2013年高考数学全解全析-江苏卷(20201012120103)

1、第5贞共16页2013江苏卷1 fl一一 1 II1样本数据小 畑 ，心的方差其中戈=丄为野棱锥的体积公式：V=|s/b其中S是锥体的底而积，力为高.棱柱的体积公式：V=Sh,S是柱体的底而枳，为髙.一填空题1. 函数y=3sin(2x+寻)的最小正周期为 .答案兀解析 co = 2 , T=n.2. 设z=(2-i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为答案5解析 z=(2-i)2 = 3-4i, lzl= 32 + (-4)2 = 5.3. 双曲线土_看=1的两条渐近线的方程为.解析二1的渐近线方程为召-4. 集合一 1.0,1共有个子集.答案8解析 C9 + C“Q + C = 23 = &

2、5. 右图是一个算法的流程图，则输岀的“的值是答案3解析赋值“二1 “二2进入循环体检验a二220二3X2十2二8zi = 2检验“二80时Mx)=W-4x,则不等式兀)x的解集用区间表示为答案(一 5,O)U(5, +8)x2 - 4x , x20 解析 由已知夬0)二0 ,当x0时f fix)=-x)二-x2 - 4x #因此fx)=-x2 - 4x # x5 ,或-5vb0),右焦点为F,右准线为/,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为Ji, F到/的距离为也若片晶h,则椭圆C的离心率为答案f解析如图F(CO) , 3(0 f b),则直线BF的方程为?十扌二1be be 、/夕

3、十以一 “2二 由已知条彳牛di二&di即牛二巴:,整理得：心沪+ ah - yf6ir = 013. 在平而直角坐标系9y中，设左点A（a. a）. P是函数y=小0）图象上一动点，若点P, A之间的最短距离为2返，则满足条件的实数“的所有值为答案Jib, 1解析 PA2 =（X - ）2 十（g -卡二尤2 十 g - lux - 20 , a + 2 .心 2p2由已知条件宀2二8吼2十宀2 = 8解得 a = a/To ,或 /= - 1.14. 在正项等比数列心冲，5=心+“7=3则满足g+“2+如的最大正整数n的值为答案12解析 由已知条件5二* , 6 +（17 = 3 即嘉+莽

4、二3 ,整理得72 + 2血 可矢口 2;r27+ 1 W12.二、解答题15. 已知向量 a=(cosa, sin a), b=(cosfi9 sin0), Opvav兀(1) 若kz1=边，求证：丄b；(2) 设 c = (OJ),若 d+b=c,求 a, 8 的值.(1 )证明 由S b 二逗.即(cos a - cos 十(sin a - sin fi)2 = 2 r 整理得 cos acos B 十 sin asin 0 二 0 即a b = 0 r因此a丄b.cos a + cos 二 0sin a + sin B 二 I又 0a - 2(a - 2)2= 1.设点, y),因为M

5、A - 2MO ,所以寸工十( _ 3尸二2 yjx2 + y2，化简得x2 + y2 + 2y - 3 = 0 ,即x2十(y十1尸 二4 ,所以点M在以D(0, - 1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x , y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，贝!112 - 1IWCDW2十1 ,即1冬乜/十(23)运3由50- 1加十820,得“WR；12由 5a2 - 12/0 ,得 OWgW丁所以点C的横坐标“的取值范围为o, 18. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是 先从A沿索逍乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客

6、从A处下山，甲沿AC匀速步行, 速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设193缆车匀速直线运动的速度为BOnVmin,山路AC长为1 260m,经测McosA=, cos C=g(1) 求索道AB的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范国内？第9贞共16页第13页共16页1235解(1)在 ZVIBC 中，因为 cos A = f cos C二 g ,所以 sin A 二舌,AB AC从而 sin B = sin;r - (

