二分法牛顿迭代法普通迭代法资料

1、 计算机与通信工程学院 I 储 School of Compuier and ComumcaiKXi Engine窃Ing 数值球根试验报告 数值计算方法 专业班级 姓 名 学号08083117 时间2010年10月24日星期天 实验目的 熟悉二分法以及牛顿迭代法求方程近似根的数值方法，掌握各种迭代 方法，自己扩张研究迭代法的效率与收敛性和初始值的关系。 实验内容 1. 已知f (x) =x3 4x2 一10 = 0在1,2】上有一个实根x* ， f(1) = -5, f(2)= 14，用二分法和牛顿迭代法求该实根，要求精度满足条 ,. * 1 3 件：x xk*兰尹灯0 。 2. 条件允许的

2、话，扩展研究各种迭代法的效率，以及迭代的效率和 收敛性与初始值的关系，并通过比较采用两点加速的方法与普通的方法的 效率体验加速迭代的优点。 总而言之，本实验中的用到的求根方法有二分法，牛顿迭代法， 1 丄 迭代函数为(x)二丄(10-x3)2的迭代方法，以及对函数 2 1 (x!(1x3)2采用两点加速迭代的方法。 2 三、主函数流程 程序是按顺序运行的，流程图如下图所示: 迭代法 分法 结束 等待用户输 入求根方式 开始 value=x*x*x+4*x*x-10; return value; /根据参数x的值计算函数f(x)的导数值 double divFunc(double x) retu

3、rn 3*x*x+8*x; /二分法计算方程f(x)=0在1,2上的跟 / 二份迭代结束条件由参数 precision 精度给出 void biSectionMethod(double precision) int k=0;/ 均分次数 double x1=1.0,x2=2.0;/区间1.0,2.0 double midx;/ 二分之后的值 printf(nt k 有根区间k+1f(x(k+1) ); do printf(nt%3d,k); printf(%.3f,%.3f,x1,x2); midx=(x1+x2)/2; printf(%f,midx); printf(%.6f,func(mi

4、dx); if (func(midx)=precision);/ 区间的长度超过 5e-3 就一直迭代 printf(nt二分法分区间的次数：d所求的根是：lf,k-1,x2); / 牛顿迭代法 /根据初值值xO,在区间1.0,2.0上迭代求根 /迭代次数由参数 precision 精度决定 void NewTonMethod(double x0,double precision) int k=0;/ 迭代次数 double x1,x2=x0; printf(nt kx(k)f(x(k)|x(k+1)-x(k)|); do printf(nt%2d,k); printf(%.6f,x2); p

5、rintf(%.6f,func(x2); x1=x2; x2=x2-func(x1)/divFunc(x1); if (x2-x10) printf(%.6f,x2-x1);/输出两次迭代的差值 else printf(%.6f,x1-x2); k+; if (k%3=0) / 每次输出 4 个等用户审查 getch(); while (x2-x1precision|x1-x2precision); printf(nt牛顿迭代初值：lf次数:d所求的根是：lf,x0,k-1,x2); / 迭代函数 g(x)=(sqrt(10-x*x*x)/2; double funcTwo(double x)

6、 return (sqrt(10-x*x*x)/2; /普通迭代函数 void ordinaMethod(double x0,double precision) int k=0;/ 迭代次数 double x1,x2=x0; printf(nt kx(k)f(x(k)|x(k+1)-x(k)|); do printf(nt%2d,k); printf(%.6f,x2); printf(%.6f,func(x2); x1=x2; x2=funcTwo(x1); if (x2-x10) printf( %.6f,x2-x1); / 输出两次迭代的差值 else printf( %.6f,x1-x2

7、); k+; if (k%3=0) / 每次输出 4 个等用户审查 getch(); while (x2-x1precision|x1-x2precision); printf(nt普通迭代初值：lf次数:d所求的根是：lf,x0,k-1,x2); / 使用两个跌代值的组合加速跌代 / 对迭代函数 f(x)=(sqrt(10-x*x*x)/2 的加速 void twoValue(double x0,double precision) int k=0;/ 迭代次数 double x1,x2=x0; printf(nt kx(k)f(x(k)|x(k+1)-x(k)|); do printf(nt

