子空间与子空间的分解

1、线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难 看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维 的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分， 同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅 要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方 面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可 以更深刻地揭示整个线性空间的结构。一、线性子空间的定义定义7设V是数域F上的一个线性空间，W是V的一非空子 集。如果W对于V中所定义的加法和数乘运算也构成数域 F上的 一个线性空间，则称 W为V的一个线性子空间，简称子空间。验证W是

2、否为V的子空间，实际上只需考察W对于V中加法 和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则 (1) (8)在W对线性运算是封闭的情况下必是满足的。例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自身VV，另一个是称为零元素空间(零子空间)。 除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常 见的例子。例 2 给定 A=(ai,a2,IH,an) Rm n，集合N(A).x| Ax =0, x Rn /R(A)二(A) =L(ai,a2,|,an)二 spanai,a2川)4y|y 二 Ax, x Rn?分别是Rn和Rm上的子空间，依次称为 A的零空间(核)和列空间(值域)，零

3、空间的维数称为零度A的零空间是齐次线性方程组 Ax二0的全部解向量构成的n维线性空间Rn的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以，dim(N(A)二n - ran k (A)。A的左零空间和行空间N(AT)二(x| ATx =0, x Rm?R(At)=(At).y|y 二Atx, x Rm ?，dim(N(AT) = m -rank(AT)。A一表示Amn的广义逆，满足AXA二A，则有N(A)7ln -A)且In -A_A，A_A幕等。所以rank (In A A)二 tr (I n - A 入)二 n - tr( AA)二 n - rank (A A)二 n - ra

4、n k(A)例3设12,，m(m 1)是v的m个向量，它们所有可能的线性组合所成的集合Spa!2amam卜= K ii =1是V的一个子空间，称为由r2,i,m生成的子空间 若记 A=(n,，5)，Rn m，则丄(A) = Span： 2,： m由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量 1，2m，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说 Span；_可，：2，： m 是V的一个子空间。注：容易证明 dim(A)二 rank(A)。(2)和 A)(AR ,B 二 bbi，特别若 bj, j =1,2, ,l 可表示为r,2，m的线性组合，则(A) 7 AB )。定理2设W是Vn的一个m维

5、子空间，r2,/ m是W的一 个基，则这m个向量必定可扩充为Vn的基。证明若m二n，则定理已成立。若 m ： n，则Vn中必存在一个向量 ：m 1不能由 mm线性表出，从而:i/2/ / m/ m-1线性 无关。如果m T二n，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过 n-m次，则可得到Vn内n-m个线性无关的向量，使 12,，mm1,n 为 V 的基。二、子空间的分解子空间作为子集，有子集的交( W1 W2 )，和(W| W2) 等运算，对它们有如下定理。定理3设W| ,W2是线性空间V的子空间，则有 W1与W2的交集 W1 W2I： W1且: W2：是V的子空间，称为W与W2的交空间。(2)W

6、 与W2 的和 W1 W2 =-2- WV 2 W21 是V的子空间，称为 W与W2的和空间。证明 由0, W1,0 W2,可知0, W1 %,因而W1 W2是非空的.其次， 如果 Wi W2 ,即:/ W|而且:/ W2 ,因此 ：.；亠1：, - W| ，雹亠三W2 ,因此：工亠 - Wi W2 .同样,由 k w ,k：；三,知恣訓 %.因此 W W2是V的子空间.(2) 由定义 Wi W2V ,而且非空. Wi W2 ,则有 :i,1 W,i J 2.由a = % +o(2,0 =亠 + P2,a + P =旳 +a2 + h + P2 =(5 + 帖)+&2 + P2),k： =k-

