材力第3章：剪切与扭转

1、 2021/2/112 2021/2/113 一、概述一、概述 实例实例: 方向盘的操纵杆 传动轴 钻头、钻杆 2021/2/114 1.1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动; ; 2.2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。 受力特点受力特点: : 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点变形特点: : Me Me 实际构件工作时除发生扭转变形外实际构件工作时除发生扭转变形外, ,还常伴随有还常伴随有 弯曲、拉压等其他变形。弯曲、

2、拉压等其他变形。 2021/2/115 传动轴的转速传动轴的转速 n ;某一轮上所某一轮上所 传递的功率传递的功率P (kW) 作用在该轮上的外力偶矩作用在该轮上的外力偶矩Me。 已知已知: : 求求: : 轮上外力偶矩轮上外力偶矩Me一分钟内所作的功等于一分钟内一分钟内所作的功等于一分钟内 该轮所输出的功该轮所输出的功: 3 e 2 (Nm)60 10 (J)MnP Me1 Me2 Me3 n 从动轮 主动轮 从动轮 二二 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 2021/2/116 传动轮的转速传动轮的转速n 、功率、功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之 间

3、的关系间的关系: n P M 2 60103 e )mN(1055. 9 3 n P Me1 Me2 Me3 n 从动轮 主动轮 从动轮 3 e 2 (Nm)60 10 (J)MnP 2021/2/117 若功率单位为马力时,经过单位换算可得到 )(7mkN n P m 主动轮为动力轮,其上外力偶的转向与 轴转动方向相同;从动轮为阻力轮,其上的外 力偶的转动方向与轴转动方向相反。 2021/2/118 m x 截面法: mm T 扭转内力通常用T表 示,称为扭矩。 0 x m由 mT 0mT 2021/2/119 若保留右段,则有 mT 即TT与大小相等,转向相反 m x mm T m T (

4、作用力反作用力) 2021/2/1110 为了表达方便,按变形特点规定符号 按右手螺旋法将扭矩T表为矢量, 若该矢量方向与截面外法线方向 一致为正,反之为负。 2021/2/1111 m Tm T m T m T 正 负 (a) (b) 2021/2/1112 m x mm T m T 无论保留左段还是右 段,得到的扭矩大小、符号 均相同,同时，若给出某截 面扭矩的大小和符号，则 无论保留左段还是右段， 都能方便地画出该截面的 扭矩 (大小、转向)。 2021/2/1113 已知A轮为主动轮,B、C、D ， 400kwP A ， 120kwPP CB kwP D 160 试求1-1,2-2,3

5、-3截面的扭矩。 ,轴的转速为300转/分, 为从动轮。 AB D C12 3 12 3 2021/2/1114 解: mkNmA73.12 300 400 55. 9 mkNmm CB 82. 3 300 120 55. 9 mkNmD09. 5 300 160 55. 9 2021/2/1115 mAmCmBmD mB T1 mB T2 mC T3 mD 作轴的受力图,利用截面法可求出扭矩 mKNMT B 82. 3 1 mKNMMT CB 64. 7 2 mKNMT D 09. 5 3 此时,T的符号具有双重意义。 2021/2/1116 + 5.0 9 3.8 2 (kNm) T mA

6、mCmBmD 7.64 mkNMT B 82. 3 1 mkNMMT CB 64. 7 2 mkNMT D 09. 5 3 132 2021/2/1117 mAmCmBmD mB T1 mB T2 mC T3 mD 若将力偶用矢量表示,则与杆的拉、 压内力计算完全类似。 2021/2/1118 通常指通常指 的圆筒，可假定其的圆筒，可假定其 应力沿壁厚方向均匀分布应力沿壁厚方向均匀分布 10 0 r 内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩T e MT 薄壁圆杆薄壁圆杆 n n MeMe l T Me n n r0 2021/2/1119 圆筒两端截面之间相对转过圆筒两端截面之间相对转过 的圆心角的圆心角 相

7、对扭转角相对扭转角 表面正方格子倾斜的角度表面正方格子倾斜的角度 直角的改变量直角的改变量 切应变切应变 tanlr即lr/ l A B D C Me Me 薄壁圆筒受扭时变形情况薄壁圆筒受扭时变形情况: : A B C D B1 A1 D1 C1 D D1 C1 C 2021/2/1120 Me Me 圆周线只是绕圆筒轴线转动圆周线只是绕圆筒轴线转动, ,其形状、大小、间距其形状、大小、间距 不变不变; ; 表面变形特点及分析表面变形特点及分析: : 横截面在变形前后都保持为形状、大小未改横截面在变形前后都保持为形状、大小未改 变的平面变的平面, ,没有正应力产生没有正应力产生 所有纵向线发

