左)偏.证明：(1)因为对于可导函数 y f (x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点 x0,则函数f(x

2、)的单调递增(减)区间为(a, x0),单调递减(增)区间为(x0,b),由于axix2b,有 x1x0,且 2xx?x,又 f(x1)f(2xx2),故 x( )2xx2,所以x_2 ( )x0 ,即函数极(小)大值点 x0右(左)偏；2(2)证明略.左快右慢(极值点左偏m 由一x2)左慢右快(极值点右偏m x1 x2)22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1)求出函数f (x)的极值点x0；(2)构造一元差函数 f(x) f(x0 x) f(x0 x)；(3)确定函数f(x)的单调性；(4)结合f(0) 0 ,判断f(x)的符号，从而确定f(x0 x)、f(x0 x)的大

3、小关系口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(xj f(x2), x0为函数f (x)的极值点，求证：x1x22x0 .(1)讨论函数f (x)的单调性并求出f (x)的极值点x0 ；假设此处f (x)在(,x0)上单调递减，在(x0,)上单调递增.构造 f (x)f(x0 x) f (x0 x);注：此处根据题意需要还可以构造成f (x) f (x) f (2x0 x)的形式.(3)通过求导 f(x)讨论f(x)的单调性，判断出f(x)在某段区间上的正负，并得出f (x0 x)与f (x0 x)的大小关系；假设此处f

4、(x)在(0,)上单调递增，那么我们便可得出f(x) f(xo)f(x) f(x) 0 ,从而得到：x x0时，f(x x)f(x0 x).(4)不妨设 x1x0 x2 ,通过 f (x)的单调性，f(x1) f(x2), f(x0x)与 f(xo x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于 xx0时，f (x0 x) f (x0 x)且 x1 x0 x2, f(x1) f (x2),故 f(xj f(x2) f x0(x2 xo) f x0(x2 xo) f (2x0x2)，又因为x x0 ,10欢迎下载2x0 x2 x0且f(x)在(，xo)上单调递减，从而得到xi 2x0 x2,从而xi

5、x2 2x0得 证.(5)若要证明f(：x一x2) 0,还需进一步讨论x1 x2与x0的大小，得出之一遑所在的 222单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证 此处只需继续证明：因为x1 x2 2x0,故卫22 %,由于f(x)在(，x0)上单2调递减，故f(红22) 0.2【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f (x)的单调性、极值点，证明f(x0 x)与f (xo x)(或f(x)与f (2x0 x)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如xi x2 2x0或f(4x2) 0的结

6、论，让你给予证明，此时自己应主动把该 2小问分解为三问逐步解题 .一三、对点详析，利器显锋芒已知函数 f (x) xe x(x r). 求函数f (x)的单调区间和极值；(2)若 x1 x2,且 f(x1) f(x2),证明：x1 x2 2.e解析】容易求得第c)问：在7身上单谪递簿,在。平3上单调递减，/g)的极值是/0) = l0第(2向:构造酸尸=(1+期一#1用=。十力整。力】，则产(见二成/j2,当工。时，尸一.产(工)在92)上单调递增，又3二。，四月0,即，(1+冷/(1 一工)，当d巧，不妨谀为士声 由 l，/白=八否)=/1+(叼一以a/1(/1) = /(2再). x21

7、, . 2 x2 1, f(x)在(，1)上单调递增，. x12 x2, . xi x2 2.4 4 31一.函数 f(x) x x 与直线 y a(a一)交于 a(x1，a)、b(x2,a)两点.33证明：x1 x22.【解析】设可 1, 设f(x) =/(1 + 为一/1 *f(x =必&/-2x + 1)0;故网力单调递增区间为(to,讨)，又f肛所以当时，f(力fo) = o ,即时，a了 ) =/(电)=/(i + t) fqr笳又可 1, 21 j又幽数/(刈=/ 一：单调递遍区间为(01),所以当2吗.，即国十冯2.2已知函数 f (x) in x ,右x1x2,且f (x1)f