7、A + C) = sin(A + C) = sin Acos C + cos Asin C =+=由正弦走理微二鈴，得皿二篇Xsin C二罟X#二1 040(m).65所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d ,此时，甲行走了( 100 + 50/)m r乙距离A处130/ in ,所以由余弦走理得 0 二(100 + 50/)2 十(130, -2X 130/X(100十50/)X胃二 200(372 70/+50) r 因 0W心晋 r 即0WrW8 r故当f二齐(min)时f甲、乙两游客距离最短 由正弦走理鳥二紿，得M二爺XsinA二詈X*500(

8、m).65乙从B出发时r甲已走了 50X(2 + 8+l) = 550(m) #还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为 nVmin ,由题意得-3W乎-尊W3 ,解得罟GW皆，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在詈筈(单位：n”min)范围内19. 设是首项为 公差为的等差数列(疋0), %是其前料项的和.记加#WNS其中c为 实数.若c=0,且加 加，加成等比数列，证明：S戚=届上伙，nEN4)；若几是等差数列，证明：c=0.n(n - 1)证明 由题设/ Sn = nu + d(1)由c二0 ,得b”二严二十一d.又因为hl , b2 , bA成等t

9、鐵列，所以bi= = bg ,即+甥二十詢, 化简得cl2 - 2nd二0因为H0 r所以d二加.m(m - 1)因此,对于戶斤有的m丘N .有Sm = ma + z，加=nra.从而对于所有的 k t ziGN* f 有 Snk = (nk)2a = n2k2a = n2Sk.设数列九的公差是山r则bn = b + (n - lWi ,即今二/刀十1)山，代入2的表达式f整理 rr + c得，对于所有的neN+ cdn = c(d - b)令A二山靭 B = h - d- “十如z D = cd - bi) t则对于所有的nGN4 #有An3十Bn2十cdn = 0.(*)在式中分别取h =

10、1,23,4 ,得A 十 B + cd 二&4 十 4B 十 2cd = 21A 十 9B 十 3cd = 64A + 16B 十 4cd ,力 + 3B + cdi 二 0 ,从而有彳19A + 5B + cdi二0 ,21A + 5B + cJi=0 r 由，歸 A二0 , cdx二5叭代入方程，彳导B二0 ,从而cch = 0.即 d - / = 0 f /?i - d 十 二 0 . cd = 0.若di二0 ,则由di -切二0 ,得二0 ,与题设矛盾，所以c/iHO.又因为cd = 0 ,所以c二0.20. 设函数 fix)=nxaxf g(x)=exax，其中为实数.若心)在(1

11、, +8)上是单调减函数，且g(x)在(1, +8)上有最小值,求a的取值范围:若g(x)在(一 1, +8)上是单调增函数，试求心)的零点个数，并证明你的结论.11 - ax解(1 )令 (a) = -/ = 0 r逬而解得4厂1 ,即/U)在(，十8)上是单调减函数.同理,血)在(0 , “上是单调增函数由于.心)在(1 ,十8)上是单调减函数，故(1 , + 8)q(“i r + oo)，从而“11，即心1令(X) = ex - a = 0 得无二 In“ 当 xln a 时 tgf (x)ln 时，Q (x)0.又g(x)在(1 , + 8)上有最小值，所以in a ,即e.综上，有，

12、+ 8).当W0时,g(x)必为单调增函数；当0时，令g(X)= er - 0 ,解得心,即.vln “ ,因为g在(-1 ,十8)上是单调增函数,类似(1)有in V 即0.(i )当二0时，由夬1)二0以及f(X)二、0 ,得爪存在唯一零点；(ii) 当aQ时,由于少)=a - aea二(1 - en)0 ,且函数/U)在1 上的图象不间断,所以.心) 在(ch)上存在零点另外，当A0时tf (x)二;-aOt故应)在(0 , + 8 )上是单调増函数,所以兀)只有 个零点(iii) 当 OcdWc时，令 f(X)二丄二0 ,解得 x二 “ J 当 0 x0 f xa -1 时.f (x)

