第2章--逻辑代数和逻辑函数

1、33 MHz 第二章第二章 逻辑代数和逻辑函数逻辑代数和逻辑函数 2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算 2.2 逻辑函数的变换和化简逻辑函数的变换和化简 2.3 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 本章要求：本章要求： 掌握掌握逻辑代数的基本公式、运算定逻辑代数的基本公式、运算定 律、规则。律、规则。熟悉熟悉逻辑函数的表示方法以及逻辑逻辑函数的表示方法以及逻辑 函数的公式法化简。函数的公式法化简。掌握掌握卡诺图及用卡诺图化卡诺图及用卡诺图化 简逻辑函数的方法。简逻辑函数的方法。 33 MHz 2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算 数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻数字电路研究的是电路的输

2、入输出之间的逻 辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以 数字电路又称数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的研究工具是，相应的研究工具是逻辑逻辑 代数（布尔代数）代数（布尔代数）。 在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基 本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两 个值（个值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值没有意义。，中间值没有意义。 0和和1表示两个对立的逻辑状态。表示两个对立的逻辑状态。 例如：电位的低高（例如：电位的低高（0表示低电位，表示低电位，1表示

3、表示 高电位）、开关的开合等。高电位）、开关的开合等。 A 为原变量，为原变量， 为反变量为反变量 A 33 MHz 1. 基本运算公式基本运算公式(0-1律，还原律律，还原律) 与（乘）与（乘） 0 AA 00 A AA 1 AAA 或（加）或（加） 1 AA AA 0 11 A AAA 非非 AA 33 MHz 2. 基本运算定律基本运算定律 ABBA CBACBA CABACBA ABBA CBACBA )()(CABACBA 普通代数普通代数 不适用不适用! 33 MHz 证明证明: 右边右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律 =A +A(B+C)+B

4、C ; 结合律结合律 , AA=A =A(1+B+C)+BC ; 结合律结合律 =A 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC ; A 1=A =左边左边 )()(CABACBA 33 MHz 吸收律吸收律: 吸收多余（吸收多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗冗 余余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。 AABA BABAA （1）原变量的吸收：）原变量的吸收： 证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A 长中含短，长中含短， 留下短。留下短。 （2）反变量的吸收：）反变量的吸收： 证明：证明： BAABABAA BAAABA)( 长中含反，长中含反， 去掉反。去掉

5、反。 想一想：想一想： ? ABAA)( 33 MHz （3）混合变量的吸收：）混合变量的吸收： CAABBCCAAB 证明：证明： BCAACAAB BCCAAB )( CAAB BCAABCCAAB 1 吸收吸收 正负相对，正负相对， 余全完。余全完。 33 MHz （德（德 摩根摩根 (De Morgan)定理）定理） BABABABA 可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明： ABAB 0001111 0101101 1001011 1110000 BA ABBA 33 MHz 3. 3. 基本运算规则基本运算规则 先括号先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。 CAZ,BA

6、BA 则得到则得到 CBABCACBA 33 MHz 将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 + + 变量与常数均取反变量与常数均取反 （求反运算）（求反运算）互补运算互补运算 2.不是一个变量上的反号不动。不是一个变量上的反号不动。 注意注意: 用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。 新表达式：新表达式：F 显然：显然： FF 1. 变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变 33 MHz 例例1： 1)()( 1 DCBAF 0 1 DCBAF 与或式与或式 注意括号注意括号 注意注意 括号括号 0 1 DCBAF DBDACBCAF 1 3

7、3 MHz )(EDCBA 例例2： EDCBAF 2 EDCBAF 2 与或式与或式 反号不动反号不动 反号不动反号不动 EDCBAF 2 EDACABAF 2 33 MHz 对偶式对偶式 AABA CDABY ABAA)( )(DCBAY 33 MHz 2.2 逻辑函数的变换和化简逻辑函数的变换和化简 四种表示方法四种表示方法 逻辑代数式逻辑代数式 (逻辑表示式逻辑表示式, 逻辑函数式逻辑函数式) 1 1 & & 1 A B Y 逻辑电路图逻辑电路图: 卡诺图卡诺图 n 2 n个输入变量个输入变量 种组合种组合。 真值表：真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合将逻辑函数输入变量取值的不同

8、组合 与所对应的输出变量值用列表的方式与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。一一对应列出的表格。 BABAF 2.2.1 逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换 33 MHz 不同表示方法之间的相互转换：不同表示方法之间的相互转换： 33 MHz A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC 例如：例如：由左图所示三由左图所示三 变量逻辑函数的真值变量逻辑函数的真值 表，可写出其逻辑函

