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文档简介

1、二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲 线拟合方法的范畴。 一、基本原理 在求解一元函数-；门的极小点时，常常利用一个低次插值多项式;）来逼近原目标函数， 然后求该多项式的极小点（低次多项式的极小点比较容易计算 ），并以此作为目标函数- 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合, 直到满足给定的精度时为止。 常用的插值多项式I J为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我 们主要介绍二次插值法的计算公式。 假定目标函数在初始搜索区间中有三点否则转步骤(4) 缩短搜索区间 缩短搜索区间的原则是：比较函数值

2、 二、门，取其小者所对应的点作为新的二点，并以 此点左右两邻点分别取作新的丛和，构成缩短后的新搜索区间I丛-圧。其具体方 法则如图2所示，根据原区间中的相对位置以及函数值兀和办之比较有a、b、 c、d四种情况，图中阴影线部分表示丢去的区间。在对新区间三个新点的代号作依次、 、二的一般化处理后，计算其函数值，并令、一 _ 一心：，一 _ I：， 返回步骤。 图 2( a) 图 2 (b) 图 2 (c) fix) 图 2 (d) (4)判断迭代终止条件 在一般情况下，因 是前一次插值函数的极小值点，X 是本次插值函数的极小值点，若 ct一aIm B 抚 和 的距离足够小时，即满足丨一，或 和出

3、两者原函数值已很接 近，即满足I1，则停止迭代，这时，若儿二，输出极小值点-汀， 极小值川- ” I”；否则，即7 时，输出极小值点-二，极小值八 O 如不满足上述迭代终止条件，则返回步骤(3),再次缩短搜索区间， 直至最后满足终止条件。 按上述步骤设计的二次插值法算法框图见图3o 算法框图中有几点需作些说明。 1.判别框二?若成立，按式（9）和式（10）则有 说明三个插值结点汇丄、f：；在一条直线上 - _ 1 _ - 2.判别框t- ：； -?若不成立，说明二1落在区间之外。 上述两种情况只是在区间已缩得很小，由于三个插值结点已十分接近，计算机的舍入误差才 可能使其发生。此时取二!和一二作为最优解应是合理的。 3.在初始搜索区间第一次插值或“仍为初始给定点时，一和二并不代表前后二次插值 函数极小点，因而判别式1_ ：并不能确切地反映该不该终止迭代，这时应进行 步骤(3)缩短搜索区间，直至初始点抚第一次由代替，使用判别式 进行

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