数学与应用数学专业毕业论文26601

1、 概率统计在经济中的应用概率统计在经济中的应用 概率统计在经济等学科中的应用 内容摘要 概率论与数理统计是随着社会的发展以及人们由社会实践经验根据大量的随机现 象规律的研究和归纳而产生的一门学科。通过不断的发展，概率统计的方法已经越来 越受到重视并日益渗透到各个领域，广泛应用于经济学、医学、金融保险甚至人文科 学中。本文通过具体实例讨论了概率统计知识在经济管理决策、商品生产和销售、商 品营销、经济保险问题、疾病发生概率计算等问题中的应用。 【关键词】概率统计 经济学 遗传学 应用 the application of the probability and statistics in econ

2、omics, genetics and other disciplines abstract the theory of probability and the mathematical statistic is a discipline which produces along with the development of our society as well as peoples research and the induction through the social practice experience that based on large numbers of random

3、phenomena.through the unceasing development, the probability statistics method has already received more and more attention and it is increasingly penetrated to each domain,and is widely used in economics, medicines, and financial insurances and even humanities.through the concrete example,this arti

4、cle discussed the application of probability statistics knowledge in the economical management decision-making, the productions and sales of the commodity, the marketing of the commodity , the issues of the economical insurance, and the computation in the probability of occurence of the diseases and

5、 so on. 【key words】probability and statistics economics genetics applications 目 录 引言 .(1) 一、在经济管理决策中的应用 .(1) 1 数学期望、方差的应用 .(1) 2概率性质的应用.(3) 二、在商品生产和销售中的 应用 .(4) 1 假设检验在检验商品中的应用 .(4) 2 概率分布在商品销售中的应用.(5) 三、在商品营销中的 应用 .(7) 四、在经济保险问题中的应用 .(8) 五、在疾病发生概率方面的应用 .(10) 小结.(11) 参考文献.(11) 致谢.(12) 概率统计在经济学等学科中的应

6、用 学生姓名：xxxx 指导老师：xxxx 引言： 概率统计是一门相当有趣的数学分支学科，是各院校数学专业以及经济学与生物 学等专业的一门必修基础课，一般要求学生学习和掌握其基本概念、基本方法、基本 理论，有利于学生对专业课的进一步研究。实践证明，概率统计与经济学有密切关系， 为经济问题的研究与决策提供了新的手段。在生物学方面，根据遗传的基本定律和有 关概率的数学知识,通过相关计算，可以了解某种疾病发生可能性的大小 一在经济管理决策中的应用 管理者在进行经济管理决策之前，总是存在一些不确定的随机因素，因此做出的决 策有一定的风险, 概率统计的知识可以帮助管理者更好地理解与问题有关的风险和不 确

7、定等方面的信息，从而有利于管理者作出合理的决策，实现以最小的成本获得最大 的安全保障的目标。 1 数学期望、方差的应用 1.1 数学期望定义 （1） 设离散随机变量x的分布列 1,2,n,.( )(), ii p xp xxi 如果 ， 1 |( ) ii i xp x 则称 （1-1 1 ()( ) ii i e xx p x ） 为随机变量的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。x （2）设连续随机变量x的密度函数为。如果( )p x ，| ( )x p x dx 则称 （1-2()( )e xxp x dx ） 为的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。x( )p

8、 x 1.2 方差的定义 设随机变量的数学期望存在，则称偏差平方的数学望 2 x 2 ()e x 2 ()xex 为随变量（或相应分布列）的方差，记为 2 ()e xexx （1- 2 2 1 + 2 - ()( ), () ()( ) ii i xe xp x vare xe x xe xp x dx 在离散场合 ，在连续场合 3） 1.3 应用 例1 某投资人有一笔资金，可对三个项目进行投资：农业a、工业b、和旅游业 c，每个项目的收益和市场状态有关。如果把未来市场划分为优、良、差三个等级， 它们发生的概率分别为，。根据市场调研的总体情况得 1 0.3p 2 0.6p 3 0.1p 到各种

9、投资在不同等级状态下的年收益（万元）。见表1-1： 表1-1 各种投资年收益分布表 问题：该投资人怎样投资更好？ 解：计算数学期望得： ；( )11 0.33 0.6( 3) 0.14.8e a ；( )6 0.34 0.6( 1) 0.14.1e b ；( )10 0.32 0.6( 2) 0.14.0e c 由数学期望得到，投资农业的平均收益最大，有可能选择农业，可是投资不仅要 考虑收益还要考虑风险，我们再来计算方差： ； 222 ( )(11 4)0.3(34)0.6( 34)0.115.4d a 优良差 p0.30.60.1 农业 113-3 工业 64-1 旅游业 102-2 ； 2

