洛伦兹力的应用—习题课

1、洛伦兹力的应用洛伦兹力的应用习题课习题课 西樵高级中学西樵高级中学 方红德整理方红德整理 1 1）圆周运动的半径）圆周运动的半径 mv r qb 2 2）圆周运动的周期）圆周运动的周期 2 m t qb 2 v qvbm r 2 r t v 2 tt 3 3）在磁场中运动的时间）在磁场中运动的时间 一、常用公式一、常用公式 2 t t 解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基 本思路是本思路是找圆心、算半径、画轨迹、求时间找圆心、算半径、画轨迹、求时间。 1找圆心找圆心 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如带电粒子进入一个有界磁场后

2、的轨道是一段圆弧，如 何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。圆心一何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。圆心一 定在与速度方向垂直的直线上。定在与速度方向垂直的直线上。 2算半径算半径 画出入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助画出入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助 三角形，利用三角形，求出半径的大小。三角形，利用三角形，求出半径的大小。 二、基本思路二、基本思路 在实际问题中，圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法：在实际问题中，圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法： (1)如图甲所示，图中如图甲所示，图中p为入射点，为入射点，m为出射点，已知入射方向和出射为出射点

3、，已知入射方向和出射 方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线， 两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心o。 (2)如图乙所示，图中如图乙所示，图中p为入射点，为入射点，m为出射点，已知入射为出射点，已知入射 方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线， 连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆 弧轨道的圆心弧轨道的圆心o。 确定下列圆心确定下列圆心 (

4、1) v (2) v v (3) abab a 3圆心角和运动时间的确定圆心角和运动时间的确定 =2 2360 ttt 1. 1. 如图所示，匀强磁场磁感应强度为如图所示，匀强磁场磁感应强度为 b b0.2 t0.2 t，方向垂直纸面，方向垂直纸面 向里在磁场中的向里在磁场中的 p p 点引入一个质量为点引入一个质量为m=2.0m=2.01010-8 -8kg kg、带电荷量、带电荷量 为为q q5 51010-6 -6c c 的正粒子，以的正粒子，以v v10m/s10m/s的速度垂直于磁场方向开始的速度垂直于磁场方向开始 运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大运动，运动方向如

5、图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大 (1)(1)请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹 (2)(2)粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？ 三、常见题例三、常见题例 2. 2. 如图所示，一束电荷量为如图所示，一束电荷量为e e的电子以垂直于磁场方向的电子以垂直于磁场方向 ( (磁感应强度为磁感应强度为b)b)并垂直于磁场边界的速度并垂直于磁场边界的速度v v射入宽度为射入宽度为 d d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹 角为角为6060. .求电子的质量

6、和穿越磁场的时间求电子的质量和穿越磁场的时间 3.3.电子质量为电子质量为m m电荷电荷量为量为q,q,以速度以速度v v0 0与与x x轴成轴成角射入磁感角射入磁感 应强度为应强度为b b的匀强磁场中，最后落在的匀强磁场中，最后落在x x轴上的轴上的p p点，如图所示，点，如图所示， 求求: : （1 1）的）的opop长度长度; ; （2 2）电子由）电子由o o点射入到落在点射入到落在p p点所需的时间点所需的时间t.t. 【解析】【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀带电粒子在匀强磁场中做匀 速圆周运动，应根据已知条件首先确速圆周运动，应根据已知条件首先确 定圆心的位置，画出运动轨迹定圆心的

7、位置，画出运动轨迹. .所求距所求距 离应和半径离应和半径r r相联系，所求时间应和粒相联系，所求时间应和粒 子转动的圆心角子转动的圆心角、周期、周期t t相联系相联系. . (1)(1)过过o o点和点和p p点作速度方向的垂线，两线交点点作速度方向的垂线，两线交点c c即为电子即为电子 在磁场中做匀速圆周运动的圆心，如图所示，在磁场中做匀速圆周运动的圆心，如图所示， 则可知则可知 =2r=2rsinsin bqvbqv0 0= = 由由式可解得式可解得: : (2)(2) 答案答案：(1) (1) (2)(2) op 2 0 v m r 0 2mv op=sin bq 0 2mv sin