7、k： 2，因 W 是子空间,则：1 i Wi,： 2 ：2 W2,k： 1 Wi,k： 2 W2, 所以用 eWi W2, k Wi W2,即Wi W2是V的子空间.子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理4(维数定理)设Wi和W2是线性空间V的两个子空间，则dimW1+ dimW2= dim(W1 W2) + dim(W1 W2) (1)证明设 dim (W1 W2) =r , dim =引,dimW2 =s2 , W| W2 基为1,2厂，九，由定理2知，它们可分别扩充为：W的基：j,2,1,，飞，W2 的基1，2厂，:” r 1厂，s2，则W= Spa*1，： 2，： r，r

8、 1，W2= Spanj,： 2，： r，r 1，s2 W1 W2 =Spa n： 1，： 2， / r， r 1，飞，r 1，s2 ：?.下面证明1，2，：d1,，飞，r 1，S2为线性无关组。任取数ki，Pi，q，使r、krii=1si Pi =r 1s2Jqii”i -0.(2)因为s1rq一 PiikQj qiY.i i =f 1i di =r 1所以-、Pi w W i斗1从而有色-r为 Pi R =送 ni，i =f 1i =1即rSi m 亠-Pi=o.i Ai=r 1由是W的基,线性无关,故p =0,i =r代入式，得rS2、ki 亠二 qi i 7i =1i =r 1而12,

9、r，r 1，s2是W2的基，于是ki =0(i =1, 2/ ,r), qj =0(i = r 1,),故1，2，_八，1厂，、，r 1，S2线性无关，dim (W| %) =r (q -r) (S2 -r) =3 s2 -r,定理得证.从 (1) 式知， 若 W10 ，贝U 有dim( W, + W2 )1 = = 0 ； Wi W2= ；0 / ；(4)dim(W) dim(W4)=dim(W W2) 证明采用轮转方式证明这些命题。(1) = (2)按定义，W W2内任一向量表示法唯一，因而 0的表示法 当然唯一。(2) 二(3)用反证法。若W| W2 0,则有Wi W2 - 0，于是 -

10、W|, - 一： W2。而0- J，这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。(3) 二(4)利用维数定理即得。(4) 二(1)由维数疋理知dim( W W2 )=0,即W W2 = 0 .对任一=W W2，如果a+o(2 =af+c(2 (ai,afwW； a, aW2)则有：-打=:-2 -】2于是- -1 - - 1 = 2 - - 2 WZ| I *0 !即J-1 -1 = 0, -2 - ； 2 = 0。这说明% =otf, 0(2 =2因而表示法唯一。定理证毕。定理6设W|是V的一个子空间，则必存在 V的子空间W2， 使W.W2 =Vn。证明：设dim(W)=m，且-1 2 / m是W的一

11、个基，根据 定理2它可扩充为V的基:r2,Fm,：miUn，令 W2二Span；：卄,*，显然W2就满足要求。子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情 形。四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。与几何空间相比，向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义 内积，导出内积空间的概念。定义9设V是实数域R上的实线性空间。如果对于任意的:J V，都有一个实数（：）与之对应，且满足（1）G , ）=（ ）=0.则称 C）为与-的内积。定义了内积的实线性空间 V称为内积空间，又称欧几里得空间或 Euclid空间（简

12、称为欧氏空间）。n例如，在Rn中，定义内积（x, y） =xTy =為xi yi。这时Rn成iT为内积空间。在内积空间Rn中，如果（x,y） = 0,则称x与y正交，记为x y。1 2,- n设欧氏空间Rn中的基为12,，欧氏空间中有两个向nn量十二: xj, 7 =為yr- j，下面我们来计算-J的内积。i Tjn1nn nG(： 1则有5n丿-%y1X?y =y2x =H疋y严j）=送送Xiij)yjj#i占jm彷1严1）(% ,O 2 )& 1，“n)W 2，口1)(a2 ,a2)(a 2 严 n )2 n N 1 )(a n ,G 2 )0 n N n )C , ） =C x iTc

