圆-第10讲圆幂定理圆中比例线段6师

1、第十讲扇定理,中比例线段圆幕立理是初中平面几何中重要立理之一，在有关计算和证明中应用非常多，尤其是在证明圆中线段 比例式（或等积式）时，能有效地考査学生综合运用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能力，因而 成为全国各省市中考及数学竞赛命题的一个热点，切实加强这方而知识的复习与训练，全面掌握这类问题 的证明思路和方法，对每一个同学都非常重要.此外，证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有利用平行线分线段成比例左理：（2）利用相 似三角形给出证明；（3）利用圆慕泄理给出证明：（4）利用面积或三角函数给出证明.一、基础知识1、相交弦定理如果圆内两条弦AB和CD相交于点P,那么PAPB = PCP

2、D （如下图1）；2、割线定理如果从圆外一点P向圆引割线PAB和PCD,那么PA PB=PC PD （如下图2）：3、切割线定理如果从圆外一点P向圆引割线PAB和切线PC,那么PA - PB=PC2 （如下图3）：上述三个立理统称为圆幕定理实际上，可以把切割线左理看作是割线左理的极限情形，于是上述三 个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D,那么就有PAPB=PCPD, 这里P、A、B共线及P、C、D共线；二、例题例 1（）已知，如图 AB 是OO 的弦，P 是 AB 一点，AB=10cm, PA=4cm, OP=5cm,求：GO 的 半径.设00 的半径为 Rem,

3、则PC=OC-OP=R-5.PD=0IX）P=R+5由相交弦定理PC PD=PA PB即：（R 5） （R+5）MX6解之，得： R=7 （负值已舍去人例2 （）如图，已知和002相交于CD两点，其外公切线AB分别切Oh 00?于点AB,求证: 直线CD平分线段AB.EA切OO于点Ae 。小、=ED*EEA2EB2=EA = EBo例3 （）如图，E是圆内弦AB、CD的交点，直线EFCB,交AD的延长线于F, FG切圆于G,连结 EG,求证：ZFEG=ZFGE.EF-GF2证明,CB EFnZl二上CZCZAZ2 = Z2EF DF n = =5AF EFFG切圆于G ，qGF? =afdfM

4、是PA的中点，MC交0O于N, PN的延长线例4 (如图，PA切OO于A, PBC是0O的割线, 交00于D,连结BD,求证：PABD;例5(*)如图，已知B是线段AC上任一点，在AC同侧分别以AB.AC为直径作两个半圆AmB、AnC ,若CD切半圆4出于点D, EB丄AC, B为垂足，且交半圆于E, M是DE的中点，求证：CM丄DE.的中点.求证；CM丄DE。 证明连结AECE.CD切半圆AmB于点D CBA是半國GB的割线AC 是 *KAnC 的直径 n ZAC=90。n RtAAECEB 丄 ACnCDCBCAaCM 丄 DEnRtABCE RtAECAn芟工里nECCBCA“ EC A

5、CCD2CBCACM是DE边上的中线nCM 丄 DE例6 ()如图，在JABC中，ABAC,如果Z1ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证:BC=2AC：证明：设AC、BC与)0分别切于点E、F, A D与0 0交于点G、He则DG-GH=HA= AF2 = AH AGAF切0O于FAHG是OO的割线 同理 DE2 = DG DHDG=GH = HA=AG = DHDG = AHFDA是圆的割线 =EF=GFn/GEF 芋 ZEGF.nAFuDEI“y n AC = DCCE CF分别切GO于E F n CE = CFj- 戶 DC 二 2ACBC=2DCt例7 ()图中，AB是OO的

6、直径，直线MN切00于点C, AD丄MN于D, AD交OO于E, AB的延长线交MN于点P,求证：AC2 = AE AP：连结BC, 0为即 AC1 = AB AD.90又因为 /AEB = ADP - 90SX迓为MA切0 TC, rM Z_ABC = Z_ACDfA“Cs所以ABACACAD9所以EB/ DP,所以希工薜即 AB AD = AE 人P由知AC1 - AE MP(这里用AB 作中间直传递).例8 (如图，Z1ABC中，ZA的平分线AD交BC于D, 0O过点A,且和BC切于点D,和AB、AC 分别相交于E、F, AD与EF相交于G,求证：BD EG = BE EA；分析:要证B

7、QEG= BEEA (1)须证幣艺观察式中四条线段，竖向排列可得ZDE和 E4 G (需作辅助线Q E )妾证(2)式成立.只须证明上述两个三角形相似易 得Z4=上1、又由于Zl= Z1CD,又EA = ADC = 90%所以/ME s C/1D,鴛=篇同理 A/1CF s ABADCrm/1D AB BE AD斯以 CE = ACAD = CF即AIT = RECN这里用汇作中间啟传递).证明2：延长E (M) F (N)、BC交于P证明 Z PMB = Z.PDA =90。，乙 P二乙 P,船备同理可证MW川D,得黒二箸由切剖线定理.得用-PB比，即 AD PAP4 -兀一 CN竹产丙ip

