孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1-玻尔兹曼方程

1、5.1 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 本节主要内容：本节主要内容： 玻尔兹曼方程和弛豫时间近似玻尔兹曼方程和弛豫时间近似 5.1 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 0 () 1 ( ) 1 kB k k T f e 表示表示N电子体系电子体系在在热平衡态热平衡态(温度为温度为T) 时，能量为时，能量为k的单电子本征态被一个电子占据的的单电子本征态被一个电子占据的 概率，亦即该电子态的平均电子数。概率，亦即该电子态的平均电子数。 0( ) k f 在第一章我们讨论金属自由电子气体的热性在第一章我们讨论金属自由电子气体的热性 质时，已经知道在热平衡状态下，即温度均匀且质时，已经知道在热平衡状态下，即温度均匀且

2、 无外场作用时，电子系统的分布函数为费米分布无外场作用时，电子系统的分布函数为费米分布 函数，为了和非平衡分布函数区分，把费米分布函数，为了和非平衡分布函数区分，把费米分布 函数表示为：函数表示为： 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 显然，对于均匀体系，显然，对于均匀体系， 与电子所在晶体与电子所在晶体 内位置内位置 r 无关。无关。 0( )k f 要想讨论输运问题，必须知道微扰状态下要想讨论输运问题，必须知道微扰状态下 的分布函数，如何确定非平衡状态下电子的分的分布函数，如何确定非平衡状态下电子的分 布函数呢？布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子

3、 的分布函数的方程。的分布函数的方程。 0 () 1 ( ) 1 kB k k T f e 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨 论论电子的等能面是球面，且电子所经历的碰撞为电子的等能面是球面，且电子所经历的碰撞为 弹性散射弹性散射(散射前后能量相等，仅波矢的方向有散射前后能量相等，仅波矢的方向有 所改变所改变)以及弱场的情况以及弱场的情况(亦即可将外场的作用当亦即可将外场的作用当 成微扰，从而非平衡的稳态分布相对于平衡分布成微扰，从而非平衡的稳态分布相对于平衡分布 偏离甚少偏离甚少)。 在上述假定下在上述假定下,非平衡的稳态分布可以表示为：非平衡的稳态

4、分布可以表示为： 011, ffff为小量。 1.分布函数的变化分布函数的变化 电子分布函数电子分布函数 f 是波矢是波矢 、空间坐标、空间坐标 和时和时 间间t的函数的函数。亦即，在。亦即，在t时刻，在单位体积晶体时刻，在单位体积晶体 内位置内位置 附近找到一个波矢为附近找到一个波矢为 的电子的几率的电子的几率 是：是： k r r k ( , , )ff r k t 电子分布函数电子分布函数 f 与位置与位置 有关系，通常是由有关系，通常是由 于于化学不均匀性化学不均匀性引起的。其原因引起的。其原因一方面一方面是由于化是由于化 学成分不均匀学成分不均匀(成分不同化学势不同成分不同化学势不同

5、)引起的化学引起的化学 势势(费米能费米能)依赖于位置；依赖于位置；另一方面另一方面是由于有温度是由于有温度 梯度引起的化学势梯度引起的化学势(费米能费米能)依赖于位置。我们这依赖于位置。我们这 里仅考虑后者里仅考虑后者,即：即： r 温度梯度温度梯度 f 变化变化 变化变化 r 化学势变化化学势变化 电子分布函数电子分布函数f 与波矢与波矢 有关系，也就是与有关系，也就是与 能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。理解。 k d () d k Fe EvB t 在外电场在外电场 和磁场和磁场 中中,电子的运动规律是：电子的运动规律是：E B 电

6、子分布函数电子分布函数f 与时间与时间t有关系，是因为外力的有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即：作用使得波矢依赖于时间，即： EB ，f 变化变化变化变化k 能量变化能量变化 如果不存在碰撞如果不存在碰撞，t时刻，在相空间时刻，在相空间(以波矢以波矢 坐标坐标 为变量组成的空间为变量组成的空间) 、 处的电子必来自处的电子必来自 t - dt 时刻时刻 处，即处，即不存在碰撞时不存在碰撞时来来 自于电子的自于电子的漂移过程漂移过程。所以：。所以： k r r k ,rrdt kkdt ( , , )(,)f r k tf rrdt kkdt tdt d () d k Fe EvB

