几何非线性有限元分析课件(1)

1、.1大变形条件下的应变和应力度量第8章几何非线性有限元分析一应变度量结构的初始构型:0Xi (i = 1,2,3)0o + J oP： x， Q：Xid xt时刻的构型：X (i T2,3)P txi， Q X + dX两种构型下的坐标可相互转化: *拉各朗日(Lagrange)描述tt , 000 XX厂 Xi( Xi, Xi, Xi)基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量*欧拉(Eular)描述00 zttt XX厂 Xi ( Xi , Xi , Xi )基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量根据以上变换:d tX

2、iXid 0XjXi,jd定义:XjXi,jXiXjXjd 0XiXiXjXiXjd txjXifjPQ线段的长度：Cds） 2 d Xid Xj 0t 2ttP，Q，变形后的长度：（ds）二d Xjd Xi(tds)- (ds)2 二xkod xko d-xkXLd xkXLdxkoxxkXoqod6xktoXodooXodot；0 ij=2(；Xk,i；Xk,jj)Green-Lagrange 应变(Green 应变)(tds) (ds)2 二 d txkd txk=(ij0xk-d 0xkd xk二 d txkd txk -0X . t,i 0Xk,j)dtXidtx 2tr odtXi

3、dtXj0. t 0. ttXk,id Xi tXk,jd Xjt . tt ；t ij1 0 02( ijtxk,i txk,j),Almansi 应变定义位移向量:uiXi,jijij2(0ui,ijXiXiuiXjijuiXi,jijj,ik,ik, juiuiXjUj,ik,i tk,j)uiXjXjUjXiXiijUi,jXjXjXjXj在小应变情况下:tZ0 ijtz = zt ij ij.应力度量欧拉应力张量（Green应 力张量）：V ij表示变形后的构型的三 个坐标面上的应力构成的张 量。是对称张量寺工程应变变形后表面上的应力:/图血2应力的滾対tldTUCFtdS，tdSa

4、0dT变形前的应力：dS需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法:(1) Lagra nge 规定：小丁=*丁(2) Kirchhoff 规定：dTi(K 0xi,j tdTj与坐标变换规律相同：dXj = Xi,jdtXj0dTj(L)= 0Tji 0Vj dS = *丁 ,0Tji :第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称TdXLsto-K/VKirchhoff应力张量，对称0tSji :第二类 Piola-Kirchhoff 应力各种应力张量之间的关系:(1)由质量守恒：0VtV0Vdet(0Xi,JdV二 d ex(i0Tji0 ；

5、-t ；-0t0X(3)0tSji 0 0t( t Xj ,m t Xi ,nmn(4)0tSjit Xi ,m 0Tjm注意：oTjm是非对称张量，是对称张量.2几何非线性问题的表达格几何非线性问题的有限元分析，通常采用增量分析的方 法。考虑直角坐标系内的物体，增量分析的目的是：确定物体在IV:系列时间点，0t,2 t3 t,lll，处于平衡状态的位移，速度，应变和应力。.虚位移原理（虚功原理）0x :描述初始时刻的物体内各点坐标。 tX :描述时刻t的物体内各点坐标。Wi :描述时刻r m的物体内各点坐标。t0tt t 0t tX厂 Xi Ui，X厂 XiUit +也 tt从t到r M的位

6、移增量：u厂Ui - Ui在t t时刻应用虚功原理:t 讥r tt 讥t tt tWtStk (uQ dV t tVWk) dV(t t$j ) = 2 (t tui,j t t uj,i )1 uu i(1 j )t t- t t2 XiXit hr )7r : tW增量法的求解的基本思想是：t意见时刻的相应是已知的，L込t时刻 的相应未知（待求）。由两种方法：（1） 完全 Lagrange格式（L. 格式：Total Lagrange Formulation）以初始时刻的构型为参考构型（2）更新 Lagrange格式（U丄. 格式：Updated Lagrange Formulatior）

7、 以t时刻的构型为参考构型。t 11-0tkt厶t f0 f1 完全Lagrange格式单位初始表面上的等效荷载（面力）单位初始质量上的等效荷载（体力）: 如果荷载不随变形变化（保守力）：t 逬 r tr t 0r ttk dSotk dSfkdVr tot tr r t r tr tt+Jkdo由质量守恒，可知:t t ft化t t fk一ij)Xk,iXk,i),ixk,jXk,it -1Xk,j)t t0 xk,i0Xk,j(0Xkuk)Xi/ 0(XkXjkikiUk)kiXi)(kj)(XikjXjXjXm,i )(kjXnXn,j)66+Xk,iXk,jij)t -1Xm,it -

8、1m,iXk,jt t,iOXn, j0Xn, jXnemn )Xn,jm,iXk,iOXn, j应力:SjiXj,mXi,nmn000r tt ；-0 0t = t X j ,m t-t Xi ,nt t0xm,it tx t t (0 n, jmn mnV - t emn )t 6mn0Vt，tS . (t 逬0 ji0ij)dV因此，虚功原理可表示成:t *t0V0 r(t t emn ) t、七囘（0 j0V)dVmn (t t emn ) t、dVt讪t tt tt : tWt tS tk (Uk) dVt+At=OS 0tk (Uk)0dVoV0：?为了便于求解：将应力和应变分解成

9、:oS j icoAto+COo+fk (uj dVt rt tt to fk (Uk)dVt时刻引起的应力增量从t到t +也t时刻引起的应变增量6 ( t+At = d z (0 ji )( 0 ji )将应变增量进一步分解:ijijij2(uij ,ik,it -1k,j)寸(。tui.Uj,ik,i 0k,j)Ui,Uj,iUj,ik, jk, j)(k,ik,i)Uj,ik,ik,j)uj,ik, jk,ik, j 0k,ik,j 0k,i12_ 1 z勺2 ( 0Ui，j0Uj，in _ 10 ij 2 0Uk, j 0 Uk,i虚功原理可进一步写成：tt0 uk, j 0 uk,i

10、 0 uk, j 0 Uk,i )oV oSji (o ij )dV . ovdsnt onO0V OSj(oeij)dVT时刻的应力相当于初应力。可转化成等效荷载体现在方程中。三.更新的 Lagrange格式更新的Lagrange格式的表达式，与完全 Lagrange格式类似。 所不同的是，参考构型是t时刻的构型。表达式中的0指标改 成t，即可获得更形的Lagrange格式的表达式。（略）四.平衡方程的线性化（1）物理方程的线性化：oSj = oDjkl o；kl对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有 oDjki = Dijki材料的弹性常数张量。（2）求解格式的进一步线性化：0V

11、 0Sj(0 ij )dV -0V0 Dijkl 0 kl(0 j )dV0V0 Dijkl 0 kl (0eij )dV0V0 Dijkl 0ekl(0 ij )十；kf（0列）十 0口 J （； ij ）dV带入虚功方程，0V 0Sj(o j )dV0Vsnt uno-讪A+6SSto(oej)dv可获得用位移和应变表示的虚功万程:0 Dijkl oekl(0ej)dV +stoV(0 j)dVW6snt u(q)dV出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下 也。诚宜开张圣听，以

12、光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏， 有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以 驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