初中数学培优教材知识点专题讲解-垂径定理

1、初中数学培优教材知识点专题讲解垂径定理我们知道圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图象，对称轴是直径所在 直线.圆的轴对称性给了我们一个直观的认识.如图27.3.1,对于圆内有垂直于弦CD的直径AB,同样也是轴对称图形，在这个图形中，乂有怎样的结论存在呢？说明你的理由.图 27.3.1：OC=CD, AB 丄 CD, OB 平分 A COD, CE=DE. BC = BD 且 ZAOC= ZAOD. AC = AD .我们得到了一个圆的性质定理：垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两 条孤.【例1】已知：如图27.3.2,圆O是AABC的

2、外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，点E和点F分别是边AC和BC的中点.求证：四边形CEDF是菱形.c【分析】由点E和F分别是边AC和BC的中点，可知CE=DE=-AC, CF=DF=、BC因 2 2此，只要证明AC=BC即可.证明：CD丄AB,圆心O在CD上，AC = BC, :.AC=BC. ：点E和F分别是边AC和BC的中点，:.CE=DE=-AC, CF=DF=-BC. :.CE=DE=CF=DF.二四边形 CEDF 是菱形. 2 2【例2根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分（如图27.3.3）,此时的水面宽AB为0.6米，污水深（即阴影部分的弓形高）为0.1米.求圆形的下水

3、管道的直径.图 2733分析：作半径垂直于AB,运用勾股定理构造方程求解.解：作半径OC丄垂足为点D,连接OA,则CD即为弓形髙.TOC丄且 O 为圆心，AD=丄/W VAB = 0.6, :.AD=03. 2设半径为 r 米，则 CA = OC=r. C=0.1, :.CD = r0A.在 RtAOAD 中，V OC丄AB, ：.OD2+AD2 = OA2. /.（r-O.l+OJz-2.解得r=0.5.所以，圆形的下水管道的直径为1米例2是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法.这种用代数方法解决儿何问 题的方法是非常重要的解题方法.练习273(1)1. 已知：如图，P是0O的直径延

4、长线上的一点，PC与OO分别相交于点E和点 C,过点C作CD丄AB,交O于点D,连接PD.(1) 求证：PC=PD；(2) 如果PE的长等于0O的半径OC,求证：ZAOC=3Z2APC厂2. 如图，已知OO的半径为5,弦的长等于& OD丄AB.垂足为点D, DO的延长 线与OO相交于点C,点E在弦AB的延长线上，CE与OO相交于点F, cosC= | .求：(1)CD 的长；(2)EF的长.3. 知图，AB是的直径，CB是弦，OD丄于&交BC于D,连接AC.请写出两个不同类型的正确结论；若CB=8, ED = 2,求OO的半径.4如图，某新城休闲公园有一圆形人工湖，湖中心O处有一喷泉.小明为测

5、量湖的半 径，在湖边选择A、3两个观测点，在A处测得ZOAB=a,在AB延长线上的C处测得Z OCB=卩,若sina=f, tan/? = -, BC=50米.求人工湖的半径.53练习27.3(1)答案1.提示：(DTOA丄CD 点O是圆心，OA平分CD：PC=PD.(2)连接 OE. :PE=OC=CE, :.ZEPO=ZEOP. :.ZCEO=2ZEPO 9：OC=OE, :. ZOCE= ZCEO=2ZEPO. :. ZAOC=3ZEPO,即 ZAOC=3ZAPC.2.提示：(1)连接AO. VODA.AB,AD=BD=AB=. ：AO = 5f ：.OD=3. :.CD=S,(2)过点

6、 O 作 OHl.HC 于点、E,CF=2CH.在 RtAOCH 中，VcosC=-, OC5=5,:CH=3.在 RtACDE 中，VcosC=- = , CD = & CE=. :.EF=CECF=-5 DE336.33.提示：（1）不同类型的正确结论有：BE=CE；ED = CD；ZBED = 90；上BOD= ZA：AC/GD；AC丄BC；OE2+BE2 = OB2；Smbc=BCOE；BOD 是等腰三角形；/BOEs“BAC；等等半径为54.人工湖的半径为500米.提示：作OD丄AB,垂足为点D, :.AD=BD.在 RtAOAD 中，由 sinZOAD= = .设 CD=3x,则

