(完整word版)全等三角形证明提高题

1、ABC的两条高BD、CE相交于点P,且PDPA = PA,图1例2(天津市初二数学竞赛题)如图2,全等三角形提高题精选全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些 竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。一、与线段相等有关的竞赛题例1(成都市初二数学竞赛题)如图】，PE。求证：AC = AB。简证：连AP。因为/ PDA = Z PEA = 90, PD = PE, 所以 Rt PDA 也 Rt PEA ( HL )。 所以AD = AE。因为 Z1= 90 -Z CAB =Z2,所以 Rt ACE 也 Rt ABD (AAS )。 所

2、以AC = AB。图2AC = BC,Z ACB = 90,Z A 的平分线 AD1交BC于点D，过点B作BE丄AD于点E。求证：BE = AD 。2简证：延长BE、AC交于点F。因为Z1=Z2, AE = AE , Z AEB =Z AEF = 90, 所以 AEB 也厶 AEF (ASA )。1所以 BE = FE= BF。2因为Z3= 90-Z F=Z2, BC = AC, 所以 Rt BCF也 Rt ACD ( ASA )。1所以 BF = AD , BE = AD。2二、与角相等有关的竞赛题例3(赣州市初三数学竞赛题)如图,ABC中，Z ACB = 90, AC = BC , BD是

3、中线，CE丄BD于点E,交AB于点F。求证：Z ADF =Z CDE。简证：过点 A作AG丄AC交CF的延长线于点 G。因为 Z1= 90 -Z3=Z2, AC = BC ,所以 Rt CAG 也 Rt BCD (ASA )。所以 AG = CD = AD , Z G=Z CDE。因为 Z4= 45 =Z5, AF = AF,所以 ADF 也厶 AGF (SAS )。图3例4(上海市初中数学竞赛题)如图4,四边形1于点E， AE =2图4ABCD 中，AC 平分/ BAD , CE 丄 AB(AD + AB )。求证：/ ADC +Z ABC = 180。F。B.AB -AD=CB - CDD

4、 . AB -AD 与 CB - CD 的大A所以/ ADF =Z G=Z CDE。简证：过点 C作CF丄AD交AD的延长线于点 因为 Z2=Z3, AC = AC,所以 Rt ACF 也 Rt ACE (AAS )。所以 CF = CE , AF = AE。因为 AD + AB = 2 AE , AB = AE + EB ,所以 EB = AE AD。因为 FD = AF AD ,所以EB = FD。所以 Rt CEB 也 Rt CFD ( SAS )。所以/ ABC =Z 5。所以/ ADC +Z ABC = Z ADC +Z5= 180。全等三角形（竞赛题选讲）【例题讲解】例题1 .（第

5、17届江苏省竞赛题）如图 17 -1所示，在四边形 ABCD中，对角线AC平分/ BAD , AB AD，下列结论正确的是（）A. AB-ADCB-CDC. AB -AD v CB -CD小关系不确定【解密】 在AB上截取AE = AD,利用角平分线翻折构造 全等三角形.在 BCE中，运用三边关系比较相关线段的大小.【解】 At 由 /AECADC.得 EC = CD,在甘EC 中* BEBC-EC 即 AB-ADCBCD.【探密】当面临以下惜况时，常需要构造全等三角形：(D从条件出发*无法证明图形中的三角形全等*(2)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形.例题3.如图17 -

6、3所示，/ B = 2/C, AD丄BC于D，求证：AB + BD = CD .【解密】 建长DB于吏BE = AB.连结AE.【解】 延长DE至E,使BE = AB.连结A /ABC = 2ZE = 2ZC,即 ZC = ZE.又叮ADBCf故在 ACD与AADE中，AD = AD,JzADC = ZADE,，zc = ZE,二ADC 旦ADE,故 CD = DE.而 DE = DE + BE = BD + A吕, AB +BD - CD.”例题4.如图17 -6所示，已知 ABC中，AD、BE既是 ABC的角平分线，又是ABC的高，试判断厶ABC的形状.【解密】 由于AD既是 ABC的角平