8、bq 2 m bq 222m2m t=t= 22qbqb 4.4.如图所示，一带电荷量为如图所示，一带电荷量为2.02.01010-9 -9 c, c,质量为质量为1.81.81010-16 -16 kg kg 的粒子，在直线上一点的粒子，在直线上一点o o沿沿3030方向进入磁感应强度为方向进入磁感应强度为b b的匀的匀 强磁场中，经过强磁场中，经过1.51.51010-5 -5 s s后到达直线上另一点后到达直线上另一点p.p.求：求： (1)(1)粒子做圆周运动的周期粒子做圆周运动的周期 (2)(2)磁感应强度磁感应强度b b的大小的大小 (3)(3)若若opop之间的距离为之间的距离为

9、0.1 m0.1 m，则粒子的运动速度多大？，则粒子的运动速度多大？ 【解析】粒子做匀速圆周运动，其轨迹如图所示由几何【解析】粒子做匀速圆周运动，其轨迹如图所示由几何 关系可知关系可知opop弦的圆心夹角弦的圆心夹角6060. .粒子从粒子从o o点出发经历大圆点出发经历大圆 弧到达弧到达p p点的时间已知，大圆弧所对圆心角为点的时间已知，大圆弧所对圆心角为300300，则可求，则可求 粒子运动周期由周期公式可求磁感应强度粒子运动周期由周期公式可求磁感应强度b b，已知，已知opop的长的长 度可求半径度可求半径r r，进而求粒子运动速度，进而求粒子运动速度 m/s10 9 )3( 10 )2

10、( 108 . 1 ) 1 ( 6 6 t s 5.5.如图所示，在如图所示，在x x轴上方有匀强磁场轴上方有匀强磁场b b，一个质量为，一个质量为m m，带电量，带电量 为为-q-q的的粒子，以速度的的粒子，以速度v v从从o o点射入磁场，角点射入磁场，角已知，粒子重已知，粒子重 力不计，求力不计，求 (1)(1)粒子在磁场中的运动时间粒子在磁场中的运动时间. . (2) (2)粒子离开磁场的位置粒子离开磁场的位置. . 6. 6. 一个质量为一个质量为m m电荷量为电荷量为q q的带电粒子从的带电粒子从x x轴上的轴上的p p（a a，0 0）点）点 以速度以速度v v，沿与，沿与x x

11、正方向成正方向成6060的方向射入第一象限内的匀强磁的方向射入第一象限内的匀强磁 场中，并恰好垂直于场中，并恰好垂直于y y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应 强度强度b b和射出点的坐标。和射出点的坐标。 y x o b v v a o/ aq mv b bq mva r 2 3 , 3 2 得 (0, 3 )a射出点的坐标为 7 7如图所示，在如图所示，在x x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为 b b的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点o o处以速度处以速度

12、v v 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x x轴正方轴正方 向成向成120120角，若粒子穿过角，若粒子穿过y y轴正半轴后在磁场中到轴正半轴后在磁场中到x x轴的最大距轴的最大距 离为离为a a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是( () ) a. 3v 2ab，正电荷 ，正电荷 b. v 2ab，正电荷 ，正电荷 c. 3v 2ab，负电荷 ，负电荷 d. v 2ab，负电荷 ，负电荷 8.8.如图所示，在如图所示，在xoyxoy平面内，平面内，y0y0的区域有垂直于的区域有垂直于xoyxoy平

13、面平面 向里的匀强磁场，磁感应强度为向里的匀强磁场，磁感应强度为b b，一质量为，一质量为m m、带电荷、带电荷 量大小为量大小为q q的粒子从原点的粒子从原点o o沿与沿与x x轴正方向成轴正方向成6060角方向以角方向以 v v0 0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时 间和带电粒子离开磁场时的位置。间和带电粒子离开磁场时的位置。 思路思路确定粒子的电性确定粒子的电性 判定洛伦兹力的方向判定洛伦兹力的方向画画 运动轨迹运动轨迹确定圆心、半确定圆心、半 径、圆心角径、圆心角确定运动时确定运动时 间及离开磁场的位置。间及离开磁场的位置