13、0 ,即0/e -1时，金)有两个零点.实际上,对于0/e -1 ,由于金-1)二-1 - we - *0 ,且函数/U)在c -1 , )时，f (x)二 “0 ,故.心)在(0 , “ -1)上是单调增函数，所以沧)在(0 , -*)只有 个零点下面考虑几丫)在(“-* , + 8)上的情况.先证人出-1)二/(/ - 2 - L j)e时，.设h(x) = e则於(X)二出-2、，再设/(x)(X)二e-2x,则厂(X) = ev-2.当xl时，厂(x) = er - 2c - 20 ,所以/(a) = h (乂)在(1 , + 8)上是单调增函数.故当,v2时，(x) = 3-2xh二

14、e2 - 40 ,从而(、)在(2 , + 8)上是单调增函数.进而当e时，h(x) = eT - x2力(e)二 - c20.即当.e 时，ev.2.当 0ue -即 “ -、c 时，_/(en J)二“ -1 - t/en-1 = a(a-2 - ea- *)0 ,且函数 /U)在,efl-! 上的图象不间断，所以用)在(J U上存在零点又当x-】时，f二 - ，故.心)在，+8）上是单调减函数,所以/U）在（“I , + 8）上只有一个零点-综合（i ） , （ii） , （iii），当“WO或二c丨时，用）的零点个数为1，当0/cLO1-1 01，所以A-叨二0 20-1丿二0丄二0八

15、/二苏从而A的逆矩阵为A丨=故二41 2_1 _06一2J-1 -2-03 _X二f 十 1 ,C解 因为直线/的参数方程为(/为参数儿由x = t+得心1，代入y = 2tr得到直线/v 二 2/的普通方程为2,)一 2二0.同理得到曲线C的普通方程为y2二2x.联立方程组一 2(A 解得公共点的坐标为(2,2),讣，-1 丿二，D 证明 - Z?3 - (2xib2 - a2b) = 2a(a2 - b2) + b(a2 - b2) = (a2 - b2)(2a + b) = (a - b)(a + b)(2ci + b).因为 ab0 ,所以 a - bO f a + bQ92a + b

16、0 r 从而(“ -b)(a + b)(2a + /?)0 ,即 2/3 - b32ab2 - a2b.必做题I第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写岀文字说 明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在直三棱柱ABC-ABC中.AB丄AC. AB=AC=2, AiA=4,点D是BC的中点. 第14页共16页(1) 求异而直线AiB与CQ所成角的余弦值：(2) 求平面ADC与平而ABM所成二而角的正眩值.MBCD 18 丽I昂I回X帧解 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -粧r则A(OOO), B(2.00), C(0.20) Q( 1丄0)

17、, A】(0Q4) 6(024)，所以届二(2,0 , - 4) fGD = ( f - 1 r - 4) 因为 cos丽 fCU)二 二噜,所以异面直线旳B与CQ所成角的余弦值为晋.(2)设平面 ADCi 的法向呈为 ni=(x , y , z),因为Ab = (1,1,0),疋二(0,2,4),所以 MiAD = 0 , nvACi=Q , 即x +y = 0且y十2z二0 ,取z二1，得x = 2 , y= - 2 ,所以,ii= (2 , - 2,1)是平面ADC的一个法向呈取 平面AAiB的一个法向星为“2二(0,1.0),设平面ADG与平面ABAi所成二面角的大小为6.由2肛|艦|

18、二晟斤二?得sin&二零因此，平面ADCi与平面ABA所成二面角的正弦值为芈.(R 123. 设数列“小 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4 4, 4,，(一1)*(一1)* %,，即当-/伙尹伙WNJ时，血=(一 1)5,记Sn=m+“2+“gN*).对于ZGN*,定义集合P/=nlSn是 冷的整数倍,nSN且1W/.(1) 求集合Pii中元素的个数；(2) 求集合Booo中元素的个数.解 由数列計的走义得5 = 1 2二-2 3二2 2=3 5 = 3八心二3八仃二-4,6/8= - 4 r 6/9 = - 4 , 5()= - 4 , UU = 5 # 所以 Si = 1 , S2 二-1 f 53