变型鸡兔同笼问题与假设法详细典型题型

1、1第三讲 变型鸡兔同笼问题与假设法【专题知识点概述】1500大约在问题吗？这个问题，是我国古代着名趣题之一。你以前听说过“鸡兔同笼”年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何？这四句话的意思是： 有若干只鸡兔同在一 只脚。求笼中各有几 只鸡和兔？个头；从下面数，有 94个笼子里，从上面数，有35古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析， 而是将题中的条件或问题进行变形， 使之转化，直到最终把它归成某个已经解决 的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设

2、法”！【授课批注】本节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样性中体验最优思想, 培养学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法， 体验了解决问题策略的多样同时体会解题过程性，使学生感受“鸡兔同笼”问题 的变式及其在生活中的广泛的应用，中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了 学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了 学生的个性，使学生在各种数学思 想的渗透中形成良好的数学解题能力。“鸡兔同笼”问题基本解题公式1 ）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（=兔数；每只鸡的脚数X总头数）十（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）-（总脚数=鸡数。总头数-兔数鸡数；-每只鸡脚数）= 或者是

3、（每只兔脚数X总头数-总脚数）十（每只兔脚 数兔数。-鸡数= 总头数）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比 兔的总脚数多时，可用式（2兔数；每只兔的脚数）=（每只鸡脚数X总头数- 脚数之差）*（每只鸡的脚数+ =鸡数-总头数兔数=鸡数；鸡兔脚数之差）十（每只鸡的脚数+每只免的脚数）+ 或（每只兔脚数X总头数 兔数。-总头 数鸡数=）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（3 =每只兔的脚数）兔数；（每只鸡的脚数X总头数+鸡兔脚数之差） 十（每只鸡的脚数+鸡数。兔数总头数-=鸡每只兔的脚数）=鸡兔脚数之差）十（每只鸡的脚数或（每只兔的脚数X总头数-+数；兔数。=

4、鸡数-总头数（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数X产品总数-实得总分数）宁（每只合格品得分数+每只不合 格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）宁（每只合 格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题） , 可用下面的公式：（两次总脚数之和）*（每只鸡兔脚数和） + （两次总脚数之差）*（每只 鸡兔脚数之差）丨* 2=鸡数；（两次总脚数之和）*（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）*（每只 鸡兔脚数之差）宁2=兔数。【授课批注】用不同方

5、法（同为鸡，同为兔，砍足，增头，图示法等）解决问题，增强学生知 识面和拓展思维。【重点难点解析】1. 通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题2. 对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法【竞赛考点挖掘】1. 假设法的应用2. 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理【习题精讲】【例 1】（难度等级 ）工人运青瓷花瓶 250 个，规定完整运一个到目的地给运费 20 元，损坏一个要倒 赔 100 元，运完这批花瓶后，工人共得 4400 元 .问共损坏了几个花瓶？【分析与解】假设250个能够完整运达目的地。将得运费250 X20=5000 （元）,与实际所得 相差 5000-4400=600（元）。

6、损坏个数 600 -（100+20 ） =5 （个）。【例 2】（难度等级 ）松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个.它一连几天采 了112个松果，平均每天采 14个.问这几天中有几个雨天？【分析与解】因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个,所以实际用了 112十14二8（天）. 假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果 20 X 8 = 160 （个），比实际采的多了160 - 112 = 48 （个），因雨天比晴天少采20 - 12 = 8 （个），所以共有雨天48 宁8= 6 （天）.【例 3】（难度等级 ）四年级四班有 60个学生参加下棋活动老师准备了象棋

7、、 跳棋20副， 2人下一幅 象棋， 6 人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？【分析与解】假设 20 副均为象棋，共有 20X 2=40 （人）在玩，还有 20 人没参加活动。跳 棋数 20 -（6-2 ） =5 （副），象棋数 20-5=15 （副）。【例 4】（难度等级 ）实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了 10 道题目，答对一道得 10 分，答错 一题反扣 5 分（没有不答的情况） 。张华得了 70 分，他答对了几道题？ 【分析与解】假设所有问题全部答对，得分10 X 10=100（分），比实际得分多100-70=30（分），错题数：30 -（10+5 ） =2 （道），正确题数：10