8、生倾斜且倾斜程度相同。所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。 横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周 向均匀分布向均匀分布 A B D C 2021/2/1121 Me Me 1 1、横截面上无正应力、横截面上无正应力; ; 2 2、只有与圆周相切的切应力、只有与圆周相切的切应力, , 且沿圆筒周向均匀分布且沿圆筒周向均匀分布; ; 薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析: : A B D C A B C D B1 A1D1 C1 D D1 C1 C n n Me r0 x t 3 3、对于薄壁圆筒、对于薄壁圆筒, ,可认为切应可

9、认为切应 力沿壁厚也均匀分布。力沿壁厚也均匀分布。 2021/2/1122 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式: A TrA 0 dt Ar T 0 t 静力学条件静力学条件 因薄壁圆环横截面上各点处的因薄壁圆环横截面上各点处的 切应力相等切应力相等 0 2 rA 2 0 2 r T ArArT A 00 dtt 得得 t dA n n Me r0 x r0 2021/2/1123 dzdydzdy 21 tt 21 tt dzdydx 1 t组成一力偶 x y z dx dy dz t1 t2 t3 t4 平衡,可推测上、下两个 面中必有剪应t3, t4 此处为

10、以横截面、径截面以及与表面平行此处为以横截面、径截面以及与表面平行 的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小 的正六面体的正六面体 单元体单元体 Me Me 0 y F 2021/2/1124 0 43 dzdxdzdxtt 43 tt dydzdx 3 t组成一力偶 31 tt 由平衡知 dzdxdydzdydx 31 tt x y z dx dy dz t1 t2 t3 t4 0 x F 2021/2/1125 单元体的两个相互垂直的单元体的两个相互垂直的 截面上截面上, ,与该两个面的交与该两个面的交 线垂直的切应力数值相等线垂直的切应力数值相等, , 且

11、均指向且均指向( (或背离或背离) ) 两截两截 面的交线。面的交线。 单元体在其两对互相垂直的单元体在其两对互相垂直的 平面上只有切应力而无正应平面上只有切应力而无正应 力的状态称为力的状态称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态。 t t t t 2021/2/1126 当剪应力不超过材料的弹性极限 时,剪应力t与剪应变成正比: t=G t G 材料的材料的切变模切变模 量量或或剪切弹性模量剪切弹性模量 t t 2021/2/1127 G与t同量纲 G、E、 均为反映材料性质 的材料常数对各向同性材料 这三 个量中,只有两个独立,它们满足下 列关系: 2(1) E G 2021/2/1128 思路

12、思路:观察变形,提出变形假设,导出应变与变 形的关系(几何关系)。利用材料本身 的性质应力-应变关系(称为物理关 系)，由应变规律得到应力分布规律。 利用应力-内力关系(静力关系)，可 得到用内力表示的应力公式。 2021/2/1129 各圆周线形状、大小、相邻两圆周线的间 距不变。 各纵向线近似于直线,只是倾斜了一个相同 的角度。 轴表面变形前的矩形格,变形后成了平行 四边形格。 m0 m0 2021/2/1130 从变形的可能性出发 假设:杆横截面像刚性平面一样绕轴线转动。 (刚性平面假设刚性平面假设) 此假设只适用于等直圆杆,假设的合理性 被实验结果和弹性理论所证实。 2021/2/11

13、31 设想，从轴上取出微段dx dx 1 2 x z y o 1 2 1 l x m m 12 12 dx A A o d max 截面2-2相对于截1-1将有一个相对的扭转角 d，根据刚性平面假设，截面2-2上的任意一半 径OA转动到0A ，且保持直线。如将圆轴看成 由无数个同心薄壁圆筒组成的，则在这一微段中， 组成圆轴的所有薄壁圆筒的扭转角均相等。 2021/2/1132 EG G G tan x d d d)2/( xd d d D G GE T T O1O2 ab a b dx DA d D G GE O1 O2 DA dx d 现求横截面上距圆心为现求横截面上距圆心为 的的点处的切应

14、变点处的切应变 2021/2/1133 式中 d dx 为相对扭转角沿杆长度的变化率,记为 d dx d GG dx t 上式表明:横截面上的切应力随着到圆心的距离 按直线规律变化,在同一半径为的圆周上,各点的 切应力均相等。 根据剪切胡克定律 称作:单位长度扭转角,对于给定的横截面 为常量。 2021/2/1134 ? d dx 横截面上剪应力的合成结果 就是该横截面上的扭矩。 2 AA dd GdAGdA dxdx A dATt t r dA t tmax dA o 2 p A IdA 称为横截面的称为横截面的极惯性矩 a b 2021/2/1135 在给定的横截面上,最外缘剪应力最大 m

15、axmax PP TT IW t max P P I W 抗扭截面系数 2021/2/1136 (1) 实心圆轴 取距离圆心为,厚度为d的环形面积为dA 于是, ddA2 /2 22 0 2 d P A IdAd 32 4 d 4 3 max 32 16 2 P P d Id W d d o d 2021/2/1137 (2) 空心圆轴 244 2 2 2() 32 D dP IdDd )1 ( 32 44 D D d 令 3 4 (1) 16 2 P P ID W D D o d d 2021/2/1138 等直圆轴在扭转时,杆内各点均处于纯 剪切状态,其强度条件是最大工作剪应力不 大于材料

