2020年人教版八年级下册菱形的性质和判定拔高分类训练教师版

1、 菱形的性质 及判定 中考要求 要求A 要求知识点B要求会用菱形的知识解决有关会识别菱形菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质及判定解决简单问题 问题 知识点睛 1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半 3菱形的判定

2、 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定：四边相等的四边形是菱形 4三角形的中位线 中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质 中点中点中点平行 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半 重、难点 重点是菱形的性质及判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边是特殊的平行四边

3、形，特殊之处就是“有一组邻边相等”形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条中怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 件，在实际解题中，应该应用哪些条件， 应给予足够重视。 例题精讲 板块一、菱形的性质 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为】【例1 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】根据菱形的

4、性质可知：共有对8 【答案】8 【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 2星【难度】 【关键词】 【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少?180 【答案】?180 ，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为2若墙上钉子间的距离，则【例3】 如图16cm16cm?AB?BC 度 ?1?ABC1图2 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 星2【难度】 【关键词】江西中考 【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形 【答案】?120 ，则菱形分别是、的中点，若】【例4 如图，在菱形中，、ABCDA?60ABCD?AD

5、EABF2?EF 的边长是_ A E F B D C 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 星【难度】2 【关键词】漳州中考 【解析】省略 【答案】4 ，于的中点，交的延长线于，交于【例5】 如图，是菱形的边CBACEF?ABCDPADFEABH 互相平分证明：与EFABDEHCAPBF 【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略 【答案】连接、AFBDEB ，菱形中，ACEFBD?ACABCD?EFBD 是平行四边形，四边形FCBDEFADFB?ED ，FBEDAE?AE? ，四边形是平行四边形又AFBEFBAE 与互相平分EFA

6、B 的周边中点，菱形相交于点1所示，菱形中，对角线、，为 【例6】如图ABCDABCDOACADBDH 的长等于，则长为 OH24 AHBDOC1图 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 2星【难度】 【关键词】本溪中考 【解析】省略 【答案】3 】7 如图，已知菱形的对角线于点，则的长为【例ABCDDEEBC?AC?8cm，BD?4cm，DE 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 星【难度】2 【关键词】 【解析】省略 58 【答案】cm5 【例8】 菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为10cm52cm 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 星【难度】2 【关键词】?，故，由勾股数和

7、菱形对角线的性质得另一对角线长为【解析】菱形的边长为cmcm52?4?1324?2 面积为cm120 【答案】120 ，则菱形较短的对角线的长度为，两邻角度数之比为 【例9】 菱形的周长为2:120cm 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 2星【难度】 【关键词】 【解析】省略 【答案】5 中，则菱形的边长为（ ） 【例10】如图2，在菱形8ACBD6ABCD? D C B A 81056ADBC2图 【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 星【难度】2 【关键词】重庆江津中考A 【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A 【答案】 ，则的中点，于点分别是边中，、和【例11】 如图

8、3，在菱形CD?A?110?EPBCABCD?PABEF ）（ ?FPC? D B C A ?35?555045?DAEPCFB3图 【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 星【难度】2 【关键词】杭州市中考 【解析】省略D 【答案】 的菱形，剪口图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为】 如【例12?60? ）的度数应为（与折痕所成的角 D或或 C或 BA或?45?30?45?15?30606030? 【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 【难度】2星 【关键词】绵阳市中考 【解析】省略 【答案】D 【例13】 菱形中，、分别是、且，那么等于 的中点，CD?AE?

9、BCABCDCDAFBCEAFF?E 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略 【答案】 ?60 ，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_知菱形的一个内角为【例14】 已 32?60 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】辽宁朝阳中考 【解析】省略 【答案】或 62 【例15】 如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚8cm10cm ）线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ 2222 DC A B 40cm20cm80cm10cmD ACB1图 【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 3星【难度

10、】 【关键词】南宁市中考 【解析】省略A 【答案】 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的知菱形的两条对角线16】 已【例BD，ACABCD 大小是 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 星【难度】4 【关键词】希望杯邀请赛12 ，又，得于【解析】如图，过点作，则ABAC?BD?BCAE?EAAEAC?BD?BC 21 ，?BAD?150?30ABC?AE?AB，? 2ADBEC 【答案】?150 和?沿着菱形的对角线修建了两条小路， 如图，菱形花坛的周长为，】【例17AC60ABCD?20m?ABC? ，求两条小路的长和花坛的面积BDA ODBC图2 【考点】菱形的性质及判定