7、OA = 5x9 :.AD=BD=4x9 :. OA 5CD=4x+50.在 RtAODC 中，由 tanZOCD= =-,得丄=?,解得 x=100,即 04 = 500CD 3 4x + 503即这个人工湖的半径为500米.问题1如果把垂径定理中的“直径垂直于一条弦”与“直径平分这条弦”或值径平分这条弦所对 的两条弧”互换，那么所得的新命题是真命题吗？(1)如图27.3.4,如果0O的直径AB与弦CD相交于点E, CE=DE,那么AB丄CD、BC =DB 吗?：OC=OD、CE=DE, ：AB丄CD 且ZCOE=ZDOE,即 ZCOB= ZDOB, :. BC = DB 图 27.3.4(

8、2).如图27.3.4,如果OO的直径AB与弦CD相交于点& BC = DB ,那么佔丄CD,CE=DE 吗？: BC = DB , :.ZCOB=ZDOB 9：OC=CD, :.AB丄CD, CE=DE.问题2垂直平分弦的直线一定过圆心吗？在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径.山线段垂直平分线定理的逆定理, 可知圆心一定在弦的垂直平分线上.问题3如图27.3.5,弦CD与弦AB相交于点E如果CE=DE, BC = DB ,那么CD与/W垂直吗？30 / 26图 27.3.5由BC = DB可知BC=BD乂因为CE=DE,则BE垂直平分CD.因为圆心O在CD 的垂直平分线上，所以圆心

9、0在直线BE上，即CD丄A3.(2)如果CD丄AB,垂足为点E, BC = DB ,那么CE=DE吗？由BC = DB可知BC=BD. 乂因为CD丄AB,垂足为点E,所以CE=DE.进一步，因 为圆心O在CD的垂直平分线上，所以圆心O在直线AB上，AB为30的直径.由以上三个问题，我们可以得出：垂径定理的推论1对于一条直钱“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦(非直径)”、“平分 弦所对的弧这四组关系中，如果有两组关系成立，那么另外两组关系也成立.【例3】位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人丄湖为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与4、C之间的距离相等，

10、并测得3C长为240米,A到BC的距离为5米,如图27.3.6所示请你帮他们求出滴水 分析：由AB=AC可知AB = AC,则山垂径定理的推论1可知04垂直平分BC,则可运用 勾股定理求解.湖的半径图 2736解：设圆心为点O,连接03、OA, 04交线段BC于点D.9：AB=AC, :. AB = AC , .OA 丄 BC,且 BD=DC= - BC=20.2由题意,DA=5.在 RtABDO 中,OB2=OD2-BD2.设 OB=x 米，则 =(%-5)2+1202.Ax= 1442.5即滴水湖的半径为1442.5米.问题4如果一条直径垂直于两条弦呢？此时乂有怎样的结论呢？如图27.3.

11、7,是OO的直径，弦CD与弦EF分别与A3垂直.连接CO、DO. EO、FO可以得出 ZEOA = ZFOA9 ZCOB=ZDOB9 则ZEOC=ZFOD,因此CE = DF .FC图 27.3.7山此，我们得到：垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等.【例4】如图273.8, O的半径为几 弦与弦CD交于点P,且AB丄CD求PA2+PB2+PC2+PD2 的值.图 27.3.8分析：因为ABLCD,所以PA1+PB2+PC2+PD2=AD2+BC2.由于AD与BC分散在圆中， 因此通过作直径DE并连接AE,证明AE=BC,将AD2+BC2转化为AD2+AE2.解：过点 D 做直径 DE,

12、连接 AD、AE. ED, EC、BC. *：ABVCD, :.PA2+PD2=AD2, PB2 +PC1=BC1.；DE 是00 的直径,：OC=OE=OD, ZECD = 90。,同理，ZEAD=90. :.EC/AB,/. BC = AE ,BC=AE, PA1+PB2+PC2+PD2 =AD2+BC2 =AD2 +AE2 = DE2 =4R2.练习 27.3(2)1.如图，在厶ABC 中，AB=AC=0, sinZABC=, 0O 经过点 B、C,圆心 O 在A3C 5设(DO半径为的内部，且到点A的距离为2,求圆。O的半径.2. 如图，在GO中，M是弧43的中点，过点M的弦MN交弦A

13、B于点C,N4cnn W=4/3cm, OH丄MN,垂足是点H求:(1)OH的长度；(2)ZACM的大小.3. 某公园有一圆孤形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶D到水面的距离 DC=4 米.(1) 求水面宽度AB的大小；(2) 当水面上升到EF时，设EF交CD于点G,且EG = 3DG,求水面上升的高度.4. 如图，在0O中，弓玄AC丄BD, 乂 0E丄CD于E, AB = 3,求OE的长度.练习273(2)答案1. OO的半径为4运.提示：过点 A 作 AD丄BC,垂足为点 D *：sinZABC=-, :.cosZABC=-.55在中,BD=AB cosZABC= 10X =8

