高中数学必修一函数教案

1、函数教案教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想.教学目的：(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)了解构成函数的要素；(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学难点：符号 y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；一、与函数相关的概念(一)函数的有关概念1 .函数的概念：设a、b是非空的数集，如果

2、按照某个确定的对应关系f,使对于集合 a中的任意一个数 x,在集合b中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f: a-b为从集合a到集合b的一个函数.记作：y=f(x) , x a .其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合f(x)| x a 叫做函数的值域.注息：“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x)” ；函数符号y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是 f乘x.2 .构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(

3、2)无穷区间；(3)区间的数轴表示.4 . 一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论判断下列函数f (x)与g (x)是否表示同一个函数，说明理由？(1) f ( x ) = (x 1) 0; g ( x ) = 1(2) f ( x ) = x ; g ( x ) = vx2(3) f ( x ) = x2; f ( x ) = (x + 1) 2(4) f ( x ) = | x | ; g ( x ) = xx2(二)课堂练习求下列函数的定义域11一2一 (1) f (x) (2) f (x) (3) f (x) % x 4x 5x ixl1 1x, 4 x2)(4) f(x)

4、(5) f (x) vx2 6x 10 (6) f (x) *1 x vx 3 1x 1(三)函数的复合型设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设m表示u=g(x)的值域，n是函数y=f(u)的定义域,当m? n,则y成为x的函数，记为y=fg(x).这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的 复合函数,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数 二、函数的表达方式函数的表达方式：解析法、图像法、列表法(一)解决函数问题【例1】某种笔记本的单价是 5元，买x(x c 1,2,3,4,5) 个笔记本需要y元.试用函数的三种表 示法表示函数 y=f(x).【例2】将

5、长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域， 作出函数的图象.【例3】向高为h的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v与水深h的函数关系的图象如图所示 ， 那么水瓶的形状是()kwbsha bc d【例4】求下列函数的值域：(1)y=x 2-2x(-1 wxw2);(2)y=x 4+1.注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 三、函数的映射1 .对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 p和它对应；2 .对于坐标平面内任何一个点 a,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对

6、应；3 .对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4 .函数的概念. 新课教学1、函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射.2、什么叫做映射？一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 a中的任意 一个元素x,在集合b中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f: a b为从集合a到集 合b的一个映射、记作“ f: a b”一、/注息：(1)这两个集合有先后顺序， a到b的射与b到a的映射是截然不同的.其中 f表示具体的对 应

7、法则，可以用汉字叙述.(2) “都有唯一”什么意思？包含两层意思： 一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有 一个的意思。例题分析：下列哪些对应是从集合 a到集合b的映射？(1) a=p | p是数轴上的点, b=r ,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应；(2) a= p|p是平面直角体系中的点 , b= (x, y) | xcr, y c r,对应关系f ：平面直角体 系中的点与它的坐标对应；(3) a=三角形, b=x | x是圆,对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆；四、函数的单调性教学目的：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象理

8、解和研究函数的性质；能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.一、引入课题1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？二、新课教学(一)函数单调性定义1 .增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为i,如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量 x1 ,x2,当x1x2时，都有f(xi)f(x 2), 那么就说f(x)在区间d上是增函数.思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义.注息：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

9、必须是对于区间 d内的任意两个自变量 x1 , x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2).2 .函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间 d叫做y=f(x)的单调区间：3 .判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定白区间d上的单调性的一般步骤： 任取 x1, x2c d,且 x11的解集.五、函数的奇偶性教学目的：(1)理解函数的奇偶性及其几何意义；(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；(3)学会判断函数的奇偶性.教学重点：函数的奇偶性及其几何意义.一、新课教学(一)函数的奇偶性定

10、义图象关于y轴对称的函数即是偶函数，图象关于原点对称的函数即是奇函数.1 .偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有f( x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.2 .奇函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有f( x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注息： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内白任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).(二)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.(三)

11、典型例题1.判断函数的奇偶性：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ,则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x)或 f( x) + f(x) = 0 ,则 f(x)是奇函数.3.函数的奇偶性与单调性的关系例1.已知f(x)是奇函数，在(0, +8 )上是增函数，证明：f(x)在(一8, 0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.作业：判断下列函数的奇偶性：2x 2x f(x) 2x2x；q f(x) x3 2x ； d) f(x) a (x r) x 14 f (x)x(1 x) x 0,x(1 x)

12、x 0.思考：已知f(x)是定义在r上的函数,设 g(x) f(x) f( x), h(x) f(x) f(x) 22 试判断g(x)与h(x)的奇偶性; 试判断g(x),h(x)与f(x)的关系；由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由.六、函数的最值问题教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义.教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值.利用函数的单调性判断函数的最值问题一、新课教学(一)函数最大(小)值定义1 .最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为i,如果存在实数 m满足：(1)对于任意的xc,都有f(x)wm；(2)存在 xoc i ,使得 f(x0) = m那么，称m是函数

