北师大版数学八年级下册《 第一章 三角形的证明 1.4 角平分线（第1课时）》PPT课件

1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下册下册 如图，要在如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离 相等，相等， 离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何米，这个集贸市场应建在何 处处？（比例尺为（比例尺为120000） D C S 解：解：作夹角的角平分线作夹角的角平分线OC， 截取截取OD=2.5cm ,D即为所求即为所求. O 导入新知导入新知 1.会叙述会叙述角平分线的性质定理及判定定理角平分线的性质定理及判定定理. 2.能利用三角形全等，能利用三角形全等，证明证明角平分线的性质角平分线的性质 定理，并理解和

2、掌握定理及其逆定理定理，并理解和掌握定理及其逆定理. 素养目标素养目标 3.能够应用这两个定理解决一些简单的能够应用这两个定理解决一些简单的实际问实际问 题题. 探究新知探究新知 知识点知识点1角平分线的性质定理角平分线的性质定理 操作测量：操作测量：取点取点P的三个不同的位置，分别过点的三个不同的位置，分别过点P作作 PDOA，PE OB,点点D、E为垂足，测量为垂足，测量PD、PE的长的长.将将 三次数据填入下表：三次数据填入下表： 观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PD与与PE的大小关系，写出的大小关系，写出 结论：结论：_ PD PE 第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次

3、 C O B A PD=PE P D E 实验：实验：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P是射线是射线OC上的任意一点上的任意一点. 猜想：猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，已知：如图， AOC= BOC,点点P在在OC上，上，PDOA， PEOB，垂足分别为，垂足分别为D,E. 求证：求证：PD=PE. 验证猜想：验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P A O B C D E 证明：证明： PDOA,PEOB， PDO= PEO=90 . 在在PDO和和PEO中，中， PDO=

4、PEO， AOC= BOC， OP= OP， PDO PEO(AAS). PD=PE. 探究新知探究新知 角角平分线平分线上的点到这个角的两边的上的点到这个角的两边的距离距离相等相等. 角平分线的性质定理角平分线的性质定理结论结论 应用所具备的条件：应用所具备的条件： （1 1）角的平分线；）角的平分线； （2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上； （3 3）垂直距离）垂直距离. . B AD O P E C 定理的作用：定理的作用： 证明线段相等证明线段相等. . 探究新知探究新知 几何语言：几何语言： OP 是是AOB的平分线的平分线， PD = PE. 推理的理由有三个，推理的理由有三

5、个， 必须写完全，不能必须写完全，不能 少了任何一个少了任何一个. PDOA,PEOB， 探究新知探究新知 B AD O P E C 角平分线的性质定理角平分线的性质定理素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AD是它的角平分线，且是它的角平分线，且 BD=CD, DEAB, DFAC.垂足分别为垂足分别为E,F.求证：求证：EB=FC. 例例 A BC D E F 证明：证明：AD是是BAC的角平分线，的角平分线，DEAB, DFAC， DE=DF, DEB=DFC=90 . 在在RtBDE 和和 RtCDF中，中， DE=DF， BD=CD， Rt

6、BDE RtCDF(HL). EB=FC. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如图，如图，AM是是BAC的平分线，点的平分线，点P在在AM上，上，PDAB， PEAC，垂足分别是，垂足分别是D、E，PD=4cm，则，则 PE=_cm. B A C P M D E 4 知识点2 角平分线的判定定理角平分线的判定定理 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 思考：思考：交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结 论？这个新结论正确吗？论？这个新结论正确吗？ 角平分线的性

7、质：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：这个思考：这个 结论正确吗？结论正确吗？ 逆逆 命命 题题 探究新知探究新知 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 已知：如图，点已知：如图，点P为为AOB内一点，内一点，PDOA， PEOB，垂足分别是，垂足分别是D、E，且，且PD=PE. 求证：求证：OP平分平分AOB. 验证：验证： B A D O P E 探究新知探究新知 证明：证明： OP平分平分AOB. 在在RtPDO和 和RtPEO 中，中， （全等三角形的对应角相等）（全等

8、三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边），（公共边）， PD= PE（已知（已知 ），）， PDOA,PEOB， PDO=PEO=90. RtPDO RtPEO（ HL）. AOP=BOP B A D O P E 探究新知探究新知 在在一个角的内部一个角的内部，到角的两边距离相等的点在，到角的两边距离相等的点在这个这个 角的平分线上角的平分线上. 角平分线的判定定理角平分线的判定定理结论结论 应用所具备的条件：应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等）数量关系：该点到角两边的距离相等. B AD O P E C 定

