2018年高考理科数学第一轮复习教案6二次函数与幂函数

1、第四节二次函数与幕函数1. 二次函数掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数 的最值(值域)、单调区间.2. 幕函数(1) 了解幕函数的概念.1 丄结合函数y = x, y = x2, y = x3, y= x, y = x2的图象，了解它 们的变化情况.捌主干知识点一五种常见幕函数的图象与性质五种常见幕函数的图象与性质函数特征性质y= xy= x2y=x312y= x21y= x图象护*Kh定义域RRRx|x 0X|XM 0值域Ry|y0Ry|y0y|y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(汽 0 减，(0, +增增(r 0)和(0, +OO )增O )减公共点(1,1)1易误提醒 形如y=X

2、a R)才是幕函数，如y= 3x不是幕函数.自测练习1. 已知幕函数f(x) = kxa的图象过点扌，则k+ a ()13A. 2B. 1 C.2 D. 2解析：因为函数f(x) = kxa是幕函数，所以k= 1,又函数f(x)的图象过点舟，所以2 J#解得a舟，则k+ a |.答案：C知识点二二次函数1 .二次函数解析式的三种形式(1) 一般式：f(x) = ax2 + bx+ c(az 0).(2) 顶点式：f(x) = a(x m)2+ n(a 0).(3)零点式：f(x) = a(xx 1)(x x2)(a 0).值域4ac b2 +x4a ，十4ac b2oo 、4a单调性在2ba上

3、递减，在2a，+x上递增在o,寻上递增，在2a，+o上递减奇偶性b = 0时为偶函数，bz 0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点对称轴：x= 2a；金估-b 4ac b2顶点：2a，易误提醒研究函数f(x)= ax2 + bx+ c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数.必备方法1.函数y = f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y= f(x),如果定义域内有不同两点xi、沁且f(xi)Xi + X?=f(x2),那么函数y= f(x)的图象关于x=对称.(2)二次函数y= f(x)对定义域内所有x,都有f(a + x) = f(ax)成立的充要条件是函数y=f(x)的图

4、象关于直线x= a对称(a为常数).2. 与二次函数有关的不等式恒成立两个条件a0,(1)ax2 + bx+ c0,0恒成立的充要条件是 2(2) ax2 + bx+ c0,0恒成立的充要条件是自测练习2已知二次函数的图象如图所示, 解析式可能是()A . y= x2 + 2x+ 1B . y= x2 2x 1a0, b2 4ac0.C. y= x2 2x+ 1D . y=x2+2x+ 1解析：设二次函数的解析式为f(x)= ax2+bx+ c(az0),由题图得: a0, b0.选 C.答案：C3. 若二次函数f(x) = ax2 4x+ c的值域为0,+),贝S a, c满足的条件是.a0

5、,门a0,解析：由已知得4ac 16?/ 4a = 0, ac 4= 答案：a0, ac= 44. 已知f(x) = 4/ mx+ 5在2,+乂)上是增函数，则实数 m的 取值范围是.解：因为函数f(x) = 4x2 mx+ 5的单调递增区间为m，+* , 所以冒 2, 即卩mcbaB. abcdC. dcabD. abdc1i解析：幕函数a = 2, b=2，c=-3, d=- 1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x= 1的右侧部分的图象，图象由下至上，幕指数增大，所以 abcd故选B.答案：B1 13. (2015安庆三模)若(a+ 1) 3(3 2a) 3,则实数a的取值

6、范围是.1 1解析：不等式(a+1) 33 2a0 或 3 2aa + 10 或 a+ 103 2a.2 3解得a 1或3a0,若在(0,+ |s)上单调递减，则a0)，将1 1点 D(1,1)代入得，a = 4,即 y= 4(x 3)2,故选 D.答案D(2)函数f(x) = 4x2 mx+ 5在区间2,+)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A . f(1) 25B. f(1) = 25C . f(1)25解析函数f(x) = 4x2 mx+ 5的增区间为m，+ ,由已知可得8W 2? mW16，所以 f(1) = 4X 12 mX 1+ 5= 9 m25.答案A解决二次函数图象与性质问