7、分线，又是 ABC 的高，因此AED仝ACD,可得AB =AC,同理可得A出=_ ” CB,(Ml 丁 AD既是 ABC的角平分线，又是 ABC的高，:.ZBAD = ZCAD, ZADB = ZADC = 90：ZBAD = ZCADt在厶ABD 与4ACD 中 ”AD = AD.ADB = J/ADC,A AABD AACD, A AB - AC-同理可得 AB - CB. A AB = AC CB.:A AABC是等边三角形.【探密】 对于文字题，一般先分清题设、结论”画出图形，再结合图形写出“已如S “求(或求证严严解(或证明)t例题5.如图所示，在 Rt ABC中，/ ACB = 9

8、0. CD丄AB，垂足为D , AF平分/CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,且 EG / AB 交 CB 于 G.求证：CF = GB.【解密】因为AF是ZBAC的角平分线，所以可把 ACF沿AF翻折，得=FB,从而可证CF = GB.下面通过证明箜FH& 得CG (解】 过F作FH丄垂足为H- A .ACF = AIIF - 90J在ACAF与HAF中，rZACF = ZAHF Z.CAF = ZHAF,AF = AF,:.ACAF 竺 AHAF.二 CF = HF.1ZACD + ZCAB = 90V ZACB = 90 A Z.CAE +Zfi = 90 A ACD = ZB

9、、:Z1 = ZACD 十 ZCAE, Z2 = Z + ZBAF, A Z1 = Z2.代 CE = CF, A CE FH.V EG /AB, A ZCGE = ZCEG = ZCDB = 90：(ACEG = ZFHB = 90在厶CEG与厶FHB中”ZCGE = Z乩Ice = fh,二 ACEG 旦FHE* 讥 CG - FB.二 CG 一 FG = FB 一 FG,即 CF = GR.例题7.如图所示， ABC的/ A的平分线为 AD , M为BC的中点，AD / ME .1求证：BE = CF= (AB+AC).G图 17 - 11A. DCB BCC+ ABD. AE + AC

10、图 17-13图 17-14【解密】 因为M是的中点；所以延长到吏GM = FM.连结则可 乜造BGM与UFA1全等，从而BG = CF.再研ABGE中的线段关系*【解】 延长FM至G,使MG = MF,连结BGr在AEGM 与ZiCFM 中，GM = FM*1 ZBMG = ZCMF,BM = CM二 ABGM 空CFM. BG = CF, ZG = Z3, 丫 Zl = Z2, AD / EM, Z3 =上务二 Z1 =乙E, Z2 =今仁 ZG = ZE = Z4.二 BG = BE. AE = AF.:.2BG =AB+AE + CF=ABrAC即 BE = CF = y（AB 十AC

11、）.【练习巩固】r （武汉市选拔赛试题）如图17-13所示丫 A在DE上，F在AE上，且AC = CEf Z1 =Z2 = Z3.则DE的长等于ADf下列结论中正确的是.（）A. AB-ADCB-CDB+ AB - AD CB-CDC AB -ADCB -CDDABAD与CBCD的大小关系不确定.3. 山东省竞赛如图L7-15所示，在ZVL目匸中，=AC与2AB之间的关系是_-.（）A. AO2AB K AC = 2AB C. AC2AB D, ACAEEPC. APEPAEB. AEAPEPD EPAEAP图 17-179. （2005年河北省数学竞赛题）如图17 - 18所示，在 ABC中

12、，AC = BC, ZACB = 90, AD平分ZBAC, BEAD交AC的延长线于点F,且垂足为E,则结论：AD = BF； CF = CD； AC + CD = AB； I3E = CF；F = 2BE. 其中正确结论的个数是（A. 1B. 2C. 3D. 4【答案与提示】2. A 提示：在 ABJz截取点 E,使得 AEAD,则厶AECAADC, A EC = CD玉D 提示：延feCH至E点，使HE AB.连结AE.4. A 提示*是律命题”、是假命题.鼠 B 延长 AB 至 E,使 AE = AC,连结 DE，可证 AEDACD. A ZC- ZE = 30笃再证 BD = EE.