9、表，可写出其逻辑函 数式：数式： ABCCABCBAF 验证：验证：将八种输入状态将八种输入状态 代入该表示式，均满代入该表示式，均满 足真值表中所列出的足真值表中所列出的 对应的输出状态。对应的输出状态。 33 MHz A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 方法：方法：一般按二进制的一般按二进制的 顺序，输出与输入状顺序，输出与输入状 态一一对应，列出所态一一对应，列出所 有可能的状态。有可能的状态。 例如：例如： ABCCABCBAF 33 MHz 方法：图形符号代替式中的运算符号即可

10、方法：图形符号代替式中的运算符号即可 BCACBABY AB CB BCA & C 1 A 11 1 B & & 11 Y CBAB 33 MHz 逻辑代数式逻辑代数式是把是把逻辑函数的输入、输出关逻辑函数的输入、输出关 系写成与、或、非等逻辑运算的组合系写成与、或、非等逻辑运算的组合 式。也称为逻辑函数式，式。也称为逻辑函数式，通常采用通常采用 “与或与或”的形式。的形式。 例：例：ABCCBACBACBACBAF 一个逻辑函数可以表示为不同的表达式。一个逻辑函数可以表示为不同的表达式。 对应的逻辑图也不同。实际应用中，电路越简对应的逻辑图也不同。实际应用中，电路越简 单，可靠性越高，成本越

11、低，故常需对函数式单，可靠性越高，成本越低，故常需对函数式 进行进行变换和化简。变换和化简。 33 MHz 2.2.2 2.2.2 逻辑函数的变换和化简逻辑函数的变换和化简 33 MHz 2.2.2 逻辑函数的变换和化简（公式法）逻辑函数的变换和化简（公式法） 例例1： CAAB BCCAAB BCDBCCAAB BCDCAAB (1)(1)吸收法吸收法: :利用利用BABAAAABA, 33 MHz 例例2： ABAC BCA BCBA ABCBA CCABCBA ABCCABCBAF )( )( )( 反变量吸收反变量吸收 提出提出AB =1，并项，并项 提出提出A (2) 并项法并项法:

12、 33 MHz 例例3 3： 化简化简 CABCBACBAABCY )()(BBCABBAC CAAC A 3）配项法）配项法 )(AACBCAAB CBACACABAB CAAB 化简化简 CBCAABY例例4 4： 33 MHz 化简化简 CBACBAABCY （4）加项法）加项法 ABCCBACBAABC ACBC 例例5 5： 再看一例题再看一例题 33 MHz 例例6 6： 化简化简 DBCDCBADABABCY DBABCDCBAABC DBCDCBAAB DBCDCBAB )(DCBCDAB CDBCDAB )(DADBCDCBAABC BCDABCDB 33 MHz 例例6 6

13、： 化简化简 DBCDCBADABABCY CDDCAADACB CDDACAACB CDDACB CDDCBAB CDCDBAB CDBAB CDB 33 MHz 利用公式法进行化简的问题：利用公式法进行化简的问题： 复杂复杂 技巧性强技巧性强 是否最简尚不得而知是否最简尚不得而知 33 MHz 2.3 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 2.3.1. 2.3.1. 最小项和最大项最小项和最大项 33 MHz 33 MHz 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC 变量变量

14、赋值赋值 为为1 1时时 用该用该 变量变量 表示表示 赋赋0 0时时 用该用该 变量变量 的反的反 来表来表 示。示。 可见可见 输入输入 变量变量 的八的八 种状种状 态分态分 别唯别唯 一地一地 对应对应 着八着八 个最个最 小项。小项。 33 MHz 当输入变量的赋值当输入变量的赋值 使某一个最小项等使某一个最小项等 于于1时，其他的最时，其他的最 小项均等于小项均等于0。 返回返回 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 比如当三变量取值比如当三变量取值

15、 分别为分别为1、0、1时，时， 只有最小项只有最小项 为为1CBA 33 MHz 之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所 有的输入变量，不可能再分解。有的输入变量，不可能再分解。 例如：例如：对于三变量的对于三变量的 逻辑函数，如果某逻辑函数，如果某 一项的变量数少于一项的变量数少于3 个，则该项可继续个，则该项可继续 分解；若变量数等分解；若变量数等 于于3个，则该项不能个，则该项不能 继续分解。继续分解。 不能分解不能分解CBA CBACABCBAABCCCBBAA )( CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC A B C