7、题时两个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约常见的II题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最iiii值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.:1 I演练冲关1. 已知函数 f(x) = ax2 2ax + 2+ b(a 0),若 f(x)在区间2,3上有最大值5,最小值2.(1) 求a, b的值；(2) 若b0,则 f(x)在区间2,3上是增函数.f 2 = 2 + b= 2,则有f 3 = 3a+2 + b= 5,b= 0,解得a= 1.若a0，则f(x)在区间2,3上是减函数，f 2

8、 = 2 + b= 5,b= 3,则有解得f 3 = 3a+ 2 + b= 2,a= 1.综上可知，a= 1, b= 0 或 a= 1, b = 3.(2)由 b4 或一6或mn2-tx在t -2,2时恒成立，求实数x的取值 范围.解(1)：由知f(x)= ax2 + bx(az 0)的对称轴是直线x=- 1,二 b= 2a.函数f(x)的图象与直线y = x只有一个公共点，.方程组y= ax2 + bx,有且只有一个解，即ax2+ (b- 1)x= 0有两个相同的y=x1 1实根，二= (b-1)2= 0,即 b= 1,a =f(x) = x2 + x.11(2) 1二护) -2-tx等价于

9、 f(x)tx-2,即2x2 + xtx-2在 t -jn22,2时恒成立?函数g(t) = xt- x2 + x+ 2 0在t - 2,2时恒成立,g 2 0,_即解得x 3 +g 2 0,5 故实数x的取值范围是(一 = ,3 5) U ( 3+ 5, +乂).|不等式恒成立的求解方法1由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af(x)? af(x)max, a f(x)? a f(x)min.演练冲关2. 设函数f(x) = ax2 2x+2,对于满足1x0,求实数a的取值范围.解：由 f(x)0,即 ax2 2x+ 20, x (1,4),2 2

10、一得a x2 + x在(1,4)上恒成立.人2 211 2 1思想方法系列IXIANGXIL1&I令 g(x)= x2+x= 2x22+2，思路分析参数a的值确定f(x)图象的形状；aO时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置.解(1)当 a = 0 时，f(x) = -2x 在0,1上递减,二 f(x)min = f(1)=- 2.当a0时，f(x) = ax2 2x图象的开口方向向上，且对称轴为 x1当匸1,即al时,f(x) = ax2- 2x图象的对称轴在0,1内,1 f(x)在0, a上递减,a1在a 1上递增.1 1 2-f(x)min=f a =舌a=1a.1

11、当a1,即g*1时,f(x)= ax2 2x图象的对称轴在0,1的右侧, f(x)在0,1上递减.f(x)min = f(1)= a 2.当 a0 时，f(x) = ax2 2x的图象的开口方向向下，且对称轴 xa1,思想点评(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论.在 分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时 要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间 进行分类讨论.跟踪练习设函数y= x2 2x, x 2, a,若函数的最小值

12、为 g(x)，求 g(x).解：T函数 y=x2 2x= (x 1)2 1,二对称轴为直线x= 1,：x= 1不一定在区间2, a内，二应进行讨论.当一2a1时，函数在2,1上单调递减，在1, a上单调递增，则 当x= 1时，y取得最小值，即ymin = 1.a2 2a, 2a1.CjfN7O*j HANCEA组考点能力演练1.当ab0时，函数y= ax2与f(x) = ax+ b在同一坐标系中的图解析：因为ab0，所以，当a0，b0, b0时，函数y= ax2的图象开口向上，函 数f(x) = ax+ b的图象在x轴上的截距为负值，在y轴上的截距为正 值，没有符合条件的选项，故选 D.答案：