14、, AD=AB sinZABC= 10X ? =6 559：AB=AC=O, AD丄BC, ：.BC=2BD=6TAD垂直平分BC,：圆心O在直线AD上，：.OD=62=4.连接BO,在RtAOBD中，BO= OD2 + BD2 =45 ,即圆O的半径为4巧.2. 提示：连接MO交弦A3于点E.(1) VOH丄MN, O 是圆心，MH=gMN.又 VM/V=4cm, :.MH=2/3cm.在心MOH 中，OM=4cm, ：OH= MH?=曲 _(2羽F =2(cm).(2) TM是弧AB的中点，MO是半径，MO丄AB.在RtAMOH中，OM=4cm, OH=2cm, /. OH=-MO, .Z

15、OMH=30。，在 RtAA/EC 中，Z A CM=90。一 30。= 60。.3. (1)水面宽度AB的长为16米.(2)水面上升的高度为2米.提示：设拱桥所在圆的圆心为O,由题意可知，点O在DC的延长线上，连接04, I ODLAB,ZACO=90.在 Rt/ADO 中，OA=0, OC=ODDC= 10-4=6, :.AC=S.：OD丄AB, OD是半径,:.AB=2AC=16.即水面宽度A8的长为16米.(2)连接 OE, : EFHAB, ODLAB. :. OD丄EF, :. ZEGD= ZEGO = 90。在 RtAEGD 中，EG = 3DG.设水面上升的髙度为x米，即CG=

16、x,则DG=4-v, :.EG=2-3x.在 RtAEGO 中，EG1+OG1=OE1, B|J(12-3x)2+(6+a-)2= 102,化简得 W-6x+8=0.解得q=4(舍去)，出=2.即水面上升的高度为2米.4. 2 .提示：作直径DF,连接FB、FC,则可证丄3D 因此FBIIAC,所以AB = FC 9 2AB=CF因为CE为中位线，所以OE=1fC=Jm3=2 2 2【例5】如图27.3.9, AB是30的直径，弦CD与相交，过A、3向CQ引垂线，垂足分别为E、F求证：CE=DF.图 27.3.9证明：过圆心 O 作 CM丄CD 于 M,则 CM=DM 9：AE丄CD, BF丄

17、CD, :.AE/OM/FB.乂 O 是 A3 中点，是 EF 的中点.:.EM=MF:.CE=DF.【例6】已知：如图27.3.10, A、B、C为O上的三点，D、E分别为AB . AC的中点，连 接DE分别交AB、AC于F、G.求证：AF=AG.图 27.3.10分析：要证明AF=AG只要证明ZAFG=ZAGF9即ZDFB=ZEGC.由7）、E分别为AB、 AC的中点，可知CD丄AB, OE丄AC. 乂因为OD=OE,所以ZODE= ZOED,则 ZDFB=ZEGC.证明：连接 OD、OE. 、E 分别为 AB、AC 的中点，：.ODAB, OBLAC. V OD=OE, :.ZODE=Z

18、OED. ZDFB=ZEGC,即 ZAFG=ZAGF. :.AF=AG.【例7】已知：如图27.3.11, OOi与002交于4、B,过4的直线分别交G)Oi与于M、N, C是MN的中点，P是0102的中点.求证：PA=PC.图 27.3.11分析：过点P作MN的垂线PF交MN于F,要证PA=PC,则只要证明AF=CF.过点01、O2作MN的垂线 则DF=EF,因此只要证明DC=AE即可乂可证明DE=CN=-MN,所以DC=EN=AE证明：过点Oi、P. O2作MN的垂线，垂足分别为点D、F、E,则DA=-AM. AE=-AN,2 2DE=、MN.2点 C 为 MN 的中点，:.CN=-MN=

19、D E,：.DC=EN=AE 9：OiD 丄 MM PF 丄 MM2O2E 丄 MM：.ODIIPFIIOiE. TP为qO2的中点，F为DE的中点，即DF=EF.*.CF=AF.:PF丄4G :.PC=PA练习 27.3(3)1.已知：如图，CD为(DO的弦，E、F在直径A3上，EC丄CD, DFCD,求证：AE=BF2. 如图，AB 是0O 的直径，CQ 是弦，ABIICD, 乂 AB = 30, CD=24,3. 如图，在OO中，C为ACB的中点，CD为直径，弦A3交CD于点P, PE丄CB于E若3C=10,且CE:EB = 32,求43的长.4. 已知：如图，MN是半圆O的直径，半径O