14、。 解析解析 当带电粒子带正电时，轨迹如图中当带电粒子带正电时，轨迹如图中 oac，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，则则 qv0bmv 2 0 r ，rmv0 qb ， ， t2 m qb 故粒子在磁场中的运动时间故粒子在磁场中的运动时间 t1240 360 t4 m 3qb 9如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场， 一对正、负离子一对正、负离子(质量相同质量相同)以相同速率沿与以相同速率沿与x轴成轴成30角的角的 方向从原点射入磁场，则正、负离子在磁场中运动时间之比方向从原点射入磁场，则正、负离子在磁场

15、中运动时间之比 为为() a1 2b2 1 c1 3 d1 1 答案：答案：b 10.10.如右图所示，正、负电子以如右图所示，正、负电子以 相同的速度相同的速度v0v0垂直磁场方向在垂直磁场方向在o o点点 沿与边界成沿与边界成3030角的方向射角的方向射 入只有下边界的匀强磁场中，则入只有下边界的匀强磁场中，则 正、负电子射出点到射入点的距正、负电子射出点到射入点的距 离之比为离之比为( () ) a a1111 b b1212 c c1515 d d1616 解得圆轨道的半径：解得圆轨道的半径： 由于正负电子的荷质比相同，由于正负电子的荷质比相同， 故它们的半径相同故它们的半径相同 由几

16、何关系知，两个圆的圆由几何关系知，两个圆的圆 心角也相等，都为心角也相等，都为6060，三，三 角形角形cobcob与与coacoa全等，故有全等，故有 答案：a 解析：由洛伦兹力公式和牛顿定律可得：解析：由洛伦兹力公式和牛顿定律可得： 2 0 v ev bm r 0 mv r eb 0 mv r eb 11. 11.如图直线如图直线mnmn上方有磁感应强度为上方有磁感应强度为b b的匀强磁场。正、负电的匀强磁场。正、负电 子同时从同一点子同时从同一点o o以与以与mnmn成成3030角的同样速度角的同样速度v v射入磁场（电射入磁场（电 子质量为子质量为m m，电荷为，电荷为e e），它们从

17、磁场中射出时相距多远？射），它们从磁场中射出时相距多远？射 出的时间差是多少？出的时间差是多少？ mn b o v be mv s 2 答案为射出点相距答案为射出点相距 bq m t 3 4 时间差为时间差为 关键是找圆心、找半径和用对称。关键是找圆心、找半径和用对称。 12.12.如右图所示，在如右图所示，在y0y0的区域内存在的区域内存在 匀强磁场，磁场方向垂直于匀强磁场，磁场方向垂直于xyxy平面并平面并 指向纸面外，磁感应强度为指向纸面外，磁感应强度为b.b.一带电一带电 荷量和质量之比为荷量和质量之比为q/mq/m的正电粒子以的正电粒子以 速度速度v v0 0从从o o点与点与x x

18、轴正向成轴正向成角射入磁角射入磁 场，不计重力的影响，求该粒子射出场，不计重力的影响，求该粒子射出 磁场时的位置与磁场时的位置与o o点的距离点的距离 x x y y o o p p v v f f洛洛 v v 圆轨道的圆心位于圆轨道的圆心位于oa的中垂的中垂 线上，由几何关系可得线上，由几何关系可得 (式中式中r为圆轨道的半径为圆轨道的半径) 联立联立、两式，解得两式，解得 点评：点评：已知速度的大小，一定要通过计算明确半径的大小，已知速度的大小，一定要通过计算明确半径的大小， 这对正确作图，帮助理解轨迹的走向，应用几何知识计算这对正确作图，帮助理解轨迹的走向，应用几何知识计算 带电粒子的出

19、射位置有很大的帮助带电粒子的出射位置有很大的帮助 x x y y o o p p v v f f洛洛 v v 解得：解得： 1313、（、（20012001年高考题）如图在年高考题）如图在y0y0的区域内存在匀强磁场，磁场的区域内存在匀强磁场，磁场 方向垂直于方向垂直于xyxy平面并指向纸面外，磁感应强度为平面并指向纸面外，磁感应强度为b b，一带正电的，一带正电的 粒子以速度粒子以速度v0v0从从o o点射入方向在点射入方向在xyxy平面内，与平面内，与x x轴正向夹角为轴正向夹角为， 若粒子射出磁场的位置与若粒子射出磁场的位置与o o点的距离为点的距离为l l，求该粒子的比荷，求该粒子的比