8、 (x2),证明：x1x24 .x2【斛析】由函数 f(x) - in x单倜性可知：右 f(x1) f(x2),则必有x1 2 x2,。x所以4 x12 ,2.2而 f(x1) f (4 x1) - 1nxi ln(4 x1),x14 x1人22令 h(x) - ln x ln(4 x),则x 4 xh(x)22-2-2x (4 x)_2_ 2222(4 x) 2x x(4 x) x (4 x)22x (4 x)_ 28(x 2) x2(4 x)2所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x) h(2)0,所以 f(xi) f(4 xi)。即 f(xi) f (4 xi),所以 f(x2

9、) f(4 x2),所以x1 x24.x2已知函数f x x 2 e a x 1有两个零点.设x1，x2是f x的两个零点，证明：x1 x22.r解析】不妨谩当由题意知/(可小一要证不等式成立，只需证当为向时j js不等式成立即可.令*00=/。幻 1+工则尸(勾=工(户当“a。时，尸()式&尸(习 ( /(0)= ob/(l-x)/(l+x).令一当,则，(%)=/个)=，(1一(1一百)/(1+。一当)=/(2-巧).即动-瓦)一而毛,2旦，(x)在(l依)上递胤古攵为v2一当/艮口巧+勺之2一四、招式演练已知函数 g x ex jx2,其中a r,e 2.71828l为自然对数的底数，f

10、 x是g x的导函数.(i)求f x的极值；(n)若 a 1,证明：当 x1用，且 f xf x2 时，x x2 0.【答案】(1)当a 0时， f x无极值；当a 0时，f x有极小值f ln a a aln a ；(2)详见解析.【解析】试题分析：(i)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(n)求出函数f (x)的导数，设函数f (x) =f (x) - f ( - x),求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.试题解析：(i) f xxg x e ax的定乂域为当a 0时，f x 0在x时成立f x 在 ， 上单调递增， f x无极值.当

11、a0时，f xexa 0解得 xln a由 fx 0 得xln a；由 fx 0 得xln a所以f x在 ，lna上单调递减，在ln a , 上单调递增,故f x有极小值f ln a a aln a .(n)当a 1时，f x ex x的定义域为由f x ex 1 0,解得x 0.当x变化时,f x , f x变化情况如下表:x,000,f x0+f x单调递减极小值单调递增xix2 ,且 fxif & ,则 xi0x2(不妨设xix2 )谩函数 f （力=/ （/）7（一） = 戈（， + #）=储i 2x（jt 0）.x（力一 1-2.e1.当工。时,/.k+420,当丈 。时f（x）d

12、 ，函数尸（编在（y0,。）上单调递增af（x）f（g） = j 第当xv。时,fx/（-x）.雨 1。1，/（）/（一得）.又/（f）=/（ki）j/（无）亡/再）二（力在（q也）上单调递增，（r当,且04一均j，巧 x.*.+ xj 0已知函数f x lnx ax2，其中a r（1）若函数f x有两个零点，求a的取值范围；（2）若函数f x有极大值为 -,且方程f x m的两根为x1,x2,且x1 x2,证明：2x1 x2 4a.1【答案】（1） 0 a；（2）见解析.2e【解析】试题分析：（i先求/十#3利用导数研究的数的单调性，只需令的极大值为 /（）=如（旧卜; 。即可得结果 m结合3由的极大值求得“ = 研究函教 玳,）=句2-%）的单调性，可得w2-小，从而可得结论.试题解析；i /（工）=已一加=三竺二（宣o） xx（1）当a 0时，f x 0函数f x在0,上单调递增，不可能有两个零点(2)当 a 0时，f x0,x因为 f e a ln e a ae 2a a ae 2a 0,所以f x在e a / 必存在一个零点;二 2a显然当x 时，f x 0,所以f x在工上必存在一个零点; 2a,x