7、 t ( , , )(,)f r k tf rrdt kkdt tdt 如果不存在碰撞如果不存在碰撞 实际上实际上,由于由于存在碰撞存在碰撞,dt 时间内时间内,从从 出发的电子未必都能到达出发的电子未必都能到达 、 处处,自然，自然， 、 处处 的电子由于的电子由于存在碰撞存在碰撞也并不全部来自也并不全部来自 处。所以占据几率随时间的变化包括两部分：处。所以占据几率随时间的变化包括两部分： 一部分是一部分是迁移过程迁移过程(粒子的漂移和扩散粒子的漂移和扩散);另一部另一部 分是与相互作用的对方分是与相互作用的对方相碰撞相碰撞而出现的而出现的.所以：所以： ,rrdt kkdt k r r ,

8、rrdt kkdt k ( , , )(,) f f r k tf rrdt kkdt tdtdt t 碰 漂移作用引起的分布函数的变化漂移作用引起的分布函数的变化 fff ttt 碰漂 碰撞引起的分布函数的变化碰撞引起的分布函数的变化 所以，电子分布函数的变化可表示为：所以，电子分布函数的变化可表示为： 通常我们研究输运行为时，讨论的都是定态通常我们研究输运行为时，讨论的都是定态 过程，即假定：过程，即假定： 0 f t 注意，这里提到的稳态情形注意，这里提到的稳态情形 和费和费 米米狄拉克函数狄拉克函数 所定义的平衡态之间是有所定义的平衡态之间是有 区别的。区别的。 0 f t 0( )k

9、 f 从上面的讨论可以看出，要研究输运行为，从上面的讨论可以看出，要研究输运行为， 必须对必须对漂移项漂移项(drift term)和和碰撞项碰撞项(collision term)(或或散射项散射项(scattering term)也叫也叫相互作用项相互作用项) 有所了解。有所了解。 1).漂移项漂移项(先不考虑碰撞时先不考虑碰撞时) 按照分布函数的定义，在按照分布函数的定义，在t时刻，总电子数中时刻，总电子数中 存在于相空间体积元存在于相空间体积元 内的电子数为：内的电子数为： d ( )( , , )( , , ;,; ) xyz f t df r k t df x y z k k k t

10、 d xyz ddrdkdxdydzdk dk dk fff ttt 碰漂 在在 t+dt 时刻时刻,空间体积元空间体积元 含有含有这样一些这样一些 电子电子,这些电子在这些电子在t 时刻的坐标是时刻的坐标是 其波矢分量为其波矢分量为 亦即在亦即在 t+dt 时刻有：时刻有： d , xyz x v dt y v dt z v dt , xxyyzz kk dt kk dt kk dt ()f t dt d 在扩散的影响和外力的作用下，坐标空间和在扩散的影响和外力的作用下，坐标空间和 动量空间中的占据几率发生变化。动量空间中的占据几率发生变化。 也就是也就是这部分电子是漂移过来这部分电子是漂移

11、过来的，所以：的，所以： (,;,; ) xyzxxyyzz f x vdt y v dt z vdt kk dt kk dt kk dt t d xyzxyz xyz fffffff vvvkkk txyzkkk 漂 ()( ) f f tdtf tdt t 左边 (,;,; ) xyzxxyyzz f x vdt y v dt z vdt kk dt kk dt kkdt t 右 xyzxyz xyz fffffff vvvkkk txyzkkk 漂 推导：推导： 利用多元函数的泰勒展开利用多元函数的泰勒展开,且只取到且只取到dt的线性项的线性项 ( , , ;,; ) xyzxyz f

12、x y z k k k tv dtv dtv dt xyz ( , , ; , ; ) xyzxyz xyz k dtk dtk dtf x y z k k k t kkk (,)( ,) ( ( , )f xx yyf x yxyf x y xy ， 左右相等，即可得到上式。左右相等，即可得到上式。 xyzxyz xyz fffffff vvvkkk txyzkkk 漂 fff rk trk 漂 或或： 漂移项漂移项=外场作用力引起的外场作用力引起的电子波矢的漂移电子波矢的漂移 +速度引起的速度引起的电子位置的漂移电子位置的漂移 r k rfkf 漂移描述了在两次碰撞之间的纯动力学行为，漂移