10、22 ( )(63.9)0.3(43.9)0.6( 1 3.9)0.13.71d b ； 222 ( )(103.2)0.3(23.2)0.6( 23.2)0.112.96d c 由于方差越大，收益的波动就越大，因此风险也越大。根据计算结果看，投资农 业的风险比投资工业的风险更大，如果收益与风险综合考虑,该投资者选择投资工业最 好, 即使平均收益少0.7万元, 可是风险要小一半以上。 2 概率的性质的应用 2.1 概率的公理化定义 设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事，a 定义在上的一个实值函数满足：( )p a （1） 非负性公理 若a，则0；( )p a （2） 正

11、则性公理；( )1p （3） 可列可加性公理 若互不相容，有 12 , n a aa （1-3） 11 ()() ii ii pap a 则称为事件的概率。( )p aa 2.2概率的可加性 对任一事件,其对立事件为，有aa （1-4）( )1( )p ap a 2.3 应用 例2 为了防止某种疾病的发生，某县积极制定出了一系列相关的预防措施。设该 校可实际使用的四个预防措施为a、b、c、d，并且它们之间是相互独立的。经过多方 考察，得到下表1-2： 表1-2 预防措施及相应概率和费用 预防措施 abcd p0.940.830.760.63 费用（万元） 9631 注：p 表示单独使用a、b、

12、c、d预防措施后该事件不会发生的概率。“费用” 表示只使用相应的措施的花费。但是由于该县财力有限，只能提供12万元资金。要求 我们制定出比较合理预防措施。（方案可单独使用也可联合使用） 解：方案一：只使用a措施时，此事件不发生的概率最大为0.94，,费用为9万元。 方案二：a、c两种措施共同使用时，此事件不发生的概率最大为p=1-（1-0.94） （1-0.76）=0.9856，费用为12万元。 方案三：a、c、d三种措施共同使用，此事件不发生的概率最大为p=1-（1- 0.83）（1-0.76）（1-0.63）=0.9849，费用为10万元。 根据上述三种预防方案计算结果可知，当总费用不超过

13、12万元时，使用方案三比 较合理。 二 商品生产和销售中的应用 在现今市场经济的社会环境中, 商家比较关心的问题是，如何在商品的生产和销 售中获得比较好的经济效益。概率统计的相关知识，在商品生产的质量管理和商品销 售等方面有比较广泛的应用。 1 假设检验在检验商品中的应用 通过对选取样本的考察，作出对总体情况的一些判断是数理统计的基本任务, 而在 实际生产中,统计假设问题可以解决很多问题，因此，首先可以对总体的分布参数或分 布律作出某种假设，然后根据得到的样本,通过运用统计分析的方法检验这一假设是否 正确, 从而作出决定，接受或拒绝。也就是以子样为基础作出一个把握较大的结论。 1.1假设检验的

14、基本步骤 （1）建立假设 在假设检验中，常把一个被检验的假设称为原假设，用表示，通常将不应轻 0 h 易加以否定的假设作为原假设。当被拒绝时而接受的假设称为备择假设，用表示， 0 h 1 h 它们常常成对出现。 （2）选择检验统计量，给出拒绝域形式 由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，该统计量称为假设统计量。 使原假设被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域，一般它是样本空间的一个子集， 并用表示，将称为接受域。ww （4） 选择显著性水平 检验的结果与真实情况可能吻合也可能不吻合，因此，检验是可能犯错误的。检 验可能犯的错误有两类：其一是为真但由于随机性使样本观测值落在拒绝与中，从

15、0 h 而拒绝原假设，这种错误称为第一类错误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率， 0 h 或称拒真概率，通常记为，即 （2-1） 000 (|=(),phhp xw 拒绝为真） 其中表示样本。另一种错误是不真（即为真）但由于随机性使样 1, ,) n xxx（ 0 h 1 h 本观测值落在接受域中，从而接受原假设，这种错误称为第二类错误，其发生的概 0 h 率称为犯第二类错误的概率，或称受伪概率，通常记为，即 （2-2） 011 (|=(),phhp xw 接受为真） 水平为的检验就是要控制犯第一类错误的概率，但也不能使过小（过小会导 致过大） ，在适当控制中制约，最常用的选择是=0.05，