13、y=f(x)的最大值.注息： 函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0 i ,使得f(x0) = m ; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xc i,都有f(x)wm (f(x)m).2 .利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值利用图象求函数的最大(小)值(3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间a, b上单调递增，在区间b, c上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最大 值 f(b);如果函数y=f(x)在区间a, b上单调递减，在区间b, c上单调递增则函数 y=f(x)在

14、x=b处有最小 值 f(b);(二)典型例题2求函数y 在区间2 , 6上的最大值和最小值.x 1七、方程的根和函数的零点一元二次方程及其相应的二次函数方程x2-2x-3=0的解为 ，函数y=x2-2x-3的图象与 x轴有 个交点，坐标为.方程x2-2x+1 =0的解为 ，函数y=x2-2x+1的图象与 x轴有 个交点，坐标为.根据以上观察结果，可以得到：结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的 .若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图象与x轴无交点.函数零点的概念：对于函数y f (x)(x d),把使f(x) 0成立的实数x叫做函数y f (x)(x d)的零点.函数零

15、点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即：方程f (x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f (x)有零点.函数零点的求法：求函数y f(x)的零点：y f(x)的图象联系起来，并利用d (代数法)求方程 f (x) 0的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数函数的性质找出零点二次函数的零点：二次函数：y ax2 bx c(a 0).2(1) o ,万程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2) = 0 ,方程 ax2 bx c 0有两相等

16、实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)40,方程ax2 bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.1 .利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： 2222(1) x 3x 5 0; (2) 2x(x 2)3； (3) x 4x 4 ； (4) 5x 2x 3x 5.2 .利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：(1) f(x) x3 3x 5； (2) f (x) 2xln(x 2) 3; (3) f (x) ex 1 4x 4; f(x) 3(x 2)(x 3)(x 4) x3 .当a r时，函数f(x)的零

17、点是怎样分布的？(1)研究yax2bx c,ax2 bx c 0 ,(2) ax2bx c0, ax2bx c 0的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达.函数二分法及步骤：对于在区间a, b上连续不断，且满足 f(a) f(b) 0的函数y f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精度，用二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤如下：1 .确定区间a, b,验证f(a) f(b) 0,给定精度；2 .求区间(a, b)的中点x1；3 .计算 f (x1):二分法

18、的一般步骤：若f(x1)= 0,则x1就是函数的零点;0 若 f(a) f(x)0,则令 b=x1(此时零点 x0 (a,x1)； 若 f(x1) f (b) l,且n e n * .当n是奇数时，正数 的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 此时，a的n次方根用符号n/a表示.式子nw 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数 a的正的n次方根用 符号 族 表示，负的n次方根用符号一 n表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成土 nla (a0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0,记作n/0

19、0.结论：当n是奇数时，疗 a当n是偶数时，van |a|a (a0)a (a0)2 .分数指数哥正数的分数指数哥的意义规定：man中am (a 0,m, n n*,n 1)*(a qm,n n , n 1)n m. a0的正分数指数哥等于 03.有理指数哥的运算性质(1) ar - ar ar s(ar)s ars(3) (ab)raras0的负分数指数哥没有意义(a 0,r,s q);(a 0,r,s q);(a 0,b 0,r q).指数函数的一般形式(一)指数函数的概念般地，函数y ax （a 0,且a 1）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 r.函数一般性质图象特征函数性

20、质a 10 a 1a 10 a 1向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为r图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为r+函数图象都过定点（0, 1）a0 1自左1可右看， 图象逐渐上升自左1可右看， 图象逐渐下降增函数减函数在第l象限内的图象纵坐标都大于 1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x 0,ax 1x 0,ax 1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1_ xx 0, a 1_ xx 0,a1图象上升趋势是越 来越陡图象上升趋势是越 来越缓函数值开始增长较 慢，到了杲一值后 增长速度极快；函数值开始减小极 快，到了杲一值后 减小速度较慢

21、；九、对数函数(一)对数函数性质和运算(1)对数的定义：ab n log a n b；(2)对数恒等式：a10gann,logaab b;1 .对数的运算性质运算性质：如果a 0,且a 1 , m0, n 0,那么： l0ga(m - n) log a m + log a n ； l0gam loga m - 10g a n ； n loga m n n log a m (n r).2 .换底公式log c blog a b(a 0,且 a 1；c 0,且 c 1；b 0)logc a3 .对数函数一般变形.n n 1(1) log am blog a b ； (2) loga b .mlogb a思考题：设正整数a、b、c (awbwc)和实数x、y、z、 满足：cz30求a、b、c的值.(二)对数函数的图象和性质内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