13、描述了在两次碰撞之间的纯动力学行为， 并不导致不可逆因素，为此必须考虑碰撞项。并不导致不可逆因素，为此必须考虑碰撞项。 碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平 衡分布。衡分布。 对于碰撞项的考虑，只有知道了各碰撞机制，对于碰撞项的考虑，只有知道了各碰撞机制， 才能够精确地计算碰撞引起的分布函数的变化。才能够精确地计算碰撞引起的分布函数的变化。 但是，为使问题简化，我们可以仿照第一章但是，为使问题简化，我们可以仿照第一章 的做法，引入弛豫时间的做法，引入弛豫时间(k) 作为表征各个相互作为表征各个相互 作用的唯象量。作用的唯象量。 2).相互作用项相互作用项

14、(碰撞项或散射项碰撞项或散射项)： 第一章弛豫时间是作为碰撞的几率，或相继两第一章弛豫时间是作为碰撞的几率，或相继两 次碰撞间的平均时间引进的。次碰撞间的平均时间引进的。 现在我们从分布函数的角度来看弛豫时间这现在我们从分布函数的角度来看弛豫时间这 一假定的意义。一假定的意义。 设没有施加外场时设没有施加外场时,电子系统处于平衡状态电子系统处于平衡状态, 在外场的作用下在外场的作用下,由于由于漂移漂移,电子系统进入非平衡电子系统进入非平衡 态态,外场去掉后外场去掉后,由于由于碰撞碰撞将使得系统恢复平衡。将使得系统恢复平衡。 0 fff t 显然系统恢复平衡的快慢显然系统恢复平衡的快慢( ) 将

15、与系统偏将与系统偏 离平衡态的程度离平衡态的程度( )以及碰撞的频度以及碰撞的频度( )有有 关关.在在对平衡态的偏离较小时对平衡态的偏离较小时,我们假定系统恢复我们假定系统恢复 平衡的快慢比例于系统偏离平衡态的程度以及碰平衡的快慢比例于系统偏离平衡态的程度以及碰 撞的频度撞的频度,即：即： f t 0 ff 1 一般称上述近似为一般称上述近似为线性近似线性近似，负号源于偏离将随，负号源于偏离将随 时间的增加而减小。时间的增加而减小。 从该式出发可以进一步得到从该式出发可以进一步得到 0 0 () fft ff 即电子的分布函数偏离了平衡分布后即电子的分布函数偏离了平衡分布后,系统依系统依 赖

16、碰撞恢复平衡分布的弛豫过程随时间以指数形赖碰撞恢复平衡分布的弛豫过程随时间以指数形 式变化式变化,弛豫时间弛豫时间 为这一过程的时间常数为这一过程的时间常数. 是是 平衡时的费米狄拉克分布函数。平衡时的费米狄拉克分布函数。 0 f 01 fff 1 1 ( ) 0 (0)0 0 () ftt ft fft ff 所以： 0 0 () fft ff 011 ( )(0) t fff tf te 由于上述过程是在无外场，无温度梯度下完由于上述过程是在无外场，无温度梯度下完 全全由碰撞由碰撞引起的，即：引起的，即： 0 f t 漂 fff ttt 碰漂 01 ffff t 碰 得到：得到： 所以由：

17、所以由： 由于研究输运行为时，讨论的都是定态过程由于研究输运行为时，讨论的都是定态过程, 即假定：即假定： 0 f t 01 ffff t 碰 r k fff rkrfkf trk 漂 fff ttt 碰漂 这样我们就得到了稳态条件：这样我们就得到了稳态条件： 0 0 r k ff rfkf 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 0 r k ffrfkf或： 2.玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 0 0 r k ff rfkf 这是所有输运现象的基本方程。这是所有输运现象的基本方程。 由于公式两边都有受微扰的占据几率由于公式两边都有受微扰的占据几率 f ,所以所以 在该形势下求解很困难在该形势下求解很困难.然而对

