数学建模09年B题new

1、基于M/M/S排队论的病床安排模型（获年大学生数学建模赛全国二等奖）数学与计算科学学院 雷蕾 信息科学与计算学院 黄缨宁 信息科学与计算学院 丁炜杰 指导老师：王其如 教授摘要就医排队是一种我们非常熟悉的现象。在眼科医院的病床安排中，主要从医院高效工作和患者满意度两方面来考虑安排方法。本文通过确定两方面的权重，确立评价标准。针对问题二，本文确定了从医院和患者两方面综合考虑的目标函数，医院各种诊疗规则的限制下进行线性规划，使得目标函数值（背离度）最小，得到问题二的解决方案。用问题一的标准评价，确实优于医院的FCFS模型。问题三中对每一类病人术后恢复时间做统计，由计算机按照概率给出术后恢复的时间，

2、运用第二问模型的选择方式，对近一段时间内的出入院人数作出合理预测，并根据M的排序确定患者入院的时间区间。对于问题四，先确立白内障双眼手术的方案（调查支持可以任意不同两天手术），按照问题二的算法，先算出周二四做白内障手术的最小M值及入院前等待时间和术前等待时间。用计算机模拟出在手术时间可调整情况下M可能的最小值，得到周三五为最佳手术时间。尤其术前人均等待时间的优化减少使医院病床的有效使用率增加。模型改进率达到18.11%。问题五要求确定病床固定分配使人均等待时间最短。病床的分配使整个排队系统变成了五个M/M/N模型，N为各类病床的数量。根据排队论中M/M/1模型的条件演化得到服务强度小于1及病床

3、数固定不变。采取整数规划，在此限制条件下使得平均等待时间最小。从而算出各类病床的分配比例。 关键词：M/M/S模型 泊松（Poisson）分布 非线性规划 优化模型 病人满意度 病床有效利用率 一 问题的重述有某医院眼科门诊每天开放，住院部有病床79张。眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单且没有急症。目前只在周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，第二天便会安排手术。其他眼科疾病情况不同，住院后2-3天就可接受手术，但术后观察时间较长。这类疾病手术时间

4、可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。医院眼科手术条件较充分，可不考虑手术条件的限制，但考虑到医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS规则安排住院，但等待病人越来越多。故要优化其模型问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系做出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况

5、，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应做出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。 二 模型条件的假设1. 假设如有空床位，优先安排外伤病人；2. 设有一患者当天出院，则立即可以安排另外的人入院；3. 设定做白内障手术的两天不做其他手术；4. 假设除了外伤无其他急症；5. 白内障病人手术准备时间是1-2天的任意值，不是因人而异，青

6、光眼和视网膜疾病手术准备时间是2-3天的任意值。三 符号的定义及说明1. Bi：各类患者从入院到手术所花费的平均时间（手术准备时间）；2. 1 2 3：分别为M1 M2 M3的权值；3. K1i K2i ：分别表示第i个病人在第一阶段的等待时间和该病人在术前住院时间；4. S：某一天出院的病人数；5. W：等待病床的总人数；6. W1 W2 W3 W4：分别等待病床的人中白双、白单、青光眼和视网膜疾病、外伤的人数；7. P (i,j)：第i类第j号的人；8. M(i,j)：第i类第j号人的M；9. Pk：泊松分布中k个病人到达的概率；10. 123 456：分别表示白双、白单、青光眼、视网膜疾

7、病，外伤以及出院人数的平均到达率；11. Pn(t)：时间t内有n个患者在排队的概率；12. i：各类病床系统的服务强度；13. i：各类患者的平均服务率；14. n1 n2 n3 n4 n5：五类病人各应该分配的病床数；15. D1，D2：选择两天做白内障手术的星期数;16. x1 x2 x3 x4 x5 x6 a1 a2 a3 a4 a5 a6:各种病情的等待人数及其系数四 模型的分析及求解问题一：1.确定评价指标：从病人和医院两方面对模型进行分析，病人方面以花费时间，住院费用和公平性作为满意程度的指标，医院方面以病床利用率和病床有效利用率为作为评价指标。同时还有一些客观条件有可能影响到评