20、荷q/mq/m. . o x y b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由几何知识：由几何知识： 粒子的运动半径：粒子的运动半径：r=l/2sin 粒子的运动半径：粒子的运动半径：r=mv/qb 由上两式可得粒子的荷质比：由上两式可得粒子的荷质比： q/m=2vsin/bl 解：作出粒子运动轨迹如图。解：作出粒子运动轨迹如图。设设p点为出射点。

21、点为出射点。 x x y y o o p p v v f f洛洛 v v 14.14.如图所示，分界面如图所示，分界面mnmn右侧是区域足够大的匀强磁场区域，右侧是区域足够大的匀强磁场区域， 现由现由o o点射入两个速度、电量、质量都相同的正、负粒子，重点射入两个速度、电量、质量都相同的正、负粒子，重 力不计，射入方向与分界面成力不计，射入方向与分界面成 角，则角，则 a a、它们在磁场中的运动的时间相同、它们在磁场中的运动的时间相同 b b、它们在磁场中圆周运动的半径相同、它们在磁场中圆周运动的半径相同 c c、它们到达分界面是的速度方向相同、它们到达分界面是的速度方向相同 d d、它们到达

22、分界面的位置与、它们到达分界面的位置与o o的距离相同的距离相同 o 1515如下图所示，长为如下图所示，长为l l、间距为、间距为d d的平行金属板间，有垂的平行金属板间，有垂 直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为b b，两板不带电，两板不带电， 现有质量为现有质量为m m、电荷量为、电荷量为q q的带正电粒子的带正电粒子( (重力不计重力不计) )，从左，从左 侧两极板的中心处以不同速率侧两极板的中心处以不同速率v v水平射入，欲使粒子不打水平射入，欲使粒子不打 在板上，求粒子速率在板上，求粒子速率v v应满足什么条件？应满足什么条件？ 16.16.电视

23、机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现 的。电子束经过电压为的。电子束经过电压为u u的加速电场后，进入一圆形匀强磁的加速电场后，进入一圆形匀强磁 场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为o o， 半径为半径为r r。当不加磁场时，电子束将通过。当不加磁场时，电子束将通过o o点而打到屏幕的中点而打到屏幕的中 心心m m点。为了让电子束射到屏幕边缘点。为了让电子束射到屏幕边缘p p，需要加磁场，使电子，需要加磁场，使电子 束偏转一已知角度束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度，此时

24、磁场的磁感应强度b b应为多少？应为多少？ 2 2 1 mveu r v mevb 2 r r 2 tan 2 21 tg e mu r b 17. 17. 一个负离子，质量为一个负离子，质量为m m，电量大小为，电量大小为q q，以速率，以速率v v垂直于屏垂直于屏s s 经过小孔经过小孔o o射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应 强度强度b b的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1 1中纸面向里中纸面向里. . （1 1）求离子进入磁场后到达屏）求离子进入磁场后到达屏s s上时的位置与上时的位置

25、与o o点的距离点的距离. . * *（2 2）如果离子进入磁场后经过时间）如果离子进入磁场后经过时间t t到达位置到达位置p p，证明，证明: :直线直线opop 与离子入射方向之间的夹角与离子入射方向之间的夹角跟跟t t的关系是的关系是 t m qb 2 o b s v p * *18. 18. 如图如图4 4所示，在所示，在xoyxoy坐标平面的第一象限内有沿坐标平面的第一象限内有沿y y方向的匀方向的匀 强电场，在第四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场现有一质强电场，在第四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场现有一质 量为量为m m，带电荷量为，带电荷量为q q的粒子的粒子( (重力不计重力

26、不计) )以初速度以初速度v0v0沿沿x x方向方向 从坐标为从坐标为(3l(3l，l)l)的的p p点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点o o 射出，射出时速度方向与射出，射出时速度方向与y y轴正方向夹角为轴正方向夹角为4545，求：，求： (1)(1)粒子从粒子从o o点射出时的速度点射出时的速度v v和电场强度和电场强度e e； (2)(2)粒子从粒子从p p点运动到点运动到o o点过程所用的时间；点过程所用的时间； 解析根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由解析根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由q q 点进入磁场，在磁场中做