18、于所有的实际情然而对于所有的实际情 况况,外界影响给占据几率带来的变化都很小外界影响给占据几率带来的变化都很小,所以所以 可近似可近似用非微扰占据几率的梯度替换方程右边用非微扰占据几率的梯度替换方程右边。 0 r k ffrfkf或： 000 r k ffrkff或 ： 00 1 0 r k ff f rk 总之有了外场和温度梯度，系统的分布才总之有了外场和温度梯度，系统的分布才 会偏离平衡，无休止的漂移；有了碰撞，就会会偏离平衡，无休止的漂移；有了碰撞，就会 使漂移受到遏制，被限制在一定程度而达到稳使漂移受到遏制，被限制在一定程度而达到稳 定分布。定分布。 考虑仅有外电场和温度梯度存在的情况

19、下，考虑仅有外电场和温度梯度存在的情况下， 漂移项变为：漂移项变为： () e kEvB 在施加外磁场时在施加外磁场时,外磁场主要是引起电子波矢外磁场主要是引起电子波矢 的漂移：的漂移： 000 r k fffeE rfkfrT Tk 1 k r 01 () () kk ffe kfvB kk 0000 1 kk ff v ff kk 而： 所以，在电场、磁场和温度梯度都存在时，玻尔兹曼方程为：所以，在电场、磁场和温度梯度都存在时，玻尔兹曼方程为： 011 () ()() kkk fffee kfvBvB kkk 所以： 00 k v ff k 000 r k fffeE rfkfrT Tk

20、00011 ()0 k fffffeEe rTvB Tkk 温度梯度温度梯度 电场电场 磁场磁场 外磁场引起的变化外磁场引起的变化 外电场和温度梯度存在的情况下的变化外电场和温度梯度存在的情况下的变化 关于碰撞项的讨论，也可以从量子力学出发展开。关于碰撞项的讨论，也可以从量子力学出发展开。 由此方程可得分布函数，从而可以进一步讨论金属由此方程可得分布函数，从而可以进一步讨论金属 电导率随温度的变化，以及热导率、热电效应、霍尔电导率随温度的变化，以及热导率、热电效应、霍尔 效应和磁电阻效应等效应和磁电阻效应等 00011 ()0 k fffffeEe rTvB Tkk 由于声子或杂质的散射，粒子

21、可以从由于声子或杂质的散射，粒子可以从 k 态跃迁到态跃迁到 k / 态，也可以从态，也可以从 k /态跃迁到态跃迁到 k 态。态。 设设w(k，k /)表示单位体积中在单位时间由表示单位体积中在单位时间由 k 态跃迁态跃迁 到到 k / 态的散射几率，态的散射几率，w(k /，k)表示单位体积中在单表示单位体积中在单 位时间由位时间由 k / 态跃迁到态跃迁到 k 态的散射几率。态的散射几率。 其中，只考虑了自旋相同态之间的跃迁，其中，只考虑了自旋相同态之间的跃迁，1-f( k /) 表示表示k /态未被占据的概率。态未被占据的概率。 3, 1 ( )1() (2 ) k k af kf k

22、wdk w(k，k /)表示由表示由 k 态跃迁到态跃迁到 k / 态的散射几率，态的散射几率， w(k /，k)表示由表示由 k / 态跃迁到态跃迁到 k 态的散射几率。态的散射几率。 假定在散射过程中电子的假定在散射过程中电子的自旋不变自旋不变，那么，那么单位体积单位体积 中在单位时间中在单位时间由由 k 态散射到所有自旋相同的态散射到所有自旋相同的 k /态的态的 净减几率为净减几率为 同样可以得到单位体积中在单位时间由同样可以得到单位体积中在单位时间由 k /态散射到态散射到 所有自旋相同的所有自旋相同的 k 态的净增几率。态的净增几率。 ( , , )f r k t ba t 碰 碰撞导致的分布函数的变化就是净增几率和净减几碰撞导致的分布函数的变化就是净增几率和净减几 率之差，即率之差，即 3, 1 ()1( ) (2 ) k k bf kf kwdk 单位体积中在单位时间由单位体积中在单位时间由 k /态散射到所有自旋相同态散射到所有自旋相同 的的 k 态的净增几率为态的净增几率为 则分布函数随时间变化的玻尔兹曼方程为则分布函数随时间变化的玻尔兹曼方程为 r k f rfkfba t