数值分析：4.3高斯型求积公式

1、第四章 微积分的数值计算方法 4.3 高斯型求积公式高斯型求积公式 ：一个求积公代数精度的概念式的准确程度 4.34.3 高斯型求积公式高斯型求积公式 =0 ( 1 ()d) n b kk a k k k k Axx n x n f x xA f ：对于一般的插值求积公式 来说，不管在积分区间上的个插值结点如 何选取，其至少为；而只要选取合适的 与，此插值求积公 注 代数精度 代数式的达精度到最大。 问题问题: 是否有比等距节点的是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式型求积公式 更高代数精度的求积公式更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大最高能达到多大? 对于给定的求积节点,代

2、数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同. 问问题题: 寻: 寻找找最最高高代代数数精精度度的的求求积积公公式式 01 0 , ( )()22! n n b kk a k xxxb f x dxA f xn 对于任意的求积节点a及求积系数 求积公式的代数精度必小于 22 011 2 1 00 ( )()()()( ) ( )0, I()()0 nn b a nn kkknk kk f xxxxxxxx f x dx A f xAx n 这是因为 对于2n+2次代数多项式 有

3、 I= 而数值积分 故最高可能代数精度为2n+1. 高斯求积公式高斯求积公式 =0 )d( )( 1 n k b kk a f xxxfA m m m ：如果求积公式对于 所有次数不超过的多项式均能准确成立， 但对于次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有次 定义4-1 代数精度。 高斯求积公式高斯求积公式 =0 ( )(d) 21 n k k b k a k k xx x ff n A xA 定义4-2 代数精 ： 若插值求积公式 具有次，则称该插值求积公式 为，其中结点称为； 求 度 高斯求 积系数称 积公式高斯点 高为斯求积系数。 =0 d) () ( 1 ) b kk a n

4、k xx f xf x f A m m m x ： 若带权插值求积公式对 所有次数不超过的多项式均能准确成立， 但对次多项式不一定准确成立， 则称该带权插值求积公式 定 具有次 义4-3 代数精度。 =0 d( )()( ) 21 b kk a n k k k xxf xfxA n x A ： 若带权插值求积公式 具有次， 则称该带权插值求积公式为， 其中结 定义4-4 代数精度 带权高斯求积公式 带权高点称为； 求积系数称 斯点 带权高斯为求积系数。 权函数 定义定义:设a,b是有限或无限区间, (x)是定义在a,b上 的非零可积函数，若其满足 则称(x)是a,b上的一个权函数。 b a b

5、 a , 2 , 1)()2(0)( (1)ndxxxdxx n 存在 在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cosnx, sinnx, 中，由于任意两个函数乘积在区间-，+上的积分 都等于零，则说这个函数系在-，+上是正交的， 并称这个函数系为正交函数系。 定义定义1(a)1(a)：设函数f(x),g(x)a,b,且 则称f(x)与g(x)在a,b上正交. (,)()()0 b a fgfxgxd x 正交多项式正交多项式 定义定义1(b)：设函数f(x),g(x)a,b,且 则称f(x)与g(x)在a,b上带权(x)正交. 0

6、)()()(),( dxxgxfxgf b a 正交多项式正交多项式 称为称为权函数权函数 定义定义2 高斯点与正交多项式的零点高斯点与正交多项式的零点 1 0 0 1 = ( )()d ()( ) ( )( )d)0= n k b kkk a nk b n n a k Axxf xf P xP x xxn x x x x 定： 插值求积公式其节点为 的充要条件是以这些点为零点的多项式 与任何次数不超过的多项式 在积分区间上 理4-1 高 ， 斯点 均即正交 1 n+1( ) Gauss a,b) nk xPx 求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高(针对n+1个节点而2n+1 次正交多项

7、言) 2. 高斯点 是上的式的根 =0 1 0 1 ( )(d) ( )() ( ) ( )( )( ) ( ) d0= k k b k n a n k k nk b n n n a f xf xxx P Ax xxn x xx x x P xx ： 带权插值求积公式其结点 为的充要条件是以这些点为零点的多项式 与任何次数不超过的多项式 在积分区间上关于权函数均 定理4-2 带权高斯点 正交， 即 。 1 ( )a,bn () +1( ) k n xx Px 高斯点 是上关于权函数的次 正 即 交多项式的根 常见的正交多项式及高斯求积公式常见的正交多项式及高斯求积公式 勒让德多项式(Legen