11、【题型】解答 星【难度】3 【关键词】 是菱形 四边形【解析】ABCD 5?DA?AB?BC?CD ?ABC?60? 都是等边三角形和ADC?ABC? 5AC? 又BDAC? 中可得在和ADORt?ABO?Rt 35 ?DOBO?2 3?5BD 3251 ?BDS?AC ABCD22 和的菱形学生必须掌握，这是考试的热点模型点评：内角为?12060? 【答案】见解析 上，上，在在菱形中，则点在【例18】 如图，2120?，PaBE?BADBCPE?ABCDPCBDE，aAB?4 的最小值为 DA PBCE 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 3【难度】星 【关键词】 交于，且【解析】关于对

12、称，连PAEBDBDCA， 22? aAE?224aa3?AE?BC，BAE?30?，PEPC? 为最小值 【答案】a23 的度数，求 、分别是、上的点，若19【例】 已知，菱形中，CCDBCABCD?AB?AEAFEF?EF?ABDFEC 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 星【难度】4 【关键词】 【解析】AEB?BABAE? 同理AFD?D 四边形是菱形ABCD ，C?，?D?BAD?BADBC，?AFD?AEB DAFBAE?DB? 是等边三角形，?60?EAF?AEFAF?EF?DE 则设x?60?2?BAD，x?BAE?x ，?180?ABE?ABE?BAE?90?ABE 2x

13、 ，?180?B?ADBC?BAD?180x?60?290? 2 ?100x?BAD?60?x?20?2?C? 【答案】?100 求：、上的点，且，】 已知，菱形中，、分别是【例20?18?60ABCD?BAEBC?CD?B?EAFFE 的度数CEF?AADDFFBBCECE 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 四边形为菱形【解析】连接，ABCDAC AD?AB?BC?CD 和为等边三角形ACDABC ?BAC?60B?AC，?ACD?AB ?60?EAF CAFBAE? ACFABE AFAE? ?60?EAF? 为等边三角形AEF ?60?AEF? CEF?A

14、EF?AEC?B?BAE? ?CEF?18? 分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题 【答案】?18 板块二、菱形的判定 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件如图，如果要使平行四边形【例21】 ABCD 是 ADBC 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 星【难度】2 【关键词】四川成都 等；【解析】BD?AD，ACAB 【答案】BDAC?AB?AD， ，求证：四边形于点，平分的中垂线交于点，交【例22】 如图，在中，BC?ABCABCFABEBDBD 是菱形BEDFADECBF 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 3星【难度】 【关键词

15、】 【解析】省略 是的中垂线【答案】BDEF BDEDBE?，BF?DFBE?DE， DBFEBD? ，所以 DEBCEDB?DBF? 同理 DFAB 是菱形 所以四边形BEDF ，连结连结，在的延长线上取一点是23】 如图，在中，的中点，【例BCABCACAB?BEDADADE 满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由当与ABECCEADAEBDAEC 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 星【难度】3 【关键词】娄底中考1）时，四边形是菱形 或【解析】当（或ABECDEAD?AE?2ADAEDE?2理由如下： ， DE?ADADAE?2又点为中点， CDBD?BCD四边形为平行四形边

16、 ABEC ACAB?四边形为菱形 ABEC【答案】见解析 【例24】 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.BCABCDACFADE求证：四边形. 是菱形AFCEEADOBCF 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 星【难度】3 【关键词】盐城中考 【解析】省略 ，【答案】垂直平分ACEF. COEF?AC,AO?o. 90COF?AOE? 又平行四边形，ABCD. FCO?EAO. COF?AOE. OFOE?. 四边形是平行四边形AECF 是菱形.又由可知，四边形AECFEFAC? 落在的直线折叠，使点，将纸片沿过点 】 如图，在梯形纸片中，【例25CADBC

17、?ABCDCDAD/D? 求证：四边形交于点，连结是菱形.上的点处，折痕EBCECCCDCEDEADCDACBE 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】云南双柏 【解析】省略DE?C?CDE 【答案】根据题意可知 EC?DE?CDE，CE?CCD?D，?C. 则BC/AD ，?CDE?C?DE?. CED?CDE? ，CECD?. ?CEECD?C?D?C ， ?ECDC. 为菱形四边形 【例26】 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证CBEF?ACABCDPFEADABH明：与 互相平分EFABEEAADDPPCBBCFF 【考点】菱形的性质及判定，平

18、行四边形的性质和判定 【题型】解答 星【难度】3 【关键词】 【解析】省略因为，又因为，所以【答案】连结，因为菱形中，EFBDACEFACABCD?BD?EBAF，BD，因为，所以，所以四边形是平行四边形，可得FCADBDEFFBED?EDFBAEAE? 与互相平分，因此四边形是平行四边形，所以从而EFABAFBEFBAEFB?AE 与方向平移，使点是边上的高，将沿 【例27】已知：如图，在平行四边形中，BCBCABCDEAE?ABE是菱形？满足什么数量关系时，四边形若，当与点重合，得ABFGB?60C?GFCBC?AB 证明你的结论AGDBEFC 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 星【

