数值分析：2.2 Lagrange 插值

1、2.2 Lagrange插值多项式插值多项式 第二章第二章 函数近似计算的插值法函数近似计算的插值法 若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式 系数 , 不但计算工作量较大, 且难于得到 i a ( ) n P x 的简单表达式. 一、一、 代数多项式的构造代数多项式的构造: ( ) n P x 通过找插值基函数的方法,得到插值多项式! 十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进 行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式， 称为Lagrange插值公式插值公式。 它的特例是线性插值公式线性插值公式和抛物线插值公式抛物线插值公式。 Lagrange插值多项式插值多项式 1. 线性

2、插值线性插值 已知两个插值点及其函数值： xx0 x1 f(x)f0f1 插值节点 对应的函数值 求一次多项式 ,)( 1 bxaxP 使得 1111 0001 )( )( fbxaxP fbxaxP 由于方程组的系数行列式 0 1 1 01 1 0 xx x x 所以，按所以，按Gramer法则，有唯一解法则，有唯一解 01 1001 1 0 11 00 1 1xx fxfx x x xf xf a 01 01 1 0 1 0 1 1 1 1 xx ff x x f f b 于是于是 ,)( 01 01 01 1001 1 x xx ff xx fxfx xP 1 01 0 0 10 1 1

3、 )(f xx xx f xx xx xP 或或 (B-1） 容易验证，过点（容易验证，过点（x0，f0）与（）与（x1，f1）直线方程就是）直线方程就是式式 （B-1），如图，如图5-3所示。所示。 y xx0 x1 P1(x) f(x) P1(x) f(x) 误差 图5-3 2. 抛物线插值抛物线插值 已知三个插值节点及其函数值： f2f1f0f(x) x2x1x0 x 求一个二次多项式 2 2 )(cxbxaxP 使得 2 2 2222 1 2 1112 0 2 0002 )( )( )( fcxbxaxP fcxbxaxP fcxbxaxP 由于该方程组的系数行列式 。行列式行列式阶阶

4、eVandermond xx xx xx 30 1 1 1 2 22 2 11 2 00 所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确 定的。定的。 满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式。 容易看出 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 )( )( )( )( )( )( )( f xxxx xxxx f xxxx xxxx f xxxx xxxx xP （B-2） 容易验证，容易验证，P2(x) 是过点是过点(x0, f0)、 (x1, f1)与与(x2, f2) 三

5、点的抛物线，三点的抛物线， 如图如图5-4所示。所示。 y x x1x0 x2 P2(x) f(x) 图5-4 f0f1f2 3. n 次次Lagrange插值插值 已知 n+1 个插值节点及其函数值： fn f2f1f0f(x) xn x2x1x0 x插值节点 相应的函数值 求次数不超过 n 的多项式Pn(x) 。 n nn xaxaxaaxP 2 210 )( 使得 n n nnnnnn n nn n nn n nn fxaxaxaaxP fxaxaxaaxP fxaxaxaaxP fxaxaxaaxP 2 210 22 2 222102 11 2 121101 00 2 020100 )

6、( )( )( )( 维的间是的多项式构成的线性空所有次数不超过n1n 根据线性空间的理论, 11nn这个维线性空间的基也由个多项式组成 并且形式不是唯一的 n而任意一个 次多项式可由基线性表示 且在不同的基下有不同的形式 01 ( ),( ),( )1 n xxxn设为上述维线性空间的一个基 线性表示可由次多项式且任意)(,),(),()( 10 xxxxPn nn 线性无关显然)(,),(),( 10 xxx n )()()()( 1100 xaxaxaxP nnn 的插值函数为某个函数如果)()(xfxP n 为插值基函数则称)(,),(),( 10 xxx n nifxP iin ,

7、2 , 1 , 0)(且满足插值条件: 为插值节点其中nixi,2 , 1 , 0, ()0,1,2, ii f xfin 上的一组节点为区间如果, 210 babxxxxa n njxln j ,2 , 1 ,0),(次多项式我们作一组 )()()( )()()( )( 1110 1110 njjjjjjj njj j xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xl n ji iij i xx xx 0 )( )( nj,2 , 1 ,0 01 0 ()()() () n n i i xxxxxx xx 1( )n x 令 )( 1jn x则 )()()( 1110njjjjjjj xxx

8、xxxxxxx n+1次多项式次多项式 )()()( )()()( )( 1110 1110 njjjjjjj njj j xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xl nj,2 , 1 ,0 且() ji lx 1 0 ij ij nji,2 , 1 ,0,-(4) 线性无关显然)(,),(),(),( 210 xlxlxlxl n )( )( 1 1 jjn n xxx x 从而 的插值基函数作如果用)()(,),(),(),( 210 xfyxlxlxlxl n 则的插值多项式为而,)()(xfxP n )()()()( 1100 xlaxlaxlaxP nnn 为待定参数、其中 n

9、 aaa 10 )( in xPnifxf ii , 2 , 1 , 0)( 令 即 n j ijj xla 0 )(nifi, 2 , 1 , 0 由(4)式,可得nifa ii , 2 , 1 , 0 为记为项式为插值基函数的插值多 以上在节点于是 )( ), 1 , 0()(,), 1 , 0()(, xL nixlnixxfy n ji 0011 ( )( )( )( ) nnn L xlx fl x flx f )(xl j n ji iij i xx xx 0 )( )( 其中-(6) -(5) (5)( )( ) n L xyf xLagrange称式为的插值多项式 ( ) (0

