(完整word版)大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

1、大一上学期高数期末考试、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1 设 f ( x) cos x (x sin x ),则在 x 0处有().(A) f(0)2(B) f(0)1 (C) f(0)0(D)f（X）不可导.c 设(x)12. 1X，(x) 3 33 x，则当 x1时(X)(A)(x)与（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B )(X)与(X)是等价无穷小；（C）（X）是比（X）高阶的无穷小；（D） （X）是比（X）高阶的无穷小.X3.若F（x） 0（2t X）f（t）dt，其中心）在区间上（1,1）二阶可导且 f （x）0 ，则（）.（A）函数F（x）必在x 0处取得

2、极大值；（B）函数F（x）必在x 0处取得极小值；（C） 函数F（x）在x 0处没有极值，但点（0，F（0）为曲线y F（x）的拐点；6.已知c空是f（x）的一个原函数XI rcosx则 f(x) d xx7.limn12(cos2 n ncos2)n2 . x arcs in x1 dx丄 12二、解答题9. 设函数y求110.8.(本大题有y(x)由方程7X .亍dx.x(1 x7)5小题，每小题8分，共40 分） ex y sin（xy） 1 确定，求 y（x）以及 y （）.（D）函数F（x）在x 0处没有极值，点（0,F（0）也不是曲线y F（x）的拐点4 设f （X）是连续函数，且

3、2 2f (X)X12 0 f(t)dt,则 f(x)(XX2(a ) 2( B) 2(C) x 1(D) x 2.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）2叫13x)Sin x11.12.13.设 f (x)xe、2x2x ，设函数f(x)连续, g(x)并讨论g(x)在xg(x)0 x 11f (xt)dt03 f(x)dx.求微分方程xy 2 y，且x0处的连续性.xlnx 满足 y(1)lim0空Ax ，A为常数.求19的解.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X0,y0)处切线斜率数值上等于此曲

4、线与 x轴、y轴、直线x X。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0，1，q1f (x) d x q f (x)dx00f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在0，上连续，且0证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f ( f ( 2

5、)0. (提xF(x) f(x)dx示：设0解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 COSX 26_() C5. e. 6. 2 x.7.2 .8.3.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导ex y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0ex y ycos(xy) ex y x cos(xy) 0y(0)10.解：u7x67x dx原式1(1u). du7u(1u)17仲 |u|2ln |u1 ,|x7,2,-InI ln |1y(x)1|)11.解:du

6、7x7x 0, y10312.解:3 f(x)dx03Xd(xxexexdxx2dx01 (x 1)2dx0 03-cos2 d (令 x-1 sin )2e34,f(0)g(0)xxtg(x)f (xt )dt(u)du(x0)g(x)g(0)xxf (x) f (u)du02xxf(u)du0(x0)limx0f(x)2xxf(x)100 g(x)00limx 0xf (u)du02 xA2 , g (x)在 x0处连续。dy13.解:dx2-yx-dxxIny e5n 31y(1)-,c9-dxe xIn xdxC)Cx 2xln3四、解答题（本大题10分）914.解：由已知且将此方程关

7、于x求导得特征方程：r2 r 2xxy 2 yd x yy 2y y其通解为y C1e解出特征根:C2e2x1,2.代入初始条件y()故所求曲线方程为：五、解答题(本大题1分),() 12 xy 3e，得1e3C12x15解：(1)根据题意，先设切点为(x,ln x)由于切线过原点，解出x1(eyA则平面图形面积e，从而切线方程为:1ey)dy -e 1y，切线方程：1 y x eln x1(x x) x(2)三角形绕直线 曲线y ln x 为V2x = e 一与x轴及直线Vi,则周所得圆锥体体积记为x = e所围成的图形绕直线x= e一周所得旋转体体积D绕直线 六、证明题1V2 (eey)2

8、dy16.证明：q(1 q) f(x)d x1 , q 2 q,1q(1V x = e旋转一周所得旋转体的体积(本大题有qf(x)dx2小题，每小题4 分,1q f (x)dxV1 V2(5e212e 3)6共12分)qqf (x) d x q( f (x) d x1f (x)dx)q1q f(x)dxqq) f( i)q(1q) f( 2)1) f ( 2)故有：qf (x) d xf(x)dx证毕。F(x),证：构造辅助函数:上可导。F (x)。其满足在,上连续，在(,)f(x)，且 F()F()17.x0f (x)cosxdx cos xdF (x)F (x)cosx|sin x F(x)dx由题设，有 00100，F (x)sin xdx0有0，由积分中值定理，存在(0,) ，