勾股定理培优题

1、勾股定理 一、知识要点 1、勾股定理 勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上 的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” 勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c,其中c为斜边）的三边关系，即aJbc2，它的变形式为 c2- a2=b2 或 c2- b2=a2. 勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形 与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以

2、c为斜边的直角三角形. 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它 是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要 思想一一数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的 新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致 因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理” 二、基本知识过关测试 1. 如果直角三角形的两边为 3，4，则第三边a的值是 2. 如图，图形A是以直角三角形直角边 a为直径的半圆，阴影 Sa=. 3. 如图，有一个圆柱的高等

3、于 12cm,底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上 B点处爬至上底与 B点相对的A点处, 所需爬行的最短路程是. 4. 如图.在 ABC 中，CD 丄 AB 于 D, AB=5, CD=2.3，/ BCD=30 ，贝U AC= 5作长为2 ,3 ,.5的线段. 6. 在下列各组数中 5, 12 , 13 : 7, 24, 25; 32, 42, 52; 3a, 4a, 5a: a2+1, a2-1, 2a(a 1) ; m2-n2, 2mn, m2+n2(m n 0)可作直角三角形三边长的有 组. 7. 如图，四边形 ABCD中，AB=1, BC=2, CD=2, AD=3, AB丄BC,则四

4、边形 ABCD的面积是 Ga A CD 第2题图第3题图 第4题图 第7题图 8.如图，在正方形 ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且 EC = - BC,试判断 4 AEF的形状. 三、综合.提高.创新 【例1】（1）在三角形纸片 ABC中，/ C=90,Z A=30, AC=3，折叠该纸片，使点 A与点B重合，折痕与AB、 AC分别相交于点D和点E （如图），折痕DE的长是多少？ B (2)如图，在矩形 ABCD中，AB=8, AD=10,按如图所示折叠，使点D落在BC上的点E处，求折痕 AF的长. (3)如图，正三角形 ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，

5、FA+PM的最大值和最小值 分别记作S和T,求S2-T2的值. 【练】如图，四边形 ABCD是长方形，把 ACD沿AC折叠到 ACDAD 与BC交于E,若AD=4, DC=3,求 BE. D 【例 2】(1)如图， ABC 中，/ C=60, AB=70, AC=30,求 BC 的长. A (2) 如图，在四边形 ABCD中，AB=2, CD=1，/ A=60, / B=Z D=90,求四边形 ABCD的面积. 【练】如图， ABC中，A=150, AB=2, BC= 13，求AC的长. A 【例 3】(1)如图， ABC 中，AB=AC=20, BC=32, D 为 BC 上一点, AD丄A

6、B，求 CD. C (2)如图，在 Rt ABC中，/ C=90, D、E分别是BC、AC中点, AD=5, BE=2.10，求 AB. 【例 4】如图， ABC 中，/ ACB=90, CD 丄AB 于 D，设 AC=b, BC=a, AB=c, CD=h，求证: (1) (2) h2 a+bv c+h ； (3) 以a+b, h和c+h为边的三角形是直角三角形 C 【例5】(1) 如图，ABCD为矩形，P为矩形ABCD所在平面上一点，求证：PA2-PB2=PD2 -PC2. (2)锐角 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，若/ B=2/ C,求证：AC 2=AB 2+AB BC. 变式：如

7、图， AM是厶ABC的BC边上的中线，求证： AB 2+AC 2=2( AM 2+BM 2). (3)如图， ABC中，AB=AC, P为线段BC上一动点，试猜想 AB 2, AP2, PB, PC有何关系，并加以证明 A 变式：若点P在BC的延长线上，如图，(3)中结论是否仍然成立？并证明 (4)在等腰RtA ABC的斜边AB所在的直线上取点 P并设s =AP2+BP2，试探求 P点位置变化时, s与2CP2的大小 关系，并证明 变式：若点P在BA的延长线上，如图中，(4)中结论是否仍然成立？并证明 【例6】(1)如图， ABC中，D为BC边上的中点，以 D为顶点作/ EDF=90, DE、

8、DF分别交AB、AC于E、 F，且 BE2+FC2=EF2，求证：/ BAC=90 . A F (2)在 RtAABC 中，/ BAC=90, AB=AC, E, F 分别是 BC 上两点，若/ EAF=45 的关系，并证明 ，试推断 BE, CF, EF之间 C 变式一：将(2)中厶AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明 变式二：如图， AEF 中/ EAF=45, AG 丄 EF 于 G,且 GF=2, GE=3，求 Sa aef. 【例 7】（1 ）在厶 ABC 中，/ ACB=90, AC=BC, P ABC 内一点，且 PA=3, PB=1 , PC=2，求/ BPC 的

9、度数. C (2)如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC=30,/ ADC=60 , AD=CD，求证 BD2=AB2+BC2. 【例8】在等腰 ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度 m,得到线段AD. (1)如图1,若/ BAC=30, 30v m 80，连接 BD，请用含 m的式子表示/ DBC; AE l (2)如图2,若/ BAC=90, 0 m 0, b 0，求以.a +b , a + 4b，-. 4a + b为三边长的三角形的面积 自我归纳： 四、课后练习 1. 如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30,货轮以每小时20海里的速度航行，1小 时后到

10、达B处，测得灯塔 M在北偏西45，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔 M的距离是多少？ 2. 在厶 ABC 中，A=30, B=45, BC=10cm，求 AB, AC 及乂 ABC 的面积. 3. (1)如图，把长方形沿 ABCD对角线折叠，重合部分为 EBD. 1) 求证和： EBD为等腰三角形； 2) 若 AB=2，BC=8，求 AE. 东 C (2)如图，折叠长方形 ABCD的一边 AD，使点D落在BC边上，已知 AB=8cm，CE=4cm，求AD. 4. 如图， ABC 是等腰三角形，/ BAC=90, AB=AC, D. E.是 BC 上的两点，且/ DAE=45, 若 B

11、D=6, EC=8, 求DE的长. A C 5. 如图，在等腰三角形中， AB=AC, D是斜边BC的中点，E、F分别为AB, AC边上的点，且 DE丄DF. (1) 求证：be2+cf2=ef2； (2) 若 BE=12, CF=5，试求 DEF 的面积. (2)如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2, (1)中结论仍成立; 6. 如图，等腰 Rt ABC 中，/ A=90, PABC 内一点，PA=1 , PB=3, PC= . 7 ，求/ CPA. C AB 7. (1)如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2. D C D C 如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3, (1)中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明 D C 归纳结论: 8如图， ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2- AC2=2BC DE. 9. 求代数式.x? +1 + ( 9- X)+ 4的最小值. 10. 试判断，三边长分