投入产出综合平衡分析1

1、辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期08-09学年1学期姓 名张彦杰专业涉外机械班 级涉外06 1班课程名称数学建模论文题目投入产出综合平衡分析评疋标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语：任课教师李付举时间08年 9月25日备注投入产出综合平衡分析摘 要：本文主要以国民经济各个部门之间的投入产出进行综合分析，它们之间存在相互 依存关系，每个部门在运转时将其它部门的成品或半成品经过加工变为自己的产品。这篇 文章主要是从投入产出资金及投入产出系数这几个方面来研究的。文中结合题中所给的各个部门之间的投

2、入产出关系数值，进行简单的建立模型，用模型将它们之间的关系快捷、直观的表示出来。关键字：分析；模型；直观1问题的背景与重述随着国家的不断发展，人口的不断增加， 相反资源却一点一点的减少，为了权衡各个 部门之间的利弊，减少不必要的浪费以及经济效益最大话原则。所以计划经济已经越来越 受到国家与人民的重视。因此根据已有的数据，运用数学建模的方法以及软件的优秀计算 方法，对这个实际问题进行研究，使国家更强大、人民的生活更富裕。2问题的提出设某地区国民经济系统仅由工业、农业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的 投入产出关系、外部需求、初始投入等如表所示（数字表示产值，单位为亿元） 。表i各个部门间的

3、关系产出 投入,工业农业服务业外部需求总产出工业20202535100农业302045115210服务业1560/70145外部需求3511075总产出100210145（1）建立投入产出系数表。（2）设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的数学模 型。（3） 如果今年对工业、农业和服务业的外部需求分别为150，250, 170亿元，问这三 个部门的总产出分别应为多少？（4）如果三个部门的外部需求分别增加 5个单位，他们的总产出应分别增加多少？（5）如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出，模型就称为可 行的。问为使模型可行，投入系数应满足什么条件？3模

4、型的假设、分析与建立以及模型的求解（1）首先假定每个部门的产出和投入是成正比。根据表1用每一个部门的单项投入产出和所对应的总投入产出做商，便可得出投入产出统计表，如下：表2投入产出表产出投入 -工业农业服务业工业0.2000.0950.172农业0.3000.0950.310服务业0.1500.2860表总第一行、第二列的数字0.2表示生产1个单位产值的农业产品需求投入 0.20个单 位产值的工业产品，而这是由表 1中20亿元工业产品投入农业，可以产出 210亿元农业 总产值而来的（20/210=0.095）,同理得出其它的数值。（2）首先分析，根据问题：设有n个部门，已知投入系数，给定外部需

5、求，建立求解 各部门总产出的数学模型。设有n个部门，设一段时间内第i个部门的总产出为 Xi，而对于第j个部门的投入为Xij，满足的外部需求为di，则nXi =? Xj + di (i=i，2，3,，n)(1)j=1表一的每一行满足式(1)。记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij (在每个 部门的产出与投入成正比的条件下)。=卷 _*丙=x=Xij = aij * Xj(l,j=1,2,3,，n)Xj即aij为投入系数。把(2)式带入1式可得：nX = ? aij *Xj+ di(3)j=1(4)所以投入矩阵A = (aij )n*n，产出向量为X = (X1 , ，Xn )需求向量

6、d = (d“dn)，所以(3)式可以写成(E-A) *X=d(5)当(E-A)可逆时，有-1x= (E - A) * d(6)最后给出投入系数A和外部需求d,就可以算除各部门的总产出X。用MATLAB程序进行编写：首先建立M文件：fun.mFunction f=fun(A， d)b=eye( n,n )-Ac=inv (b)f=d*c计算时，只要键入投入系数矩阵 A与外部需求b,即可算出各部门的总产出。(3) 如果今年对工业、农业和服务业的外部需求分别为150，250, 170亿元，问这三个部门的总产出分别应为多少？根据表2的数据，把各部门对各个部门的投入及产出系数设为矩阵a=0.200 0