19、难度】3 【关键词】山东青岛市 【解析】省略3 是菱形【答案】当时，四边形ABFCAB?BC 2 ，BFGFAGAB 四边形是平行四边形ABFG 中，?60?BRt?ABE? ?30?BAE?1 ABBE? 23 ，CFBE?ABBC? 21 ABEF? 2 BF?AB 是菱形 四边形ABFG 的中点，是，图，在中，分别作于于如【例28】 BCABC?ACAB?DF?ME?ACACEDMAB?MD 求证：四边形相交于点，于是菱形于EGEG、G?ABDFDMEPPFAGFPDECMB 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略 ，【答案】ABEG?AB?MD

20、四边形是平行四边形，同理，EGMFPDDFMEMD ，C?BAB?AC?o ，90?CEMCEMBM?MC?BDM?BDM? 是菱形，四边形DMEPEM?DM 交边上的高，于，是交】 如图，中，是的平分线，【例29CHBC?ABCBAC?ACB?90?ADADDAB 是菱形，于，求证：四边形于CDEFEFAB?DECDFABEH 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 星【难度】3 【关键词】 【解析】省略 【答案】，?AFH?90?HAF?ABCH? ，?90?CAD?90?ACB?ADC ，平分，CDF?CAB?AFH?CAD?HAFAD ，CD?CFDCFDCF?CDF?AFH? ，平分

21、ACDC?CABADAB?DE ，DECFCD?DE? ，又ABCH?ABDE? 是平行四边形，故四边形ABCDCFDE 四边形是菱形，ABCDDE?CD 移动重合，点沿方向平移，使与是矩形【例30】 如图，内的任意一点，将DCABCDAB?MABADMM 的位置到点M 画出平移后的三角形；的的对角线互相垂直，且长度分别等于，试说明四边形连结AD，MDMC，MM，ABCMDM 长； 是菱形？为什么？在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形当CMDMMDAMMBC 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略 【答案】如图，就是所要作的三角形?DCM ，四边形

22、是平行四边形，所以 因为平移到，所以且 DMAMDAMMDMAMDM?AM，所，又因为， ，矩形中，所以AB?ABCDCDAD?CDCDMM?MMADMM?AD 的长以四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于AD，ABCMDM 中，当点是的交点时，四边形是菱形，理由：如图，矩形 BD，ACABCDCMDMM ，所以 ，又因为，可得CM?DM，BM?AM?DMMD?MC?MDMC?CMAM?BM 是菱形四边形CMDM 均为直线同侧的等边三角形已知】 如图，、【例31ACBC?ACDBCFABABE? 、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 顺次连结、EAFD 的条件 度时，四边形

23、为正方形 当为 BAC?ADFE FEDABC 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 3星【难度】 【关键词】佛山市中考改编 【解析】省略 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段【答案】 （若写出图形为平ABC不为正三角形）F不重合、BAC60（或A与当图形为菱形时， 行四边形时，不给分） ABC为正三角形）A与F重合、（或当图形为线段时，BAC = 60 ?150 三、与菱形相关的几何综合题 【例32】 已知等腰中，平分交于点，在线段上任取一点（点BC?AB?ACBACABCAADDADP除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连ACACBCPMABPFEMEFAB结. ME求证四边

24、形为菱形 AEPM当点在何处时，菱形的面积为四边形 面积的一半？PEFBMAEPMCDPFEBAM 【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 3星【难度】 【关键词】 【解析】省略 【答案】ABAC，EFPM 四边形为平行四边形AEPM ，平分CABAC?AB?AD BAD?CAD? EPABAD?AD?BC， EPACAD? EPEA? 为菱形四边形AEPM1 中点时，当为EFPSS? EFBM四边形AEPM菱形2 四边形为菱形，EMAEPMAD? 又 BCAD?BCEMABEF 四边形为平行四边形EFBM 四、中位线与平行四边形 【例33】 顺次连结面积为的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次

25、连结新四边形四边中点得到一20个 ，其面积为 【考点】三角形的中位线 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】 1【解析】理由：由中位线得即可 AD?FGGH?HEEF? 2【答案】 BC?AD 【例34】 如图，在四边形中，、分别是、的中点，ACABCDAB?CDCDGBDFEABH要使四边形是菱形，四边形还满足的一个条件是 ，并说明理由 ABCDEFGH CGDHFABE 【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】上海模拟1 即可【解析】理由：由中位线得ADHE?GH?EF?FG 2 【答案】BC?AD ，分别是对角线，分别是、的中点， 【例35】在四边