13、, J =XTG（： 1, ： 2,，: n）y注：（1）方阵GC ： ?，： n）称为向量组r，2，in的Gram 矩 阵，或度量矩阵。（2）。1,0（2，5线性无关的充要条件是 G （% 02，5）式0。（3）G（r，2,/ n）对称正定。因为方阵-X = 0, ： = （：r , ： 2，: n）x = 0,XTG（： 2，： n）x = （： , ： ） 02若n =1 ,则G（ J -表示长度的平方；n = 2时，则2GQs）=冋汇对，表示面积的平方；n=3,呢？若1,2n是规范正交基，则G（： 1,： 2,，: n） =ln，内积（，：）=xTy。即向量内积等于坐标的内积，计算简单

14、，所以内 积空间的基常采用规范正交基。另外，在规范正交基r2,n下向量n二=為 Xii =C1,Ini WX1X1）-的坐标X =:的计算简单不Un需要解线性方程组就能得到Xi二lXn丿,：i）,i 7,n,即设w是内积空间v的一个子空间。显然 w也是一个内积空间。如果V的一个向量与w的每一个向量正交，则称与w正 交，记为:-W。对于V中的两个子空间 W1,W2，如果任取: Wi, - W2，都有 c)=o，即-.1，则称Wi与W2是互相正交的。记为Wi _W2。定义10设S为V中的子空间，记S - = ：x | x _ S, x V ?容易证明s-也是线性空间，称为S的正交补空间。定理7设A

15、为n k矩阵。记A-为满足条件AA- = 0且具有 最大秩的矩阵，则R(A-) =R-(A)证明设 x R(A-) ：x=AV,t= Ax 二 AAV=0=zAx = 0,-z = (Az) x = 0= x _ Az二 x R-(A)；反之，x R-(A)= x_Az, z= (Az) x = 0二 zAx=0,-z = Ax=0二 x 二 AV, t二 x R(A-). 推论：R(A) =R(A)二 N(At) ； R(AT)二 N(A).证明：只证第一式，因为把第一式中的A看成A即得第二式 由 x R(A) = x_R(A)= x_At,t任意二(At)x=0,t任意=tAx=0,t 任

16、意= Ax=0= x N(A).和x R(A-)= x=A 龙 t= Ax = AAr=0= x N(A),证毕.对于一个线性空间S，如果存在k个子空间0,，Sk，使得对 任意:S，可唯一地分解为亠亠：k，二 i ：= Sj ,i = 1,2，,k , 则称S为$，,Sk的直和，记为S = 3二S2二二Sk，若进一步 假设，对任意的-： &,-：打Sj,i = j，有一：打_j，则称S为 0,，Sk的正交直和，记为Si SSk，特别，R“二S S-，对于Rn中子空间S都成立。设 A=(A A),叫 Ai) 叫 Aj)oi = j,则叫A) =d(Ai)二二叫AQ ;若进一步假设 AjAj -0

17、, j,则容易 证明 a)= %A)+%Ak)。容易证明对于内积空间Rn的子空间S有下面的性质S卡-)-； S1s2 = s厂St；(Si S2)- = St s厂(Si S2)- = Sr s厂定理8对任意矩阵A，恒有R(A)二R(AA)。证明显然R(AA ) R(A),故只需证 R(A) R(AA),事实上，对任给x 一 R(AA)，有 xAA = 0。右乘 x，得2x AAx =(Ax) (AX) =|aX =0,故 Ax =0,g 卩 x 丄 R(A).证毕.定理 9 设 An m, H k m，则SAx: Hx =0?是R(A)的子空间;(2) dim( S)二 rank A -ran k(H). lH丿证明第一结论的证明是简单的，现证(2)。不妨设R(H)二k,则存在k阶可逆矩阵Q，使得HQ = (I k 0),于是=dim 丿dim( S) = dim (A x : Hx = 0( = dim Q U2 x :(l0)X = 0，其中 U1 U2 二 AQ,x(i)1-ran k(IJ=dim U2x(2) : x(2)任意*，其中 x =ran k (U 2) = ra nk；1 打2=rank A -rank(H ).证毕.kH丿推论