10、,1, ) j lxinnLagrange称(6)式为 次插值基函数 0 ( )( )( ) n nnkk k P xL xlxf 其中其中 1 1 ( ) ( ) ()() n k nkk x lx xxx 这个改写了Lagrange插值公式插值公式，在许多理论 分析中是非常有用的。 Lagrange插值公式的标准型公式插值公式的标准型公式: 例1:15)225(,13)169(,12)144()(fffxf满足已知 .)175(,)(的近似值并求插值多项式的二次作fLagrangexf 解: 225,169,144 210 xxx设 )( 0 xl 插值基函数为的二次则Lagrangexf

11、)( )( )( 2010 21 xxxx xxxx 2025 )225)(169( xx )( 1 xl )( )( 2101 20 xxxx xxxx 1400 )225)(144( xx )( 2 xl )( )( 1202 10 xxxx xxxx 4536 )169)(144( xx 012 12,13,15fff 插值多项式为的二次因此Lagrangexf)( 20 01 12 2 ( )( )( )( )L xf lxf l xf lx 且)175(f )175( 2 L )175(15)175(13)175(12 210 lll 73158230.13 在例在例1中中,如果只给

12、出两个节点如果只给出两个节点169和和225,也可以作插值也可以作插值 多项式多项式,即即1次次Lagrange插值多项式插值多项式,有两个插值基函数有两个插值基函数, 这种插值方法称为这种插值方法称为Lagrange线性插值线性插值,也可以在也可以在n+1个个 节点中取相邻的两个节点作线性插值节点中取相邻的两个节点作线性插值 Lagrange线性插值基函数(一次插值)为 Lagrange线性插值多项式为 0101 ,x xff节点函数值 1 01 xx xx 0( ) lx 1( ) l x 0 10 xx xx 10011 ( )( )( )L xlx fl x f 1 0 01 xx f

13、 xx 0 1 10 xx f xx 例2.).175(1fLagrange中的线性插值多项式求例用 之间与在由于插值点225169175 21 xxx解: 为插值节点与因此取225169 21 xx )( 1 xl 21 2 xx xx 56 225 x )( 2 xl 12 1 xx xx 56 169 x Lagrange插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 11 12 2 ( )( )( )L xf l xf lx 56 225 13 x 56 169 15 x )175(f 56 225175 13 56 169175 15 71285214.13 所以 二、插值余项二、插

14、值余项 插值的从上节可知Lagrangexfy)(, 0 ( )( ) n njj j L xlx f 满足 nixfxL iin , 1 , 0)()( ,bax但)()(xfxLn 不会完全成立 因此, 插值多项式存在着截断误差, 那么我们怎样估 计这个截断误差呢？ 1 ( )( )( ), ( )( )( )( )( ) nni nnn Rxf xL xx Rxf xL xK xx 设则 为其零点， 可设 1 ( )( )( )( ) nn f xL xK xx 设 0 1 ( )( )( )( )( ) nn tf tL tK xt 若引入辅助函数 )(x则有0 的区分 与注意xt )

15、( i x且 )()()( 1inin xxKxR 0 即个零点上至少有在区间若令因此,2,)(,nbatxx i ,0)(x ni, 1 , 0 nixi, 2 , 1 , 0,0)( 1 ( )( ),( ),( ) nn L xxf xt 由于和为多项式 因此若可微 则也可微 )()( )()( )( 1 1 xtR txR t n n 也可令 1 ( )( )( )( ) nn f xL xK xx 1 ()()( )() inini f xL xK xx 根据Rolle定理,个零点上有至少在区间1),()(nbat 再由Rolle定理, 个零点上有至少在区间nbat),()( 依此类

16、推 阶导数为零的使得内至少有一个点在区间1)(,),(ntba 0)( )1( n )( )1( t n 1 ( )( )( )( )( ) nn tf tL tK xt (1)(1)(1) 1 ( )( )( )( ) nnn nn ftLtK xt 由于 )!1( )( )( )1( n f xK n )()()( 1 xxKxR nn )( )!1( )( 1 )1( x n f n n 所以 )()()(截断误差的余项为插值多项式称xPxR nn (1)(1)(1)(1) 1 ( )( )( )( )( ) nnnn nn fLK x 因此 )!1()()( )1( nxKf n 0

17、即 定理定理1. 0 ( ) , 1,( )( ) , , , , , , n n ii f xa bnL xf xa b nxa b xa b 设在区间上阶可微为在 上的 次插值多项式 插值节点为 则有 ( ) n Rx (1) 1 ( ) ( ) (1)! n n f x n ,)()( 0 1 n i in xxx其中 .,),(xba且依赖于 Lagrange型余项型余项 |)(|max )1( 1 xfM n bxa n |)(|)(| 0 11 n i inn xxxN 设 |)(|xRn则)( )!1( )( 1 )1( x n f n n 11 )!1( 1 nn NM n 插

18、值基函数的性质插值基函数的性质 (1) 1 0 (1) 0 0 :( )( )( ) 1 ( )( )( ) (1)! ( )1,1(1,2, )( )0, ( )1 ( )1 nn n n iin i n i i i n n i i f xLxRx l x ffx n f xfin l x f l x 插插值值基基函函数数的的一一个个重重要要性性质质: : 证证明明 取取则则及及 故故 Lagrange插值算法特点插值算法特点&局限性局限性 优点：优点：公式简洁公式简洁, 理论分析方便理论分析方便 直观；直观； 对称；对称； 容易编程上机等。容易编程上机等。 缺点：缺点：基函数计算复杂，计算量大基函数计算复杂，计算量大 每增加一个节点，插值多项式的所每增加一个节点，插值多项式的所 有系有系 数都得重算；数都得重算； 计算量为计算量为 。 2 22nn 下一节提出的下一节提出的Newton插值法插值法就是克服了上缺点。就是克服了上缺点。 罗尔(Rolle)定理 补充资料补充资料-01 如果函数如果函数 f(x) 在封闭区间在封闭区间 a,b 上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b) 内