26、形中，ACBC?CDABCDNABBDADPQM 与互相垂直中点，证明：PQMNAPDMNCQB 【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】解答 星【难度】4 【关键词】 为菱形,证明【解析】连接,PNQMPNMQNQPM 【答案】见解析 在的中点，当点上的点，分别是、分别是、中，【例36】 四边形、CDABCDBCCDPREPAPFRP ）不动时，那么下列结论成立的是 （ 移动而点上从向CRD 的长逐渐增大A线段EF 的长逐渐减小B线段EF C线段的长不变EF 的长与点的位置有关D线段PEFDAEPFCBR 【考点】三角形的中位线 【题型】选择 星【难度】4 【关键词】1与点无关【解

27、析】连结 ，利用三角形的中位线可得PARAREF? 2C 【答案】 ，于，为的中点，图，【例37】 如中，是的平分线，14cm?ABBACBCCE?ABC?AD?EADM ，则的长为 10cm?ACME AAENECDMBDBMC 【考点】三角形的中位线 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】10?14? 利用中位线的性质和直角三角形斜边中线可得【解析】延长交于点NCEABcm?2 2 【答案】2 的中点，并延长，分别交分别是连结 如图，四边形中，【例38】CD，BA，FE，ADBCCDABCD?ABEF 的延长线于点，求证：H，GCHE?BGEHHGGDDFFAAPCCBBEE 【考点】三角

28、形的中位线 【题型】解答 星【难度】4 【关键词】 【解析】省略分别是的中位线，所，连结，由条件易得【答案】连结，取中点，?DBABDC?PBDBDPFPEPFPE，11以所所以，以，且因为，CD?ABBADC，PFPEPF?PEBA?PFPE?DC， 22以所，同理可得：，由可得，BGE?CHE?PEDCPFE?PEF?PFE?PEF? CHEBGE? ，求，于于的平分线，、分别为图，已知39【例】 如、中N?CFANCABCCF?B?BEMBEAM? 证：BCMNAEFNMCB 【考点】三角形的中位线 【题型】解答 4星【难度】 【关键词】 、【解析】延长、交于点BCANRAMQ 、由等腰

29、三角形三线合一可得QMAM?RNAN? 再由三角形中位线可得BCMN 【答案】见解析 的中点，则和中，分别是边的关系是（ ） 【例40】 如图，四边形，E，FBCADABCDEFCDAB， B AEFADBC2AD?BC?2EF? D C EF2AD?BCBCAD?2EFCFCFDDPBBEEAA 【考点】三角形的中位线 【题型】选择 【难度】3星 【关键词】B 的中点，连结，由三角形的中位线可知选【解析】连结，取EP，FPPBDBDB 【答案】 是平的四边的中点，求证：四边形、知如图所示，、分别是四边形】【例41 已EFGHABCDGFEH 行四边形DDGGCCHHFFEBABAE 【考点】

30、平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】连接 AC、分别为、中点 DCGADH1， ACHGACHG? 2 、又、分别为中点BCABEF1 ，HG?ACEFHGEFEFACEF? 2 四边形为平行四边形EFGH 【答案】见解析 、和都是等边三角形，、【例42】 如图，在四边形中，为上一点，CDABCD?BCEBCABABADEE? ，证明四边形为平行四边形且、的中点分别为、PN?PQNPDAPQMNQMDDMMCCNNQQABEAPBPE 【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】兰州中考 【解析】如图

31、，连结、ACBD 为的中位线PQABC?1 且 ACPQAC?PQ 21 同理且ACMNAC?MN 2 且 PQMNMNPQ? 四边形为平行四边形PQMN 和中在AEC?DEB? ,，CEB?60?EC?EB?AEDDEAE? 即DEB?AEC? DEB?AEC? BD?AC11. PNBD?PQ?AC 22 【答案】见解析 的中点，求证：分别是图，43】 如四边形中，【例ABCDGHBC，BD，EF，E，F，GHACAD，AB?CD， 相互垂直平分EEAADDHHGGCCBBFF 【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】解答 星【难度】3 【关键词】以所，线位中别分是意据，根题，结

32、】解【析连的HEGFFH，EGCAB?，DAB?HF，EG11，因为，同理可证：，所以EH?AB?CDGFEG?HF?HFEG?EH?CDABGF 22 是菱形，所以相互垂直则四边形EGFHGHEF， 【答案】见解析 为平行四边形，求证：边外一点，且、，为【例44】 的三条中线分别为BHCFBC?ABCCFBEADH EHADAAAEFEFEFCCBBCBDDDHH2图1图H 【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】此题解法很多，仅供两种解法参考 方法一：连结、（如图1） DEDH四边形为平行四边形 BHCF且 AFCH?BF?AFCH1由中位线可得 AFAB?DE? 2 DECH?四边形为平行四边形 DECH且 AECE?DH?DHCE四边形为平行四边形 DHEA EHAD方法二：连结（如图2） DE通过中位线和平行四边的性质可得 ， HCDE?HCDEAB ECH?AED?又 ECAE?显然 EHC?ADE