13、D2. (2015 芜湖质检)已知函数 f(x) = x2 + x+c.若 f(0)0, f(p)0B. f(p+ 1)0, f(p)o,.f(p + 1)0.答案：A3 .若幕函数y= (m2 3m+ 3) xm2- m 2的图象不过原点，贝S m 的取值是()A . K m2B. m= 1 或 m= 2C. m= 2D. m=1解析：由幕函数性质可知m2 3m+ 3= 1,.m= 2或m= 1.又幕函数图象不过原点，m2 m 20,即1 m2,m= 2或m =1.答案：B254.若函数y= x2 3x 4的定义域为0, m,值域为忆,4 , 则m的取值范围是(A . 0,4D. 3，3解析

14、：二次函数图象的对称轴为3口3x = 2,且 f 2C. |,+乂254, f(3) = f(0) = 4,由图得 m答案：D5. (2015沧州质检)如果函数f(x) = x2+bx+ c对任意的x都有f(x+ 1)= f( x),那么()f( 2)f(0)f(2) f(0)f( 2)f(2) f(2)f(0)f( 2) f(0)f(2)f( 2)解析：由f(1+ x) = f( x)知f(x)的图象关于直线x=1对称，又抛物线 f(x)开口向上，f(0)vf(2)vf( 2).答案：D6. 二次函数f(x) = x2+ (2 log2m)x + m是偶函数，则实数 m =解析：禾U用偶函数

15、性质求解.因为偶函数的图象关于 y轴对称,所以一2犁二0,解得4.答案：417. 已知幕函数f(x) = x 2,若f(a+ 1)0),易知x (0,+ 乂)时为减函数,又 f(a + 1)0,a 1,10 2a0,解得a10 2a,a3,3va5.答案：(3,5)8. (2015济南二模)已知函数f(x) = x2 2x, x a, b的值域为1,3,则b a的取值范围是.解析：由题意知，f(x) = x2 2x= (x 1)2 1，因为函数f(x)在a,b上的值域为1,3，所以当a=- 1时，1 b3;当b= 3时，一 1 a2或一厂6 或k1).(1) 若f(x)的定义域和值域均是1,

16、a,求实数a的值；(2) 若f(x)在区间(X, 2上是减函数，且对任意的X1, X2 1, a + 1,总有|f(X1) f(X2)|w4,求实数a的取值范围. + bx+ 1(a, b 为实数,a0, x R).(1)若函数f(x)的图象过点(一2,1)，且方程f(x) = 0有且只有一个 根，求f(x)的表达式；在(1)的条件下，当x 1,2时，g(x) = f(x) kx是单调函数, 求实数k的取值范围.解：(1)因为 f( 2)= 1,即 4a2b+ 1 = 1,所以 b= 2a.因为方程f(x) = 0有且只有一个根，所以 = b2 4a= 0.所以4a2 4a = 0,所以a=

17、1,所以b= 2.所以 f(x) = (x+ 1)2.(2)g(x) = f(x) kx= x2 +2x+ 1 kx = x2 (k 2)x + 1 =k 2x 2解：(1)Tf(x)= (x a)2 + 5-a2(a1),f(x)在1 , a上是减函数.又定义域和值域均为1, a.f 1 = a,1 2a + 5= a,即解得a = 2.f a = 1,a2 2a2 + 5= 1,(2) vf(x)在区间(一=,2上是减函数，/.a 2.又 x= a 1, a+ 1,且(a+ 1) aw a 1,f(x)max= f(1) = 6 2a, f(x)min = f(a) = 5 a2.T对任意

18、的 X1 , X2 1 , a+1,总有 |f(X1) f(X2)|W 4,.f(x)max f(x)min w4,得1 waw3又 a2,2waw 3.故实数a的取值范围是2,3.B组高考题型专练1. (2014高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x) = xa(x0),g(x) = logaX的图象可能是()解析：函数y= xa(x 0)与y = logax(x0),选项A中没有幕函数 图象，不符合；对于选项 B ,y=xa(x 0)中 a1,y= logax(x0)中 0a0)中,0a0)中 a1, 不符合，对于选项 D, y=xa(x 0)中 0a0)中,0a0, q0)的两个不同的零点，且a, b, 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+ q的值等于.解析：依题意有a, b是方程x2 px+ q = 0的两根，则a+ b= p, a