7、.0950.172;0.300 0.095 0.310;0.150 0.290 0.000，而将外部需求对于三种部门的资金设为矩阵 b=150 250 170.及d=三阶单位矩阵-矩阵a。则所求的三产业对于外部提供的资金金额分别为x=db。然后用C表示D矩阵的逆矩阵。将表2中的投入系数及对于三个部门的外部需求输入matlab,用以下程序：a=0.200 0.095 0.172;0.300 0.095 0.310;0.150 0.290 0.000;b=150 250 170;d=eye(3,3)-a;x=b/dc=inv (d)经过MATLAB计算后得：D=0.8000-0.0950-0.17

8、20-0.30000.9050-0.3100-0.1500-0.29001.0000X= 424.8217 442.7042 380.3076C =1.40330.24940.31870.59651.33290.51580.38350.42391.1974(4) 如果三个部门的外部需求分别增加5个单位，他们的总产出应分别增加多少？方法1.根据表2的数据，把各部门对各个部门的投入及产出系数设为矩阵f=0.2000.095 0.172 00.300 0.095 0.310 00.150 0.290 0.000 00.350 0.520 0.518 0设 e=eye(4,4)-f则e矩阵的逆矩阵为矩

9、阵g。把数据输入MATLAB，用以下程序：f=0.200 0.095 0.172 00.300 0.095 0.310 00.150 0.290 0.000 00.350 0.520 0.518 0； e=eye(4,4)-f； g=i nv (e)得出结果为：g = 1.40330.24940.318700.59651.33290.515800.38350.42391.197401.00001.00001.0000 1.0000由此看出当d增加1个单位时，x的增量由（E- A）-1决定。所以当d为5 （单位）时,工业、农业、服务业的总产值分别增加7.0165、6.6645 5.987 （单位

10、）方法2。根据（6）式表明总产出x对于外部需求d是线性关系的，因此不管d如何增加,三个部门的外部需求增量都只和（E-A）的逆矩阵有关系，而d的增加只会成倍的增加它 们的总产出。当d增加5个单位时，x的增量由决定，而在上面的MATLAB程序上已经 算出C为1.40330.59650.38350.24940.31871.33290.51580.42391.1974其中第一列数字表明，当对工业的需求增加 1个单位时，工业、农业、服务业的总产出 分别增加1.4033, 0.5965, 0.3835个单位。所以当对工业增加 5个单位时，工业、农业、 服务业的总产出分别增加 7.0165，6.6645 5

11、.9870个单位。即C5=7.01651.24701.59352.98256.66452.57901.91752.11955.9870（5）如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出，模型就称为 可行的。问为使模型可行，投入系数应满足什么条件？为了使模型可行，即对任意的外部需求d3 0,而由式（6）能够得到总产出x3 0,显-1然只需要(E- A)? 0因为矩阵A3 0 （由定义式（2）,(E- A)(E+ A 2A+nk+1A)= E- A所以只要Ak无限接近于0(k),就有(E - A)? Ak? 0k=0，而由矩阵范数定义可知Ak ?0与| Ak|等价，且Ak| k，故只要

12、A11 （取便于应用的1-范数），即? aij 1i=1(j=1,2, ；n)(7)这样的模型就是可行的。当投入系数A是根据实际数据计算出来的 等价于（由表 1得到表2）时，由（2）式可知（7）n? Xiji= 1由此看出，只要是初始投入资金非负的话， 型是可靠的。4模型的评价与改进虽然通过这次对于模型的初步建立，该模型采用了数值计算，与理论分析相结合的方法,先有感性认识，再进行数值验证和估算，可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。可 取之处在于它们比较全面地达到了建模的目的，清楚的计算了当外部需求增加一定量时各个部门的总体产出量，达到了很好的预算效果。该模型采用了矩阵的逆矩阵求解，把抽象xj(j=1,2 ,n)(8)（8）式就自然成立，得到了非负产出，可知模的，不确定数量的多部门投