9、理的作用：定理的作用： 判断点是否在角平分线上判断点是否在角平分线上. . 探究新知探究新知 几何语言：几何语言： PDOA,PEOB，PD=PE. 点点P 在在AOB的平分线上的平分线上. 探究新知探究新知 图形图形 已知已知 条件条件 结论结论 P C P C OP平分平分AOB PDOA于于D PEOB于于E PD=PEOP平分平分AOB PD=PE PDOA于于D PEOB于于E 角的平分线的角的平分线的判定判定角的平分线的角的平分线的性质性质总结：总结： 角平分线的判定定理角平分线的判定定理素养考点素养考点 探究新知探究新知 如图，在如图，在ABC中，中，BAC=60，点，点D在在B

10、C上，上， AD=10，DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F，且，且 DE=DF，求，求DE的长的长. 例 A BC D E F 解：解：DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F， 且且DE=DF， AD平分平分BAC. 又又BAC=60，BAD=30， DE= AD= . 在在RtADE 中，中，AED=90，AD=10， 1 2 1 10 = 5 2 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AD是是BC边的中线，边的中线，DEAB于于 点点E，DFAC于点于点F，且，且BECF.求证：求证：DA平分平分EDF. 证明：证明：证法证法1：

11、 AD是是ABC的中线，的中线，BDCD. 在在RtBED和和RtCFD中，中，BDCD，BECF， RtBED RtCFD（HL）， DEDF.又又DEAB，DFAC， AD是是BAC的平分线，即的平分线，即EADFAD. 又又ADE90EAD，ADF90FAD， ADEADF，即，即DA平分平分EDF. 证法证法2： 同证法同证法1，可得，可得RtBED RtCFD. BC，ABAC. 又又BECF，AEAF. 又又AEDE，AFDF， DA平分平分EDF. 巩固练习巩固练习 连接中考连接中考 （2020湘潭）如图，点湘潭）如图，点P是是AOC的角平分线上一点，的角平分线上一点， PDOA

12、，垂足为点，垂足为点D，且，且PD=3，点，点M是射线是射线OC上一动点，上一动点， 则则PM的最小值为的最小值为 . 3 1.如图如图,在在RtABC中中,C=90,B=45,AD是是CAB的的 平分线平分线,DEAB于于E,AB=a,CD=m,则则AC的长为的长为_. a-m 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 如图如图,在在RtABC中中,C=90,AD平分平分BAC,交交BC于点于点 D,AB=10,S ABD=15,则 则CD的长为的长为( ( ) ) A A.3B.4 C.5D.6 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3. 如图如图,在

13、在ABC中中,AD是是BC边上的高边上的高,AE,BF分别是分别是 BAC,ABC的平分线的平分线, BAC=50,ABC=60,则则 EAD+ACD= ( ( ) ) A.75 B.80C.85 D.90 A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.如图所示如图所示,在在ABC中中,P为为BC上一点上一点,PRAB,垂足为垂足为R,PSAC, 垂足为垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论下面三个结论: AS=AR;QPAR;BRP CSP.正确的是正确的是( ( ) ) A.和和B.和和 C.和和D.全对全对 A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固

14、 题 1、如图如图,BD是是ABC的平分线的平分线,DEAB于点于点E,ABC的的 面积是面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则则DE=_cm. 2 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2、如图如图,ABC的两条外角平分线的两条外角平分线AP,CP相交于点相交于点P,PHAC 于于H;如果如果ABC=60, 则下列结则下列结 论论:ABP=30;APC=60;PB=2PH;APH=B PC, 其中正确的结论个数是其中正确的结论个数是 ( ( ) ) A.1B.2 C.3D.4 D 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 如图，在如图，在R

15、tABC中，中，AC=BC,C90，AP平分平分BAC交交BC 于点于点P，若，若PC4, AB=14. ( (1) )则点则点P到到AB的距离为的距离为_. 4 A B C P D 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 解：解：由角平分线的性质，可知，由角平分线的性质，可知，PD=PC=4， ( (2) )求求APB的面积的面积. ABPD=28. 1 2 APB S ( (3) )求求PDB的周长的周长. PDB CPDPBDB A B C P D = 课堂检测课堂检测 PCPBDB BCDBADDB 14AB 解：解： 课堂小结课堂小结 角平分角平分 线线 性质定理性质定理 一个点：一