8、价指标，如所有病者是否一致对待还是有优先考虑。花费时间是指从门诊到出院的时间，费用则根据入院到出院的时间计算，公平性是根据是否先门诊先入院来进行评判，床位利用率是指住有病人的床位与所有床位的比，有效的床位利用是指床位上所住病人属于必须住院日期与所住的所有日期的比，如白内障术前准备时间2-3天，术后恢复时间3-4天，超过此时间则属于床位的无效利用，需要避免。将患者就医分为三个过程：门诊到入院为第一阶段，入院到进行手术为第二阶段，手术完毕到出院为第三阶段。得出如下评价指标可能的构成因素：1.第一阶段等待时间 1.花费时间 2.第二阶段等待时间 3.第三阶段的住院时间患者（满意度） 1第二阶段准备时

9、期费用 2.住院的费用 2 第三阶段住院费用 3手术费用可能构成因素 3.公平性 医院（效率） 1.床位利用率 2.床位有效利用率 客观条件：1.病者类别对于患者：病好后立即出院，第三阶段住院时间与任意安排入院模型无关，在模型中不予考虑。第三阶段住院费用取决于第三阶段住院时间，也不予考虑。对于医院： 由于等待病人很多，假设不考虑留有外伤空床则使用率都可达到100%，不再考虑。病床有效利用率是指病床所住病者是否属于必要住院期，包括：术前准备时间，手术时间和术后康复期。对于客观条件：由于外伤立即安排入院，其它病症急症不考虑，所以除外伤外所有病例一致对待。综上，评价标准的确实构成因素为公平性 公平性

10、患者 第一阶段等待时间 等待时间评价标准 第二阶段等待时间 医院 床位有效利用率 滞留率第一阶段越长，病人越不满意。计算门诊到住院所用的平均时间，用某病的等待时间减去平均时间，故第一阶段不满意程度为： M1=K1i-Pi第二阶段，对不同病症，由统计数据算出入院到手术的平均术前准备时间，超出平均时间越多， 满意率越低，且病床的合理利用率越低，故把第二阶段评判标准抽象成滞留时间，表示为0M2=K2i-BiFCFS排队方法对病人的公平性为100%。而根据优化算法，把不公平性M3的值量化为：M3=逆序数/总人数评价标准M由M1，M2，M3经过加权决定，设系数为1 2 3，有：M=1M1+2M2 +3M

11、3三个标准的权值，确定为病人和医院各为50%,公平性、等待时间和费用的权值各为16.65%。可以得到1=0.1665，2=0.6665，3=0.1665 .2.对于FCF模型的评价：按照FCFS规则安排住院，公平性达到100%，但有效床位利用率较低，如第25，30，32号的白内障病例术前准备时间都达到7天，大大超过有效的1-2天，导致住院时间达到13天，增加了病患的不必要费用。这是FCFS规则的缺点，不仅增大了病者的滞留率降低了床位的有效利用率，同时也降低了病者的满意率。问题二：. 标准的设立：由于该模型是已知第二天模拟出院病人数S与通过门诊在等待病床的人数W确定第二天入院名单，其设置满足局部

12、最优解，因此在模型建立时不考虑整个过程的公平性，因此我们设立的标准为：M=1M1+2M2.模型的建立：将等待病床的人数分为白内障双W1、白内障单W2，视网膜疾病和青光眼W3和外伤W4四类，每类病人都按照门诊的先后顺序进行排序。这样对每一个等待的人P（i，j）都有一个对应的M(i,j)，（i，j）为有序实数对M(i,j)= 1M1+2M2如图为随意挑选时间和编号对应的人及其M值：21日22日23日24日25日26日27日28日M（1，10）-0.868-0.768-0.668-0.568-0.468-0.368-0.268-0.168M（3，13）-0.872-0.772-0.672-0.572

13、-0.472-0.372-0.272-0.172对于正在等待的病者的M(i,j)值进行计算和比较，选出所有P(i，j)中M(i，j)值较小的S个，即 C为拥有S个元素的集合C=(i，j)StM(i,j)最小 （(i,j)属于C）每天都可以做手术周一 ,周三只做白内障手术除周一，周三的其它天不做白内障手术白内障双眼手术只能在周一做第一只眼睛，周三做第二只眼睛4.数据模拟，实验和测算 以原表作为前置条件，确定刚开始（7月13日）的床位情况。在此基础上对7月13后的排队情况重新进行模拟，模拟9月15日前可以入院的情况。新的排队顺序如附录一。得到如下结果：人均等待入院时间人均术前等待时间人均住院时间F