8、dre) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 拉盖尔多项式(Laguerre) 埃尔米特多项式 (Hermite ) 高斯高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式 1 1 1 0 1 2 ( )d , 1 1d (1) 2!d 1 Legendre Legend ( re ( ) ( ) ( 1 ,2 1 , )1 ) 0 n n n nn n n Pxx P x x n n n n P x P x x P n x Px = ： 定义在区间上阶 是正交的函数系，其阶与任 何次数不超过的多项式在区间- 1. 勒让德()多项式 勒让德()多项式 勒让德多 1,1上均正交 即 式 ， 项 2. Le

9、gendre多项式的性质多项式的性质: 0 1 1 (1): 1,1, 0, (,)( )( ) 2 , 21 nn nmnm P mn P PP x P x dx mn n 正交性是上的正交多项式序列 即 01 11 (2) ( )1,( ) (1)( )(21)( )( ) 1,2, nnn P xP xx nPxnxP xnPx n 递推公式 (3)()( 1)( ) n nn PxP x (4),( 1,1)所有根都是单根 并在上关于原点对称分布. 0 1 1 = 1 ( )(d) 3. ( )1Legendre , Gauss 11 21 k kk k k n n k f x x x

10、 xfx GaussLegendre Pxn A n A 以多项式的个零点作为区间 上的高斯点 ， 则其插值求积公式 称为 求积公式 高斯-勒让德求积公式，具有次。 其中点, 及 代数精度 求积系数可查表求得. nxkAknxkAk 102 6 0.9324695142 0.6612093865 0.2386191861 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 20.57735026921 3 0.7745966692 0 0.5555555556 0.8888888889 7 0.9491079123 0.7415311856 0.4058451514

11、0 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 4 0.8611363116 0.3399810436 0.3478548451 0.6521451549 8 0.9602898565 0.7966664774 0.5255324099 0.1834346425 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834 5 0.9061798459 0.5384693101 0 0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889 高斯高斯- -切比雪夫求积公式切比

12、雪夫求积公式 2 21 1 1 1 1 1 1 1 (d) ( ) , cos()cos( arccos ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 n x n x n x P xTx n nn x n nxP x Tx Txx = 1. 切比雪夫(Chebyshev)多项： 定义在区间上阶 是关于权函数正交的函数系 式 切比雪夫多项式 切 ， 其阶与任何次数比雪夫多项式不超过 的多项式在区间上关于权函数均正交， 即 2. Chebyshev多项式的性质多项式的性质: 2 1 0 1 1 21 (1) 1,1( ) , 0, ( )( ) (,),0 2 1 ,0 nn x m

13、n mn ChebyshevTx mn Tx T x T Tdxmn x mn 多项式是上带权 的正交多项式组 即 01 11 (2) ( )1,( ), ( )( )2( ) nnn T xT xx TxTxxT x 递推公式 (3),1,1)( ) (21) cos,(1,2, ) 2 k x k xkn n n 所有根都是单根 在(上与原点对称分布,且T的n个根为 2 2 1 1 1 = 1 1 1 1 0 1 1 1 ( )() ( ) d d 3. Gauss-C , (21) cos, 22 1 111 21 hebyshev ( ) n x k x kk k n kk n f x

14、f lx x x x x n k T n n x A n T A 以的个零点作为区间上的带权高斯点， 其带权插值求积公式 为的零 求积公式 高斯-切比雪夫求积公 点 称为带权，具有次式代数精度。 一般积分区间a,b的处理 22 ,t baba x 先令 , a b 1,1 a,b 再利用标准区间 上的求积公式: 1 =0 1 (1) (1 (1) (1) ddt 22 ( )()( ) 2 , 2 2 2 n k b kk a k n n k n k k k n k baba xxt x ba f xff ba b A AA A aba t t -为上高斯求积公式的高斯点及求1, 1积系数. 使得: 2 22 0 ( ),0,1, ( )02, ( ) ( )(), ,. k k n b ki kik a i lx kn lxn x lx dxAlxA 设为Lagrange基函数. 为次代数多项式 其Gauss数值积分 等于精确积分,即有 0 所有 高斯积分公式具有数值稳定性 高斯积分公式