16、的许用剪应力。 即 tmax t 等直圆轴强度条件为 max P T W t 2021/2/1139 根据上式可进行三种不同情况的强度计算 校核强度 设计截面 计算许可荷载 m a x P T W t m a x P T W t m a x P TWt 2021/2/1140 单位长度扭转角: p dT dxGI 相距dx的两横截面的扭转角 p dT dxdx dxGI p T ddx GI 2021/2/1141 相距L的两横截面的扭转角为 0 L pL T ddx GI 若在L长度内,T、G、I p为常数,则 上式可写成: 00 LL ppp TTTL dxdx GIGIGI 2021/2

17、/1142 GIp 抗扭刚度 对比 轴向拉压 EA NL l p TL GI 公式形式相似,适用条件相同。 圆轴扭转 2021/2/1143 为了保证轴的刚度,通常限 制轴的最大单位长度扭转角max 2021/2/1144 刚度条件: max 在工程中,的单位习惯上用 度/m,记为 /m,而按 (3-16) 式求出的值单位为弧度/m ， 此外，等直杆，(3-16) 式中的T 为 Tmax (3-17) 上式可改写成 max 180 p T GI (3-18) :许用单位长度扭转角 2021/2/1145 通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件。 按(3-18) 可进行三种不同形式的刚度计算:

18、即 校核刚度 max 180 p T GI 设计截面 max 180 p T I G 计算许可荷载 max 180 p GI T 2021/2/1146 实心圆轴的直径D=100mm,长 l=1m,两端受外力偶矩m0=14kNm作用，如 图所示。设材料的剪切弹性模量G=80GPa。 A B z m0m0 y C 2021/2/1147 (1) 杆内图示截面上A、B、C三点处的剪应 力数值及方向; (2) 杆内最大剪应力t max (3) 两端截面之间相对扭转角 试求: A B z m0m0 y C 2021/2/1148 解:(1) 由截面法,易求得轴任意截面的扭矩 均为T=m0 MPapa4

19、 .71104 .71 6 A p A I T t 3 12 4 3 1050 10 32 100 1014 2021/2/1149 截面扭矩为正号扭矩,由静力等效 的关系知:在整体图中从右往左看,剪应 力方向为tA水平向左，tB铅垂向下，tC 竖直向上。 A C B y z T 2021/2/1150 (2) 因为等直圆轴,且各截面T相等, 因此，轴内最大剪应力即为任 意截面最外缘的剪应力。 Mpa A 4 .71 max tt 2021/2/1151 (3) p TL GI )(1078. 1 10 32 100 1080 11014 2 12 4 9 3 弧度 2021/2/1152 一

20、传动轴,横截面上最大扭矩为 Tmax=1.5kNm,许用剪用力t=50MPa，试按 下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其 重量。 (1) 横截面为实心圆截面 (2) 横截面是内外径比 = 0.9的空心截面 2021/2/1153 解解: 设计实心圆轴 max max P T W tt max P T W t t max 3 0 16 Td 即 2021/2/1154 (2) 设计空心圆轴 max P T W t t max 43 )1 ( 16 T D 3 4 max )1 ( 16 t T D mm76 mmDd4 .689 . 0 m 3 3 64 3 1076 1050)9 . 01

21、(14. 3 105 . 116 2021/2/1155 (3) 比较重量 同种材料,杆长相同,所以，重量比即 为横截面面积之比 395. 0 54 5 .6876 4 4 2 22 2 0 22 d dD 重量比 空心轴远比实心轴轻,说明空心轴材 料利用率高。原因? 2021/2/1156 有一外径D=100mm,内径d=80mm 的空心圆轴与一直径d=80mm的实心圆轴用键联 接(如图所示)。在A轮输入功率为N1=300马力。 在B、C轮处分别负载N2=150马力、N3=150马力。 若已知轴的转速为n=300转/分。材料的剪切弹性 模 量 为 G = 8 0 G P a , 轴 的 扭

22、转 许 用 剪 应 力 t=100MPa，许用单位长度扭转角=1/m ，要 求: 2021/2/1157 (1) 校核轴的强度和刚度(不考虑键的影响) (2) 三个轮的位置应如何设置才较为合理 (3) 经合理布置各轮位置后,求C截面相对 A截面转角 ABC 2m1m1m D 2021/2/1158 解: 计算外力偶 mkNm7 300 300 7 1 mkNmm5 . 3 300 150 7 32 2021/2/1159 绘制扭矩图 m1m2m3 2m1m1m + + T (kNm) 2021/2/1160 刚度校核 “ AD”轴 3 max max 96 1807 10180 80 105.79 10 AD p T GI 0.8661 mm 124444 10)80100( 32 )( 32 I dD p 式中 46 1079. 5m 2021/2/1161 “ DC”轴 3 max max 96 1803.5 10180 80 104.02 10 D