8、-2-8 （道）。【例 5】（难度等级 ）蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。每种小虫各几只？ 【分析与解】因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“ 8 条腿” 与“ 6 条腿”两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数（118 6 X 18） - （8 6） = 5（只）。因此就知道6条腿的小虫共18 5 = 13（只）。也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀。蝉数（13 X 2 20） - （2 1） = 6（只）。因此蜻蜓数是13 6 = 7（只）

9、。【例 6】（难度等级 ）一份稿件,甲单独打字需 6小时完成.乙单独打字需 10 小时完成,现在甲单独打若 干小时后,因有事由乙接着打完 ,共用了 7小时.甲打字用了多少小时？ 【分析与解】我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30 -6=5（份），乙每小时打30 - 10=3（份）. 现在把甲打字的时间看成兔头数 ,乙打字的时间看成鸡头数 ,总头数是 ?兔的脚数 是?鸡的脚数是 3,总脚数是 30, 就把问题转化成鸡兔同笼问题了 . 根据前面的公式（5-3） =4.5,-7） X =（30-3 数兔鸡数=7-4.5 =2.5,也就是甲打字用了 4.5 小时,乙

10、打字用了 2.5 小时 .【例 7】（难度等级 ）有 50 位同学前往参观 ,乘电车前往每人 1.2 元 , 乘小巴前往每人 4 元 , 乘地下铁路 前往每人 6 元.这些同学共用了车费 110 元 ,问其中乘小巴的同学有多少位？ 【分析与解】由于总钱数 110 元是整数 ,小巴和地铁票也都是整数 ,因此乘电车前往的人数一定 是 5 的整数倍 . 如果有 30 人乘电车 , 110-1.2 X 30=74（ 元）.还余下 50-30=20（ 人）都乘小巴钱也不够 .说明假设的乘电车人数少了 .如果有 40 人乘电车 110-1.2 X 40=62（ 元）.还余下 50-40=10（ 人）都乘地

11、下铁路前往 ,钱还有多 （626 X 10）.说明假设的乘电 车人数又多了 .30 至 40 之间 ,只有 35 是 5 的整数倍 . 现在又可以转化成鸡兔同笼了 :总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2 X 35=68.因此 乘小巴前往的人数是（6 X 15-68）十（6-4）=11.【例 8】（难度等级 ） 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120 元共买了 55 个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多 .问每种球各买几个？【分析与解】因为总钱数是整数 ,大,小球的价钱也都是整数 ,所以买中球的钱数是整数 ,而且还 是3的整数倍.

12、我们设想买中球 ,小球钱中各出 3元.就可买 2个中球,3 个小球.因 此 ,可以把这两种球看作一种 ,每个价钱是（1.5 X 2+1 X 3） - （2+3）=1.2（元）.从公式可算出 ,大球个数是（120-1.2 X 55） - （3-1.2）=30（个）.买中,小球钱数各是（120-30 X 3） - 2=15（元）.可买 10 个中球,15 个小球.答:买大球 30 个,中球 10 个,小球15 个.【例 9】（难度等级 ）使用甲种农药每千克要兑水 20 千克，使用乙种农药每千克要兑水 40 千克根 据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共 50 千克，要配

13、药水 1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？【分析与解】假设50千克都是乙种农药，那么需要兑水40 X 50 = 2000（千克）但题目要求配药水 1400水，又已知）千克650（ = 1350 2000 .多用了）千克1350（ = 50 1400即实际 兑水 千克，使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20 = 20（千克）,所以推知，在混合农药中甲种农药有 650 -20 = 32.5（千克）.【例10（难度等级某工厂的27位师傅带徒弟40名，每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名 徒弟，如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有几位