16、有时也选择=0.10或 =0.01。 （4）给出拒绝域 在确定显著性水平后，我们可以定出检验的拒绝域。w （5）作出判断 在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值我们可以做出判断。w 1.2 应用 例1 某厂铸造间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件， 为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度（一种耐磨性指 标）为 镍合金：76.43 76.21 73.58 69.69 70.83 82.75 72.34； 铜合金：73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 62.61； 根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不

17、变，试在显著水平=0.05下判断镍 合金的硬度是否有明显提高。 解：用表示镍合金的硬度，表示铜合金的硬度，则由假定,xy 2 1, )x ，要检验的假设是：vs ：。由于两者方差未知但 2 2, )y 0 h 12 = 1 h 1 2 相等，故采用两样本 检验，经计算t 73.39x 68.2756y 8 2 1 ()205.7958 i i xx 9 2 1 ()91.1552 i i yy 从而 1 (205.795891.552)4.4494 892 w s 73.3968.2756 2.3656 11 4.4494 89 t 查表知，由于 ，故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有所提高。 0

18、.95(15) 1.7531tt 0.95(15) t 2 概率分布在商品销售中的应用 2.1 均匀分布的密度函数和分布函数 若随机变量的密度函数和分布函数为x （2-3） 1 , ( ) 0, axb p xba 其他 则称服从区间上的均匀分布，记作，其分布函数为x( , )a b( , )xu a b （2-4） 0, ( ), 1, xa xa f xaxb ba xb 2.2 均匀分布的数学期望和方差 设随机变量，则( , )xu a b 22 () 2()2 b a xbaab e xdx baba 这正是区间的中点。( , )a b 又因为 23322 2 () 3()2 b a

19、xbaaabb e xdx baba 所以 （2-5） 2222 22 ()() ()() () 3412 aabbabba var xe xe x 2.3 应用 例2 假设某种品牌服装，每天的需求量x 在区间(10，30)上服从均匀分布，但某代 理商店进货数是区间(10，30)中的某一整数，该代理售出1单位商品可赚得500元；如 果供大于求则减价处理，处理1单位商品该代理亏损100元；如果供不应求，可从厂商 调剂供应，这时每1单位商品可赚得300元。 要求：确定最少进货量使商品所获利润期望值不少于9280元。 解：设进货量为啊，则利润为 500100(),10 () 500300(),30

20、xaxxa g x axa ax 600100 ,10 300200 ,30 xaxa xa ax 所以平均利润为 3030 1010 111 ( ()( )(600100 )(300200 ) 202020 a a e g xg xdxxa dxxa dx 2 7.53505250aa 按照题意要求有 或 2 7.535052509280aa 2 7.535040300aa 解得 2 2026 3 a 所以最少进货量为21单位。 三 在商品营销中的应用 在市场经济的环境中，生产出的商品能否获得最大收益，由很多因素决定，营销至 关重要，而信誉度与其有密切关系。 1.1贝叶斯公式 设是样本空间的

21、一个分割，即互不相容，且， 12 , n b bb 12 , n b bb 1 n i i b 如果，则( )0p a ()0,1,2, i p bin （3- 1 () (|) (|),1,2, () (|) ii in jj j p b p a b p bain p b p a b 1） 1.2 应用 例1 假设某家生产公司的信誉度为0.9，不可信度为0.1，问该生产公司失信多少 次以后，顾客就不在相信它了。 解：我们先来分析该问题中的可信度是怎样下降的。 首先记事件a 为“不可信”，记事件b 为“可信”。不妨设顾客过去对该公司的 印象为 ， （1）( )0.9p b ( )0.2p b

22、我们现在用贝叶斯公式来求，亦即该生产公司失信了一次后，顾客对其可(|)p b a 信程度的改变。 在贝叶斯公式中我们要用到概率和，这两个概率的含义是：前者(|)p a b(|)p a b 是“诚信”(b) 的公司“不可信”(a) 的可能性，后者为“不诚信” 的公司“不可信” 的可能性，在此不妨设 =0.1，=0.5(|)p a b(|)p a b 第一次顾客相信该公司，发现该公司不可信。顾客根据这个信息对这家公司的可 信程度改变为（用贝叶斯公式） ( ) (|) (|) ( ) (|)( ) (|) p b p a b p b a p b p a bp b p a b 0.8 0.1 0.8