8、%2d,k); printf(%.6f,x2); printf(%.6f,func(x2); x1=x2; x2=(funcTwo(x1)+x1)/2; if (x2-x10) printf(%.6f,x2-x1);/输出两次迭代的差值 else printf(%.6f,x1-x2); k+; if (k%3=0)/ 每次输出 4个等用户审查 getch(); while (x2-x1precision|x1-x2precision); printf(nt 两点加速迭代初值:%lf,次数:4根:lf,x0,k,x2); void main() double orgin=1.5;/ 初始值 do

9、uble precision=5e-6; / 精度 char sel=0;/ 操作符 while(1) printf(nt 选择:);printf(nt1. 二分法 nt2. 迭代法 nt); sel=getch(); printf(nnt 注：程序停止处按任意键继续 ); if (sel=1) printf(nnt * biSectionMethod(precision); else 分法求解过程 * / 测试函数 ); printf(nt 输入迭代的初值 :); scanf(%lf, /if (orgin2.0|orgin1.367 9 3631.3651 10 1-364,1.3651

10、11 1.365,1.3651 12 1.365,1.365 13 1-365,1-3651 14 1.365,1.3653 15 1.365,1.3651 16 1-3：(xH1(1x3)，结果如下: 2 *普通迭 ftsr = s qrt /2 * k 耳g f ：x-x: 0 11陌0000 -3.829000 0.372158 1 1-472158 1.859535 0.167411 2 1-304748 -0.969377 0.099781 3 1.394529 0.490796 0044710 4 1-349819 -0.2525&9 0.023190 5 1-373009 0.1

11、28947 0.011790 e 丄361219 -0.0&6108 0.006057 ? 1.367276 0.033820 0.003095 8 1.3641S1 -0.017321 0.001586 9 1365767 0.008866 0B00812 10 1.364955 -0.004539 0.000416 11 1-365371 0.U02324 0.00U213 12 丄365158 -8.001190 0.00H109 13 1.365267 0.000609 0 000056 14 1.365211 -0.000312 0.00U029 15 1.365240 0.0001

12、60 0.003015 16 1.365225 一00000S2 000000? 17 1-365233 0.000042 0.000004 瞽裁磨ZE次数所求的根是：55229 接着可以看到的是用两点加速法对函数 ；:(x) -(lO-x3)。的加速: 2 wrtti.卜.f古上*Hin片古；出_ .=、蓝站址童”址董宜三資童 *则 1 1M 爼 口X 2 +x ?Z. * k x f x lx-xl 0 11耐0000 -382?000 0.186079 1 1-286079 -1.25682? 0.058424 2 1.3445B3 -0-33S797 0.015569 3 136007

13、2 -0.084955 0.003893 4 1363965 -0.020873 0.000956 & 1-364921 -0.005102 臥000234 6 1.365155 -0001246 0.00005? 7 1365212 -0 000304 0000014 8 1-365226 -0.000074 0.000033 临針值次如根1329 1亠 下面采用不同的初值查看普通迭代函数的收敛性与效率: 各个结果如下： 背通迭代初值:亠2豳0腼”次数= 17,所求的根是:丄-3陌2加 上图对应的是收敛性：收敛的 上图收敛的，且速度比上面的要快。 背通迭代初值:-2.500000.次数:1,所求的根是：-l.#IND00 上图对应的是收敛性：发散的 六、结论与分析 从以上的程序可以看出一下几点结论 1、二分法和迭代法均能解出方程的根。 2、一般地看来，牛顿迭代法的效率较普通迭代法的要高，两点加速迭 代法能加速一般迭代法。 3、迭代法对初值是敏感的，若初值选择的不合适可能导致迭代的效率 1 3 2 很低，甚至是发散的。例如，对于函数(x)(10 - x3)2形成的迭