13、 ZLBDE 二 ZE = 30% ZABD - 60。6. C 提示：满足条件的三角形为：(4. 4t 40, (4,4, 3). 3, 1), 2, 2), (2, 2, 2)+ (2, 2, 1), (b b 1) +7. C 提示：AFC 旦 zlDCA* ABCD ADBA, ABO 空DCO* AOE 仝 Dg AAOE 空 ACOF, AADE 也 ACBF, ADCF 旦 ABAE.& A 由 EE = jBD - DC,有 ABEC ACDA.则 ZAPE = ZPAC + ZCf = CD + ZACP = 60：又 ZF60 = ZAPAEEP.丄D 提示：由厶ACDAB

14、CF.AD平分 BAC及AD_LE,得正确.【证明与计算】10. 如图 17 28 所示， ABC 中；AC = BC ,Z ACB = 90 ,D 是 AC 上一点，且 AE 丄BD的延长线于 E,又AE =丄BD.求证：BD是/ ABC的平分线. 2提不：延长AE及BC交于点F,证RtAAEB RtAFEB.11. 如图所示，已知 AB = CD = AE = BC+DE = 2，/ ABC = Z AED = 90,求五边形 ABCDE的面积.提示：延长DE至F,使EF = EC,连AC、AD、ZF,可证明ABCAAEF, AACD旦AFD,故务边糾眈证= 4.18、如图，等腰直角三角形

15、 ABC中，/ ACB = 90, AD为腰CB上的中线,CE丄AD 交 AB 于 E.求证/ CDA = / EDB .AE =9019、在 Rt ABC 中，/ A/ BC交AB于G,求证：20、如图，已知 ABC是等边三角形，/ BDC = 120o说明AD=BD+CD的理由p21、如图，在 ABC中，AD是中线，BE交AD于F且AE=EF，说明AC=BF的 理由22、女口图，在 ABC 中，/ ABC=100o， AM=AN,CN=CP,求/ MNP 的度数23、如图，在 ABC 中,AB=BC,M,N 为 BC 边上的两点，并且/ BAM= / CAN,MN=AN,求/ MAC的度数

16、.24、如图，已知/ BAC=90o,AD 丄BC, / 仁/2,EF丄BC, FM 丄AC,说明 FM=FD的理由25、用两个全等的等边三角形 ABC和厶ACD拼成菱形ABCD.把一个含60 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点A重合，两边分别 与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD相交于点E、F时（如图所示）， 通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD的延长线相交于点E、F时（如 图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。26、（

17、 1）如图，在正方形一边上取中点，并沿虚线剪开，用两块图形拼一拼，能 否拼出平行四边形、梯形或三角形？画图解释你的判断 （2）如图（2）E为正方形ABCD边BC的中点，F为DC的中点，BF与AE有 何关系？请解释你的结论。27、如图A、B、C、D四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件, 其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明. N ACE=ND, AB=CD, AE = BF， NEAG=FBGDF，28、直线CD经过 BCA的顶点C, CA=CB . E、F分别是直线CD上两点，且 .BEC =/CFA =4(1) 若直线CD经过 BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决

18、下面两个问 题： 如图 1,若/BCA = 90/ = 90 ：，则 EF BE-AF (填 “” ”或“号)； 如图2,若0_BCA 180，若使中的结论仍然成立，则 与.BCA应满足的关系是；(2) 如图3,若直线CD经过 BCA的外部，. /BCA，请探究EF、与BE、 AF三条线段的数量关系，并给予证明.知:图1图2图3如图， ABC 中，/ ABC=45 ，CD 丄AB 于 D，BE 平分/ ABC，且 BE 丄AC 于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G1(1) BF=ACCE= 2 BF (3)CE与BC的大小关系如何30、如图， ACB和厶ECD都是

19、等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上， 连结BD，AE，并延长AE交BD于F.求证：ACEBCD (2)直线AE 与BD互相垂直31、如图，在四边形 ABCD中，AB=BC , BF是/ ABC的平分线，AF / DC,连 接AC、CF,求证：CA是/ DCF的平分线。（1）如果 AB=AC，/ BAC=90o. 当点 关系为 当点图甲32、如图甲，在 ABC中，/ ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接 AD，以AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF .解答下列问题：D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置 ，数量关系为D在线段BC的延长线上时，如图丙

20、，中的结论是否仍然成立，为什么？第28题图BC上运动.CF丄BC （点C、F重合除外）？画出（2）如果AB工AC,/ BAC工90q点D在线段 试探究：当 ABC满足一个什么条件时， 相应图形，并说明理由.（画图不写作法）33、如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF ”6，且EF交正方形外角 DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF .经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 AME ECF，所以 AE 二 EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上（除