23、0.1 0.2 0.5 0.444 这表明顾客上了一次当后，对这家公司的可信程度由原来的0.8 调整为0.444,也 就是(1)式调整为 (2)( )0.444p b ( )0.556p b 在此基础上，我们对这家公司的可信程度再一次用贝叶斯公式来计算，亦即该(|)p b a 公司第二次不诚信后，客户对他的可信程度改变为 0.444 0.1 (|)0.138 0.444 0.1 0.556 0.5 p b a 这表明客户经过两次上当，对这家公司的可信程度已经从0.8下降到0.138，这样 低的可信度，该公司顾客进行第三次营销的时候怎么会成功？顾客几乎不会相信，更 不愿意购买。 四 在经济保险问

24、题中的应用 当今社会，保险业的发展处于上升阶段，保险问题也就成了一个热点问题。保险公 司为各行各业的人提供各种相应的保险保障服务，人们会通过自己的预算了解哪种业 务对自己更有益，进而选择出受益于自己的业务。当然，保险公司也要考虑自己的收 益。 1 中心极限定理 1.1（1）林德贝格-勒维中心极限定理 设为独立同分布的随机变量序列，且，。记 n x() i e x 2 ()0 i var x * 12n n xxxn y n 则对任意实数y，有 （4-1） 2 * 2 1 lim()( ) 2 t y n x p yyyedt （2）棣莫弗-拉普拉斯极限定理 设n重伯努利试验中，事件在每次试验中

25、出现的概率为(01),记为app n 次试验中事件出现的次数，且记na * n n np y npq 则对任意实数y，有 （4-2） 2 * 2 1 lim()( ) 2 t y n x p yyyedt （3）林德贝格中心极限定理 设独立随机变量序列满足林德贝格条件，则对任意的，有 n xx （4-3） 2 2 1 11 lim() 2 t n x ii x i n pxxedt b （4）李雅普诺夫中心极限定理 设为独立随机变量序列，若存在，满足 n x0 2 2 1 1 lim(|)0 n ii x i n y x bx 则对任意的，有x （4-4） 2 2 1 11 lim() 2 t

26、 n x ii x i n pxxedt b 1.2 应用 例1 某保险公司最新开办了一种保险业务，被保人每年只需向保险公司交付160元 保险费，如果在一年中有重大人身事故发生，保险公司赔偿其本人或家属2 万元。经 调查，某人在一年中发生重大人身事故的概率为0.005，如今有5000 人投此保险。求： （1）从此种业务，该公司一年中获利在20万到40万之间的概率？（2）保险公司亏本 的概率？ 解：设在一年内发生重大事故的人数为，发生重大事故概率为，把考虑y0.005p 5000人在一年里发生重大人身事故看成5000重bernoulli试验 ，则 ， 5000 0.00525np (1)25 (

27、1 0.005)24.875npp 保险公司的总收益为 0.016 50002802yy 根据中心极限定理得： (2080240)(2030)pypy 2025253025 () 24.87524.87524.875 y p (1.0025)( 1.0025) 0.6839 保险公司亏本的概率： (0.016 50002 )(40)pypy 254025 () 24.87524.875 y p 1(3.0075) 1 0.9987 0.0013 从上述计算可知一个保险公司亏本的概率很小，几乎为0。 五 在疾病发生概率方面的应用 1.1 二项分布的定义 如果记为重伯努利试验中成功（记为事件）的次

28、数，则的可能取值为xnax 。记为每次试验中发生的概率，即，则。0,1,npa( )p ap( )1p ap 因为重伯努利试验得基本结果可以记为n 12 (,) n ww ww 其中或者为，或者为。这样共有个样本点组成了样本空间。 i waaw2nw 下面求的分布列，即求事件的概率。若某个样本点xxk 12 (,) n ww wwxk 意味着中个，个，所以有独立性知， 12 , n w wwkanka ( )(1) kn k p wpp 而事件中这样的共有个，所以的分布列为xkw n k x （5-1）()(1),0,1, kn k n p xkppkn k 这个分布称为二项分布，记为。 ( , )xb n p 1.2 二项分布的数学期望的定义 设随机变量，则 ( , )xb n p 0 ()(1) n kn k k n e xkpp k 1(1) (1) 1 1 (1) 1 n knk k n npkpp k 1 (1)nnp pp （5-2np ） 1.3 应用 已知某遗传病的发病率为，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人 1 1000 数不少于5的概率为多大？ 解：设该单位患有这一疾病的人数为，则 50005