16、 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 33 MHz 逻逻辑辑相相邻邻；与与例例：BCACBA A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC 不不是是逻逻辑辑相相邻邻。与与CBACBA 33 MHz ABCCBACBACBACBAF 逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA 逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以 合并，消去一个因子合并，消去一个因子 33 MHz 33 MHz 33 MHz

17、 CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA 33 MHz ii mM CBAm 2 22 MCBACBAm 33 MHz 2.3.2 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 1 AA 33 MHz CAABY CBBACCABY)()( CBABCACABABC 7631 mmmm )7 , 6 , 3 , 1( im i i 33 MHz ACDBAY CBBADCCBAY)()( 151411109 mmmmm )15,14,11,10, 9( im i i CBAABCDCBACDBA )(DDABCDCBACDBA )(DDCBA DCBADABCABCDD

18、CBACDBA 33 MHz i mY ik k mY ik k ik k ik k MmmY 33 MHz CAABY )7 , 6 , 3 , 1( imY i i 5420 MMMMMY ik k )()()(CBACBACBACBA 33 MHz 2.3.3 卡诺图卡诺图 卡诺图：卡诺图：将将n个输入变量的全部最小项用小方块个输入变量的全部最小项用小方块 阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在 相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变变 量的卡诺图。量的卡诺图。 33 MHz 说明：说明： 一格一个最小项一格一个

19、最小项 相邻两格相邻两格必须必须为为 逻辑相邻项逻辑相邻项 33 MHz 说明：说明： 上下两行相邻上下两行相邻 左右两列相邻左右两列相邻 33 MHz 有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单 元格的编号。单元格的值用函数式表示。元格的编号。单元格的值用函数式表示。 A BC 00011110 0 1 0 1 3 2 4 5 7 7 6 F( A , B , C )= ( 1 , 2 , 4 , 7 ) 1,2,4,7单单 元取元取1， 其它取其它取0 A B C 编号编号 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4

20、 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 A BC 00011110 0 1 33 MHz 0 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 AB CD 00011110 00 01 11 10 四变量卡诺图单元格的编号四变量卡诺图单元格的编号: 33 MHz 从真值表到卡诺图：从真值表到卡诺图：对应填写对应填写 2.3.4 逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B 0 1 01 0 1 1 1 输出变量输出变量Y的值的值 输入变量输入变量 例例1：二输入变量卡诺图

21、二输入变量卡诺图 33 MHz 逻辑相邻：逻辑相邻：相邻单相邻单 元输入变量的取值元输入变量的取值 只能有一位不同。只能有一位不同。 0 1 00011110 A BC 0000 0111 输入变量输入变量 输出变量输出变量Y Y的值的值 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 例例2：三输入变量卡诺图三输入变量卡诺图 注意：注意：00与与10逻辑相邻。逻辑相邻。 33 MHz AB CD 00011110 00 01 1101 101 00 01 110 01 11 10 四变量卡诺图四变

22、量卡诺图 编号为编号为0010单单 元对应于最元对应于最 小项：小项：DCBA ABCD= 0100时函时函 数取值数取值 函数取函数取0、1 均可，称为均可，称为 无关项无关项。 例例3：四输入变量卡诺图四输入变量卡诺图 33 MHz 2.3.4 逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 从函数式到卡诺图：从函数式到卡诺图： 33 MHz ACDDBADCBAY CDBBADCCBADCBAY)()( CDBAABCDDCBADCBADCBA 15111085 mmmmm 33 MHz 15111085 mmmmmY 实际上我们一般不用把函数化为最小项填入卡诺图，而是实际上我们一般不用把函数

23、化为最小项填入卡诺图，而是 把所有包含非最小项的的方格都填把所有包含非最小项的的方格都填1。 33 MHz ACDDBADCBAY ABCD ABD ACD 33 MHz DCBADABCCDBADCBAY 33 MHz 2.3.5 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简 n=1=1，合并一对因子，合并一对因子 n=2=2，合并两对因子，合并两对因子 n 2 33 MHz AC ABC 33 MHz DB BD 33 MHz 33 MHz 合并圈的选取：合并圈的选取：圈儿宁大勿小；圈儿宁大勿小； 圈数宁少勿多；圈数宁少勿多； 圈圈含新圈圈含新 33 MHz 例例1：化简化简F(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15) AB CD 0001 11 10 00 01 1011 010 01 11 11 11 111 11 11 10 A DC CB DB DCB DCBDBCBDCAF 33 MHz ),(),( 765210 mmmmmmCBAY AB CB CA CBCAABY 例例2：化简化简 33 MHz 例例3：化简化简 DCBADCBADCBA DCBADCBADCBAF ),( DCBAD