数值分析：5.5平方根法

1、第五章第五章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法 5.5 平方根法平方根法 定理定理1. (Cholesky分解分解) 使得正数的下三角阵 元全是则一定存在一个主对角为对称正定矩阵设 , , L A T LLA 且该分解式唯一。 这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解分解 nnnrn rrr lll ll l L 1 1 11 nnnrn rnrrr nr aaa aaa aaa A 1 1 1111 设 jiij aa ir arArL列元素的第考察列已求出的第假设,11 nnnrn rrr lll ll l 1 1 11 nnnrn rnrrr nr aaa aaa aa

2、a 1 1 1111 nn nrrr nr l ll lll 1111 111111 lla 112121 lla 1111 lla ii ni,2 , 1 可以求出的第一列元素 1i lL r k rkrkrr lla 1 2 1 1 2 rr r k rk ll r k rkikir lla 1 rrir r k rkik llll 1 1 nrri, 1, -(1) -(2) -(3) 的元素的计算公式式可得由L)8()6( 1111 al 11 1 1 l a l i i ni, 3 ,2 1 1 2 r k rkrrrr lal nr,2 rr r k rkikir ir l lla

3、 l 1 1 nri, 1 ijijij lal放的储存地址可以用来存求出后当 在计算机上运算时从公式中可以看出 , , -(4) r 1 2 rrrrrkrr k 1 lala 这说明L的元素的绝对值一般不会很大，故计算 是稳定的。 二、对称正定线性方程组的解法二、对称正定线性方程组的解法 bAx 线性方程组 阶对称正定矩阵为其中nA 使得的下三角阵则存在主对角元为正数,L T LLA -(5) -(6) 则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组 bLy yxL T bxLL T )( -(7) -(8) bLy 解. 1 nnnin iii lll ll l L 1 1 11 11 1

4、1 l b y ii i k kiki i l ylb y 1 1 ni, 3 ,2 -(9) yxL T 解. 2 nn niii ni T l ll lll L 1111 nn n n l y x ii n ik kkii i l xly x 1 -(10) 对称正定方程 组的平方根法平方根法 1 ,2 , 1 ni 思考 本例中出现了大量的根式运算 ) , , ( 2211nn uuudiagD 2 1 2 1 DD ) , , ( 2211nn uuudiagD 原因为 分解的因此不作 T LLA 考虑改变分解方式 (D) T ALDLL单位下三角，对角矩阵 分解矩阵的这种分解称为对称正定 T LDL 运用平方根法计算量较大，为了避免开方运算，运用平方根法计算量较大，为了避免开方运算， 改用单位三角阵作为分解阵改用单位三角阵作为分解阵! 1 2 1 (1,2, ) k kkkkmm m dal dkn 1 1 ()/(1,2, ) k jkjkjm kmmk m lal l ddjkkn 关于对角矩阵D对角元素及下三角矩阵元素的计算 公式