8、/T厨厂而做ZMGV.PC例10 (, 2002年东城区中考)如图，P是0O的直径AB延长线上一点，割线PCD交OO于C、D两 点，弦DF丄AB于H, CF交AB于点E,求证：PA PB=PO PE；iff明连结on. /是00的直径，弦DF丄AH于， AD=AFDFZ.1二厶2ZL POD = Z PCE.又： Z DPO= Z f：PC，:. tsPf)O - PEC. 器#等絳PDPC4WE恵切倒线定理的推论， 帘 PA PH) PC. . PA PH=H)PE.例11 ()如图，已知PA、PB是0O的切线，切点为A、BPCD是割线，求证:AC BD=AD BC PC0S 3bD、PCA

9、S APJ2).从TO得二rt5誉拧又由切线长定理,知PA = PB、易得要证结论。例12 ()如图，BC是圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A, AD丄BC于点D,求证：PDPO=PC 证明：(2)连结 因为PA切半圆干点札 所以 LOAP = 90.又厶ADP = 90, 所以 MAP = LADP, 又 LAPO 二乙API). 所以AOPA.所以斜PDPA9即 PA2 = P0 PD.由切割线定理得PA2二PC PB 故 PD PO = PC PB.例13 (如图，过NABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延长线于D,求证:CD _ AC2证明；因为皿)为00的切线

10、, 所以 /DAC ZB 而 Z/WC = /所以/MM s C/1D,磐=紳勺F m 心CD又因为珏=而所以磊=篇(这里用站 作中间量过例14 (.托勒密上理)求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB CD+BC AD=AC BD托勒农？世纪命胖JC学家. 定理 在叫的内報四边彤 AHCD 中 A/3 CD 十 WC AD = AC HI).证朋 m I所水,： bd 上找r 使ZI N2于足图I(E AA/iP 和屮.因为/丨上2/3戸N4 所以人”P s 人CD,因此 .； AR . AC - HP Cl)9UPAH C 7 = AC UP同理 ZA/P S临瓜乃得B( Al) = AC

11、PDQ +珞 AH C /M IK： AD二 AC (BP + PD) = AC BD.D例15 (, 96年全国初中数学联赛)设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点过M作AD 的平行线分別交AB、CD于E、F,交BC的延长线于点O, P是以0为圆心、以0M长为半径的圆上一 点，求证：ZOPF=ZOEP：力相交于K./ om m 屮 CO =阪=徐=无.OE BO OM 一 一 AK BK DKOE AK由得 0M AK * 乔=廉再由OP=OM.又乙N)F=/EGP、： HPOFSHEOP：乙0N、= /OEP 证法2:用梅涅劳斯定理证直线0CB分别对Z1DMF和ZJAEM三边相交；则D

12、B MO FC t AB EO FC MB FO DC EB MO DC,OF OE DB FC EB AC门=OM2 MB DC AB MC由于EF/AD,嗚AB FC MC EB55c ACCF OF故=1,故OP2=OM=OEOFOM1则ZOFPsNOPE,则ZOPF=ZOEP 三、练习题1. ()如图，PA为OO的切线，A为切点，PBC是过点0的割线，PA=10cm, PB = 5cm,求0O的半径.即:解？设0O的半径为rcm.则PC=PB+BC=5+2n由切割线定理徐 PB PC=PA2 5X(5+2r)=10，解之OP： G)O的半径为芋on。2解法二：设00的半径为rem.剋0

13、P=PBPB=5+R 由圆爭定理得，PA:=I 0疋一 I即：lO2- 卄)-r2解之：2等(cm)2. ()过0O外一点P作00的两条切线PA、PB,连结0P与AB交于D,与OO交于C,过C作AP的垂线，垂足为E,若PA=10cm, PC=5cm,则CE=【解】延长P0交。O于F,设00半径为r,由切割线肚理得CE PCPA2=PC - PF.即有 r=7.5,又 CEOA,则=一；得。己 OA PO= 3cm3. () AB、AC分别是0O的切线与割线，若ZC=45 , ZBDA = 60 , CD= 点，求切线AB的长:【解】：ZACB=45 ,故ZBOD=90 :又ZBDC=15 ,故

14、CD弧为30 ,连结B0并延长交 OO于E,过C作CF垂直于BE于F易得OF =丄7?,因为AB CF DO ,故 2=-;AD=2/6 , AB= 6AD BO 24. ()如图A、B、C、D四点在同一个圆周上,且BC=CD=4, AE = 6,线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于:【解】设 EC=x, BE=y, ED=zCD CE 4rZlEDCs zJDAC,则= ;即=;得 x=2,负值舍去:CA CD6 + x 4又 AEEC=BEED,故 yz=12：而在 JBCD 中，y+z4+4=8; 故满足上述题意的y、z有：Y=3.z=4 或 Y=4,z=3,故 BD = 7C5. ()在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切，若AB=4,BE=5,贝ljDE=【解】由AEBC,则ABCE为等腰梯形，故AC=BE=5,又DCAB, DC与圆相切故 ZBAC= ZACD= ZABC则 AC=BC=AD=5, DC=AB=4DC2=AD - DE, DE=3.26. ( , 2003年全国)已知AB是)0的直径，BC是0O的切线，OC平