20、A丄MM D为04的中点，过D作弦BC/MN.求证：四边形ABOC为菱形.练习27.3(3)答案1. 提示：过点 O 作 OG丄CD 于点 G,贝|J CG=DG, CE/OG/FD,因此 OE=OF, 乂 OA = OB,所以 AE=BF.2. AC=3 /To提示：连接OC,作OE丄CD于E, CF丄AB于F.求得AC=3屁.3. AB=4価提示：先证明CDA.AB,再证明PB?=BEBC,求得= 帀.4. 提示：证明40与BC互相垂直平分.27.3垂径定理练习 27.3(1)1 如图，O的半径为5,弦AB的长等于8, OD丄A3,垂足为点D, DO的延长线与GO 相交于点C,点E在弦AB

21、的延长线上，CE与(DO相交于点F, cosC=兰.求：5(1)CD的长；EF的长.2.如图一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD的圆心，其中CD = 600m, E为CD上一点,且0E丄CD,垂足为F, EF=90m,求这段弯路的半径.3.如图，点C、D分别在扇形AOB的半径04、03延长线上，且04 = 2, AC=2, CD平行于并与弧43相交于点M、M(1)求线段OD的长；若tanC= 1,求弦MN的长.4.如图，AE是半圆O的直径，弓玄AB = BC=4迈,弓玄CD=DE=4,连接03、OD,求图中两个阴影部分的面积和.第4题5. 如图，在半径为2的扇形AOB中，ZAOB

22、=90,点C是弧佔上的一个动点(不与点4、B重合)，OD丄BC, OELAC,垂足分别为、E.(1) 在ADOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在, 请说明理由.(2) BD=x, ADOE的面积为y,求，关于x的函数关系式，并写出它的定义域.练习27.3(1)答案1. (1)连接 OA.丄AB, AB=8, AD=4. *：OA = 5f :.CD=3. *：0C=5f :.CD=S.(2)作 OH丄CE,垂足为点 H. TOC=5, cosC= |, ACH=4. TOH丄CE,，CF=2CH =8.丈：CD = & cosC=-,CE=10.:EF=2.5

23、2. 设弯路的半径为/?,则 O F=(/?-90)m. OE 丄 CD :.CF=-CD=- X 600 = 300m.2 2根据勾股定理，得：OC2 = CF2+of2,即疋=30()2+(r_90)2,解得 = 545,.这段弯 路的半径为545m.3. (1)根据平行可证得COD等腰三角形，OD=OC=5.(2)过点O作OE丄垂足为点E,并连接OM,根据tanC= 1与OC=5得OE=书.在RtHOEM中，利用勾股定理，得ME=2,即MN=2ME=4.4. 弦AB = BC,弦CD=DE,：点B是弧AC的中点，点。是弧CE的中点,.ZBOD =90。，过点 O 作 OF丄BC 于点 F

24、, OG丄CD 于点 G,贝BF=FC=2 迈,CG=GD=2, ZFOG=45。，在四边形 OFCG 中，ZFCD=135。，过点 C 作 CNHOF,交 OG 于点、N,则ZFCN=90。, ZNCG= 135。一90。=45。. CNG 为等腰三角形.：CG=NG=2.过 点N作NM丄OF于点M,则MN=FC=2迈.在等腰三角形MNO中，NO=MN=4, ：OG=ON+NG = 6.在 RtAOGD 中，OD=JoG+GD?皿 即圆 O 的半径为2応,故S阴影=S扇形OBD= 叱空工=10厂A0E5. (1)如图，存在，DE是不变的连接AB,则AB=JOB2+OA2 =2. V ODLBC. OE丄AC,D和E分别是和C4的中点DE=LaB=2(2)如图，BD=x, :. OD=-x2 . VZ1 = Z2, Z3=Z4, Z2+Z3=45.过D作”丄OE*耳,EF备:.y= - DF OE= 4 一+ -匸(0 v/3 .四边形ABCD的面积是2VJ27.3(3)1.已知一条弦43分圆的直径为3和7的两部分，弦和直径相交成60。角，求43的长.2.已知：如图，GO与00相交