14、？【分析与解2=18（位）；带两名或三名徒弟的师傅有 27-18=9（位X带一名徒弟的师傅的人 数是：27） , 3他们共带40-18=22（名）徒弟，如果这9位师傅带两名徒弟，他 们只能带18名徒弟，还有22-18=4（名）徒弟没人带，所以应有4位师傅每人带 三名徒弟，带两名师傅有5位。【例11 （难度等级丿某商场为招揽顾客举办购物抽奖奖金有三种：一等奖1000元,二等奖250元，三等 奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？【分析与解假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人）1000/50=20 ，也就是说：把2

15、0个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而 人数减少了： 20-仁19 （人）250/50=5，也就是说：把5个三等奖换成一个 二等奖，奖金总额不变，而 人数减少了： 5-1=4 （人）。因为多出的是90人, 而：90=19*2+4*13.即：要使总人数为100，只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。所以，二等奖有13个人。【例12 （难度等级丿今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002 年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄 的年龄的 3 倍时 ,是公元哪一

16、年？【分析与解】4 年后 ,两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25, 父母年龄之和是 78+8=86. 我们可以把兄的年龄看作鸡头数 ,弟的年龄看作兔头数 .25 是总头数.86是总脚数.根据公式，兄的年龄是（25 X 4-86） - （4-3）=14（岁）.1998 年,兄年龄是 14-4=10（ 岁）.父年龄是 （25-14） X 4-4=40（ 岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10） - （3-1）=15（岁）,这是 2003 年.【例 13 】（难度等级 ）有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算 ,每只 2角,如

17、 有破损,破损瓶子不给运费 ,还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元,问这次搬 运中玻璃瓶 ？ 破损了几只【分析与解】如果没有破损 ,运费应是 400 元.但破损一只要减少 1+0.2=1.2（ 元）.因此破损只数 是（400-379.6） - （1+0.2）=17（只）.【例 14 】（难度等级 ）从甲地至乙地全长 45 千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时 3千米, 平路上速度是每小时 5千米,下坡速度是每小时 6千米.从甲地到乙地 ,李强行走了 1 0小时;从乙地到甲地 ,李强行走了 11 小时.问从甲地到乙地 ,各种路段分别是多少千米？【分析与解】 把来回路程

18、45 X 2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程 ,根据例 15,平均速度是每小时 4 千米.现在形成 一个非常简单的鸡兔同笼问题 .头数 10+11=21, 总脚数 90, 鸡,兔脚数分别是 4 和 5.因此平路所用时间是（90-4 X 21） - （5-4）=6（小时）.单程平路行走时间是6宁2=3（小时）.从甲地至乙地 ,上坡和下坡用了 10-3=7（ 小时 ）行走路程是45-5 X 3=30（ 千米）.又是一个鸡兔同笼问题 .从甲地至乙地 ,上坡行走的时间是（6 X 7-30） - （6-3）=4（小时）.行走路程是 3X4=12

19、（ 千米）.下坡行走的时间是7-4=3（小时）行走路程是6X 3=18（千米）. 答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.【例 15 】（难度等级 ）某次数学考试考五道题 ,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对 1道 题,做对1 道的有7人,5道全对的有 6人,做对2道和3道的人数一样多 ,那么做 对4道的人数有多少人？【分析与解】对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39（ 人）.他们共做对 181-1 X 7-5 X 6=144（ 道）.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多 ,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人（2+3） - 2=2.5）.这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144，总头数=39.对 4 道题的有(144-2.5 X 39) - (4-1.5)=31(人).作业】1. 东湖小学六年级举行数学竞赛 ,共20道试题. 做对一题得 5分,没有做一题或做 错一题倒扣 3 分.刘刚得了 60分,则他做对了几道题？【答案】 15米的平 14米的山路和每段长 9 千米，全长由每段长 220自行车进行越野