14、CFS11.21083.23329.3251新模型11.62732.56489.2083M1=1884.24530，M2=1548.46，差值为335.779，改进百分比为17.82%。. 问题三：.模型建立和求解：由第二问的模型，每天都可以模拟出第二天入住的人数，各类病人术前准备时间已知，可在病人入院时确定其手术时间。经统计，每类病人住院时间分布比较集中且具有一定的概率，因此我们可以由计算机按每类病者康复概率给与病人一个术后恢复时间，由于是根据原本的概率进行选择，所以拟合程度很高。这样就可以模拟出相当长一段时间内的出入院人数的变化，并制成表格，在病人门诊是就可大致告诉病人入院时间。我们根据原

15、来的模型对一段时间内的出院变化进行模拟，并且预测入院情况。详情见附录二。问题四：若周六日不做手术，先设定医院仍在周一和周三进行白内障手术。根据第二问的标准我们对模型进行规划。1.模型建立与求解：由于题目中写道白内障手术需要1，2天休息，如果手术不算休息，则白内障双眼两次手术中间应该间隔一天，这样满足的条件为：选择D1，D2StM(i,j)最小周六周日不手术D1 ,D2只做白内障手术除D1，D2的其它三天不做白内障手术白内障双眼手术D1做第一只眼睛，D2做第二只眼睛D1与D2相隔一天计算机编程得出在周三周五安排白内障手术可以使M(i,j)最小人均等待入院时间（天）人均术前等待时间（天）人均住院时

16、间（天）M值未安排人数一三手术11.21083.538129.32961884.2484二四手术11.05342.614859.222741542.9899由上表可以看出，如果周六周日不进行手术，则此时周三五进行白内障手术比周二和周四进行白内障手术更优，改进百分比达到18.11%。问题五：1.问题分析：对于题目所给FCF模型，可以模拟成一个M/M/79的模型，来到门诊的人看作到达此模型，通过门诊未入院的病人看作正在等候的人，79个病床看作79个服务窗口，所有病人在一个队伍排队，任何窗口有空缺第一个人补上，按照表格一中所统计的数据，有=0.98071,满足M/M/S模型。因为是根据病人状况分配固

17、定床位，则某一类床位只可以给某一类病人使用。所以可以看成不同类型的病人分别在该类型的病床排队。我们把病人分为五类，每一类有床位ni个。故可以看作是五个M/M/ni模型。2.模型的建立：先来看M/M/1模型。在假设下，0-t内到达的病人数服从泊松（Poisson）分布，即到达k个病人的概率为Pk=(t)ke- t /k! ，并且有：0-t内到达病人的平均数为t,即单位时间内到达病人的平均数为，称为平均到达率。1、2、3、4和5分别表示白内障双、白内障单、青光眼、视网膜疾病和外伤的平均到达率。为每个患者需要住院的平均天数，即平均服务率。记在排队入院系统时刻t内有n个患者在排队的概率是Pn(t),以

18、类似随机性人口模型建立Pn(t)方程。患者进入系统相当于出生，离开系统相当于死亡。按照MM1模型，于是可以得到：d Pn(t)/dt=Pn-1(t)+ Pn+1(t)-(+) Pn(t)d P0(t)/dt=P1(t)-P0(t)在稳态状态中，Pn(t)与t无关，故上式可以化为Pn-1(t)+ Pn+1(t)-(+) Pn(t)=0P1(t)-P0(t)=0 Pn=(/)nP0 （1）由于应该满足 Pn=1 （2）可以推出，在每一个M/M/N模型中，得出必须条件服务强度必须满足下式，否则队伍在不增加病床的前提下随时间推移会排至无限远。 =i/(ini)1 （3）姑且设病床数目是不可改变的，五类

19、病人（白内障双、白内障单、青光眼、视网膜疾病和外伤）的病床数目分别为n1、n2、n3、n4和n5，它们应该满足下式： n1+n2+n3+n4+n5=79 (4) 条件（3）下，由（1）（2）得出平均等待时间为： Ti=i/i(1-i)=1/(ni-i) (5) 综合上式条件，我们可以建立优化模型求n1、n2、n3、n4、n5St=i/(ini)1n1+n2+n3+n4+n5=79minTi3. 数据模拟，实验和测算：1）根据医院FCF模型下统计的数据（如表格一），约束条件无法满足，即无法满足所有的M/M/ni对应的都小于1，必有一些队伍会越排越长。表格一：FCF模型下和的值1/白内障双5.2361.19091.49098白内障单8.5600.11682.18033青光眼10.4870.09531.03279视网膜疾病12.54450.07972.78689外伤7.03630.14211.06557总9.0020.1118.606562）根据问题二模型下统计的数据（如表格二），约束条件可以满足，符