27、匀速圆周运动，最终由点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由o o点射出点射出( (轨迹如轨迹如 图所示图所示) )(1)(1)根据对称性可知，粒子在根据对称性可知，粒子在q q点时速度大小为点时速度大小为v v，方向，方向 与与y y轴方向成轴方向成4545，则有：，则有： v vcoscos 45 45v v0 0 * *1919如图所示，在第一象限内有一垂直于纸面向里、磁感强度如图所示，在第一象限内有一垂直于纸面向里、磁感强度 大小大小b b2.02.010103 t3 t的匀强磁场，磁场局限在一个矩形区域内，的匀强磁场，磁场局限在一个矩形区域内， 在在x轴上距坐标原点长轴上距坐标原点

28、长l的的p处以处以v2.0104 m/s射入比荷射入比荷 5.0107 c/kg的不计重力的正离子，正离子做匀速圆周运动后的不计重力的正离子，正离子做匀速圆周运动后 在在y轴上距坐标原点也为轴上距坐标原点也为l的的m处射出，运动轨迹半径恰好最小，处射出，运动轨迹半径恰好最小， 求：求： (1)l的长度的长度 (2)此矩形磁场区域的最小面积，此矩形磁场区域的最小面积， 并在图中画出该矩形并在图中画出该矩形 解析：解析：(1)(1)设粒子在磁场中的运动半径为设粒子在磁场中的运动半径为r.r.由洛伦兹力提供粒由洛伦兹力提供粒 子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得：子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，

29、可得： 要使粒子从要使粒子从p p射入后又从射入后又从m m点射出，且半径最小，则点射出，且半径最小，则 pmpm的长度应为离子做匀速圆周运动的直径，如右图所示的长度应为离子做匀速圆周运动的直径，如右图所示 由几何关系得：由几何关系得： (2)如图所示，所求的最小矩形为mm1p1p(虚线)， 该区域面积：s2r r2r20.16 m2 答案：(1)0.2 m(2)0.16 m2 * *2020、如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场、如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场e e（宽度为（宽度为 l l）和匀强磁场）和匀强磁场b b（两部分磁场区域的磁感应强度大小相等，（两部分磁场区域的磁感应强

30、度大小相等， 方向相反），一带电粒子电量为方向相反），一带电粒子电量为q q，质量为，质量为m m（不计重力），（不计重力）， 从从a a点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进 入右边磁场后能按某一路径而返回入右边磁场后能按某一路径而返回a a点，重复前述过程。求点，重复前述过程。求 中间磁场的宽度中间磁场的宽度d d和粒子的运动周期。和粒子的运动周期。 a e b1b2 解：解： a v 60o 60o 60o o1 o2 o3 设粒子在电场中加速后速度为设粒子在电场中加速后速度为v,所所 需时间为需时间为t1。 由动能定理及动量定理

31、可得：由动能定理及动量定理可得： 粒子进入磁场后做圆周运动，粒子进入磁场后做圆周运动， 半径为：半径为： r=mv/qb 由由可得：可得：r= m qb 2qel m 由几何知识，中间磁场的宽度为：由几何知识，中间磁场的宽度为： qel=mv2/2 qet1=mv0 粒子在中间磁场运动时间：粒子在中间磁场运动时间： d=rsin60o= 6qmel2qb 故粒子运动周期为：故粒子运动周期为：t=2t1+t2+t3= t2=t/3=2m/3qb t3=5t/6=5m/3qb 2ml qe+ 7m/3qb 由由可得：可得： 2ml qe t1= 作出粒子运动轨迹如图。作出粒子运动轨迹如图。 粒子在右边磁场中运动时间：粒子在右边磁场中运动时间： m n 21.如图中圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁如图中圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁 感应强度为感应强度为b，现有一电量为，现有一电量为q，质量为，质量为m的正离子从的正离子从a点点 沿圆形区域的直径射入，设正离子射出磁场区域的方向沿圆形区域的直径射入，设正离子射出磁场区域的方向 与入射方向的夹角为与入射方向的夹角为600，求此正离子在磁场区域内飞行，求此正离子在磁场区域内飞行 的时间及射出磁场时的位置。的时间及射出磁场时的位置。 a o 注注:画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）画好