哈工大-有限元理论

1、刘亚欣刘亚欣规格严格、功夫到家规格严格、功夫到家 1 理论力学理论力学 研究物体机械运动一般规律的科学研究物体机械运动一般规律的科学 对象对象: 刚体和刚体系刚体和刚体系 特征特征: 无变形、复杂形状的物体无变形、复杂形状的物体 材料力学材料力学 研究构件的承载能力研究构件的承载能力 对象对象: 简单的变形体简单的变形体(杆、梁杆、梁) 特征特征: 小变形、简单形状的物体小变形、简单形状的物体 桁架结构桁架结构 弹性力学弹性力学 研究弹性物体受力后的变形、各点位研究弹性物体受力后的变形、各点位 移移，内部内部 的的应变与应力应变与应力 对象对象: 任意变形体任意变形体

2、 特征特征: 小变形、任意形状的物体小变形、任意形状的物体 有限元法有限元法 求解偏微分方程初边值问题的有效的求解偏微分方程初边值问题的有效的数值方法数值方法，广泛应，广泛应 用于结构工程分析、传热分析、电磁场、渗流及流体力学、流用于结构工程分析、传热分析、电磁场、渗流及流体力学、流 变学等可以用偏微分方程描述的领域，是工程领域中应用最广变学等可以用偏微分方程描述的领域，是工程领域中应用最广 泛的一种数值方法泛的一种数值方法。 预修课程预修课程 高等数学；材料力学；线性代数；高等数学；材料力学；线性代数；弹性力学弹性力学 薄板弯曲的弹性曲面方程薄板弯曲的弹性曲面方程: 课程目标课程目标 (1)

3、 理解理解什么什么是有限元法及其基本思想是有限元法及其基本思想 (2) 学习有限元法的基本原理学习有限元法的基本原理,主要以直接法学主要以直接法学 习有限元法的基本技术路线、理论推导。认识不习有限元法的基本技术路线、理论推导。认识不 同类型单元的行为和应用同类型单元的行为和应用范围范围. 有限单元法（或有限元分析）是以剖分插值和能量原 理为基础、以计算机为工具的结构分析数值方法。 其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元的小 区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简 单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来， 进而可以获得整个结构的变形和应力。 有限元法基本思想有限元

4、法基本思想用一个比较简单的物理模型，即将连续 的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联结在一 起的单元的组合体，去代替原有的复杂问题，从而进行求解. 椭圆封头几何模型椭圆封头几何模型 椭圆封头有限元模型椭圆封头有限元模型 技术路线技术路线 将连续域划分为有限个离散的小部分“单元”，单元与单元 之间在共同“结点”处联接起来；在每个单元内函数用已知的 简单函数近似，所有量转化为用结点变量来表示，再找到所有 这些结点变量应满足的有限维的代数方程组（一般是结点的某 种平衡方程），设法求解这个代数方程组，得有限个结点变 量，就得到了数值解或近似解。 Triangular elements Node

5、s 氧化反应器在自重作用下的整体应力氧化反应器在自重作用下的整体应力 强度云图强度云图 氧化反应器裙座底部在自重作用下的氧化反应器裙座底部在自重作用下的 应力强度云图应力强度云图 15 16 1 8 l 工程工程实例实例 (a) 铲运机举升工况测试 (b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析 图1-3 WJD-1.5型电动铲运机 1 9 (a) KOMATSU液压挖掘机 (b) 某液压挖掘机动臂限元分析 图1-4 液压挖掘机 2 0 图1-5 驾驶室受侧向力应力云图 图1-6 接触问题结构件应力云图 2 1 图1-7 液压管路速度场分布云图 图1-8 磨片热应力云图 图1-9 支架自由振动云图

6、有限元的发生与发展有限元的发生与发展 19601960年，年，CloughClough在他的名为在他的名为“The finite element The finite element in plane stress analysis”in plane stress analysis”的论文中首次提出了的论文中首次提出了 有限元（有限元（finite elementfinite element）这一术语；）这一术语； 从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理 论的萌芽阶段； 60607070年代完善理论框架，年代完善理论框架，7070年代，技术框架形成年代，技术框架形成 软件推

7、向市场。软件推向市场。 课程的学习方法课程的学习方法: 学习有限元法的基本理论学习有限元法的基本理论。理解思路。理解思路 l 专业化小程序有 lTruss lFrame lPlane Stress lHeat Transfer l 大型通用商业化程序 lANSYS lADINA lABAQUS lPANTRAN lSAP 第一步：问题及求解域定义 第二步：求解域离散化 第三步：确定状态变量及控制方法 第四步：单元推导 第五步：总装求解。 第六步：联立方程组求解和结果解释 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和 后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处 理则是采集处理分析

8、结果，使用户能简便提取信息，了解计 算结果 E1=E2=2E7Pa A1=A2=2cm2 l1=l2=10cm P3为10N作用下二杆结构的变形。 1 1 1 E Eu l 材料力学：拉应力为正，压为负； 31 11 111 1 AE UAAEu l 11 211 1 AE UUu l 有限元：x正方向的节点力为正 32 11 1112 1 AE UAAEu l 11 212 1 AE UUu l 33 把上述两种状态相加： (1)1111 11112 11 (1)1111 22212 11 A EA E UUUuu ll A EA E UUUuu ll 111111 1 111(1) 1 1

9、111 2 1122 uuAEAE Ull k AEAE U lluu 上脚标表示单元；下脚标表示节点 单元单元1刚度矩阵刚度矩阵 111111 1 111(1) 1 1111 2 1122 uuAEAE Ull k AEAE U lluu 111 111121 111 2 22112 Ukku u Ukk 222222 2 222(2) 2 2222 3 2233 uuA EA E Ull k A EA E U lluu 节点节点1： 11111 1121 11 AEAE UuuR ll 节点节点2： 1211112222 22123 1122 ()0 AEAEA EA E UUuuu ll

10、ll 节点节点3： 22222 323 22 A EA E UuuP ll 1111 11 11 11112222 22 1122 2222 33 22 0 0() 0 AEAE uu ll R AEAEA EA E uku llll P A EA E uu ll 整体刚度矩阵：整体刚度矩阵：对称，不是偶然，满足功的互等定理。对称，不是偶然，满足功的互等定理。 行列式行列式=0，奇异，物理意义无约束有位移，奇异，物理意义无约束有位移 =0 112222 2 122 2222 3 22 () 0 AEA EA E u lll PA EA E u ll 39 22 22 2 22 3 22 3 0

11、 EAEA u ll up EAEA ll 2 3 310 2E4 1110 u u 2 3 2.5E4 7.5E4 u u 40 eee K qP 1 11 1 22 11 11 uR EA uPl 111 111121 111 2 22112 Ukku u Ukk 41 KqP 43 eee K qP 44 45 4 6 有限单元法有限单元法基本步骤基本步骤 (1) 待求解域离散化待求解域离散化 (2) 单元分析，插值位移函数单元分析，插值位移函数 (3) 形成单元性质的形成单元性质的矩阵方程矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程形成整体系统的矩阵方程 (5) 约束处理，求解系统方程约束处理，求解系统方程 (6) 其它参数计算其它参数计算 4 7 三大类型三大类型(按其推导方法分): (1) 直接刚度法直接刚度法(简称直接法简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元 性质方程。 (2) 变分法变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问 题规划成线性代